1、第四章.全等三角形模型（十五）雨伞模型 模型讲解【条件】AP是BAC的平分线，BOAP【结论】ABOADO，AB=AD，OB=OD 【证明】 角平分线+垂线，轻轻延长等腰现。口诀 典例秒杀典例1 已知：如图，ABC中，AB=AC，A=90，ACB的平分线CD交AB于点E，BDC=90，求证：CE=2BD 【解析】如图，延长 BD交CA 的延长线于点F，BAC=90, BAF=BAC= 90，ACE+AEC=90，BDC=90,ABFBED=90AEC=BED, ACE=ABF.又AB=AC，ACEABF（ASA）， CE=BF.CD是ACB的平分线，BDC=90，FCD=BCD，CDF=CDB
2、=90.又CD=CD，CDFCDB（ASA），BD=FD=BFBD=CE，即 CE=2BD.典例2 如图，在ABC中，BE是ABC的平分线，ADBE，垂足为 D，求证2=1+C. 【解析】如图，延长 AD 交 BC 于点F. BE 是ABC 的平分线，ADBE， AB=FB, 2=AFB.AFB=1+C，2=1+C.典例3 如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0），B（0，b）两点，且a，b满足（a-b）2a一4t=0，且 t0，t是常数，直线 BD 平分OBA，交x 轴于点D. 若 AB的中点为M，连接 OM交BD 于点N，求证ON=OD;如图2，过点A作AEBD，
3、垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想.【解析】（1）直线AB分别交x轴、y轴于A（a，0），B（0，b）两点，a， b满足（a-b）十a-4t=0，且t0，a=b=4t，点 A，B的坐标是A（4t，0），B（0，4t）， AOB 是等腰直角三角形.M是AB 的中点，OMAB.直线 BD平分OBA，ABD=ABO=22.5, OND=BNM=90-ABD=90-22.5=67.5, ODB=ABD+BAD=22.545=67.5, OND=ODB，ON=OD（等角对等边）.(2) BD=2AE.理由如下如图，延长 AE交 BO 于点C.BD平分OBA，ABD=CBD.AEBD于点
4、E，AEB=CEB=90.在ABE 和CBE中， ABD=CBD,BE=BE,CEB=AEB=90, ABECBE(ASