1、2021年中考真题精选1 定义新运算1. （2021无锡）设P（x，y1），Q（x，y2）分别是函数C1，C2图象上的点，当axb时，总有1y1y21恒成立，则称函数C1，C2在axb上是“逼近函数”，axb为“逼近区间”则下列结论：函数yx5，y3x+2在1x2上是“逼近函数”；函数yx5，yx24x在3x4上是“逼近函数”；0x1是函数yx21，y2x2x的“逼近区间”；2x3是函数yx5，yx24x的“逼近区间”其中，正确的有（）A BCD2. （2021雅安）定义：mina，b，若函数yminx+1，x2+2x+3，则该函数的最大值为（）A0B2C3D43. （2021永州）定义：若1
2、0xN，则xlog10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgNlg（MN）（M0，N0）例如：因为102100，所以2lg100，亦即lg1002；lg4+lg3lg12根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2lg5+lg5的结果为（）A5B2C1D04. （2021岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”如图，在正方形OABC中，点A（0，2），点C（2，0），则互异二次函数y（xm）2m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（）A4，1B，1C4，0D，15. （2021贵阳）小星在“趣味数学”社团
3、活动中探究了直线交点个数的问题现有7条不同的直线yknx+bn（n1，2，3，4，5，6，7），其中k1k2，b3b4b5，则他探究这7条直线的交点个数最多是（）A17个B18个C19个D21个6. （2021江西）二次函数yx22mx的图象交x轴于原点O及点A感知特例（1）当m1时，如图1，抛物线L：yx22x上的点B，O，C，A，D分别关于点A中心对称的点为B，O，C，A，D，如表：B（1，3）O（0，0）C（1，1）A（ ， ）D（3，3）B（5，3）O（4，0）C（3，1）A（2，0）D（1，3）补全表格；在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L形成概念
4、我们发现形如（1）中的图象L上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则称L是L的“孔像抛物线”例如，当m2时，图2中的抛物线L是抛物线L的“孔像抛物线”探究问题（2）当m1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”L的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为 ；在同一平面直角坐标系中，当m取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数yx22mx的所有“孔像抛物线”L都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是 （填“yax2+bx+c”或“yax2+bx”或“yax2+c”或“yax2”，其中abc0）；若二次函数yx22mx及它的“孔像抛物线”与直线ym有且只有三个交点，求m的值7. （2021衡
5、阳）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”例如（1，1），（2021，2021）都是“雁点”（1）求函数y图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线yax2+5x+c上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x轴交于M、N两点（点M在点N的左侧）当a1时求c的取值范围；求EMN的度数；（3）如图，抛物线yx2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），P是抛物线yx2+2x+3上一点，连接BP，以点P为直角顶点，构造等腰RtBPC，是否存在点P，使点C恰好为“雁点”？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由8. （2021长沙）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，
6、若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”根据该约定，完成下列各题（1）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y的图象上的一对“T点”，则r ，s ，t （将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于x的函数ykx+p（k，p是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由；（3）若关于x的“T函数”yax2+bx+c（a0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：ymx+n（m0，n0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1x1）
7、1+x21时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由9. （2021张家界）阅读下面的材料：如果函数yf（x）满足：对于自变量x取值范围内的任意x1，x2，（1）若x1x2，都有f（x1）f（x2），则称f（x）是增函数；（2）若x1x2，都有f（x1）f（x2），则称f（x）是减函数例题：证明函数f（x）x2（x0）是增函数证明：任取x1x2，且x10，x20则f（x1）f（x2）x12x22（x1+x2）（x1x2）x1x2且x10，x20，x1+x20，x1x20（x1+x2）（x1x2）0，即f（x1）f（x2）0，f（x1）f（x2）函数f（x）
8、x2（x0）是增函数根据以上材料解答下列问题：（1）函数f（x）（x0），f（1）1，f（2），f（3） ，f（4） ；（2）猜想f（x）（x0）是 函数（填“增”或“减”），并证明你的猜想10. （2021鄂州）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题猜想发现由5+5210；+2；0.4+0.420.8；+522；0.2+3.221.6；+2猜想：如果a0，b0，那么存在a+b2（当且仅当ab时等号成立）猜想证明（）20，当且仅当0，即ab时，a2+b0，a+b2；当0，即ab时，a2
9、+b0，a+b2综合上述可得：若a0，b0，则a+b2成立（当且仅当ab时等号成立）猜想运用对于函数yx+（x0），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？变式探究对于函数y+x（x3），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？拓展应用疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图设每间离房的面积为S（米2）问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？11. （2021金华）背景：点A在反比例函数y（k0）的图象上，ABx轴于点B，ACy轴于
10、点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形如图1，点A在第一象限内，当AC4时，小李测得CD3探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系请帮助小李解决下列问题（1）求k的值（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”如图2，小李画出了x0时“Z函数”的图象求这个“Z函数”的表达式补画x0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）过点（3，2）作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标12. （2021遂宁）已知平面直角坐标系中，点P（x0，y0）和直线Ax+By+C0（其中A，B不全为0），则点
11、P到直线Ax+By+C0的距离d可用公式d来计算例如：求点P（1，2）到直线y2x+1的距离，因为直线y2x+1可化为2xy+10，其中A2，B1，C1，所以点P（1，2）到直线y2x+1的距离为：d根据以上材料，解答下列问题：（1）求点M（0，3）到直线yx+9的距离；（2）在（1）的条件下，M的半径r4，判断M与直线yx+9的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由13. （2021自贡）函数图象是研究函数的重要工具探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，然后观察分析图象特征，概括函数性质的过程请结合已有的学习经验，画出函数y的图象，并探究其性质列表如下
12、：x432101234ya0b2（1）直接写出表中a、b的值，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）观察函数y的图象，判断下列关于该函数性质的命题：当2x2时，函数图象关于直线yx对称；x2时，函数有最小值，最小值为2；1x1时，函数y的值随x的增大而减小其中正确的是 （请写出所有正确命题的番号）（3）结合图象，请直接写出不等式x的解集 14. （2021凉山州）阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（JNpler，15501617年）是对数的创始人他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，17071783年）才发现指数与对数之间的联系对数的定义：一般地，若axN
13、（a0且a1），那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，比如指数式2416可以转化为对数式4log216，对数式2log39可以转化为指数式329我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：loga（MN）logaM+logaN（a0，a1，M0，N0），理由如下：设logaMm，logaNn，则Mam，Nan，MNamanam+n，由对数的定义得m+nloga（MN）又m+nlogaM+logaN，loga（MN）logaM+logaN根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）填空：log232 ，log327 ，log71 ；（2）求证：logalogaMlogaN（a0，a1
14、，M0，N0）；（3）拓展运用：计算log5125+log56log53015. （2021常州）在平面直角坐标系xOy中，对于A、A两点，若在y轴上存在点T，使得ATA90，且TATA，则称A、A两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点已知点M（2，0）、N（1，0），点Q（m，n）在一次函数y2x+1的图象上（1）如图，在点B（2，0）、C（0，1）、D（2，2）中，点M的关联点是 （填“B”、“C”或“D”）；若在线段MN上存在点P（1，1）的关联点P，则点P的坐标是 ；（2）若在线段MN上存在点Q的关联点Q，求实数m的取值范围；（3）分别以点E（4，2）、Q为圆心，1为半径作E、
15、Q若对E上的任意一点G，在Q上总存在点G，使得G、G两点互相关联，请直接写出点Q的坐标16. （2021益阳）已知函数y的图象如图所示，点A（x1，y1）在第一象限内的函数图象上（1）若点B（x2，y2）也在上述函数图象上，满足x2x1当y2y14时，求x1，x2的值；若|x2|x1|，设wy1y2，求w的最小值；（2）过A点作y轴的垂线AP，垂足为P，点P关于x轴的对称点为P，过A点作x轴的垂线AQ，垂足为Q，Q关于直线AP的对称点为Q，直线AQ是否与y轴交于某定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由17. （2021大连）已知函数y，记该函数图象为G（1）当m2时，已知M（4，n
16、）在该函数图象上，求n的值；当0x2时，求函数G的最大值（2）当m0时，作直线xm与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若POQ45时，求m的值；（3）当m3时，设图象与x轴交于点A，与y轴交与点B，过点B作BCBA交直线xm于点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a3c，求m的值18. （2021南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”例如，点（1，1）是函数yx+的图象的“等值点”（1）分别判断函数yx+2，yx2x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数y（x0），yx+b的图象的“等
17、值点”分别为点A，B，过点B作BCx轴，垂足为C当ABC的面积为3时，求b的值；（3）若函数yx22（xm）的图象记为W1，将其沿直线xm翻折后的图象记为W2当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围19. （2021湘潭）德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”如图，点C把线段AB分成两部分，如果0.618，那么称点C为线段AB的黄金分割点（1）特例感知：在图中，若AB100，求AC的长；（2）知识探究：如图，作O的内接正五边形；作两条相互垂直的直径MN、AI；作ON的中点P，以P为圆心，PA为半径画弧交OM于点Q；以点A为圆心，AQ为半径，在O上连续截取等弧，使弦ABBCCDDEAQ，连接AE；则五边形ABCDE为正五边形在该正五边形作法中，点Q是否为线段OM的黄金分割点？请说明理由；（3）拓展应用：国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征，是一个非常优美的几何图形，与黄金分割有着密切的联系延长题（2）中的正五边形ABCDE的每条边，相交可得到五角星，摆正后如图，点E是线段PD的黄金分割点，请利用题中的条件，求cos72的值
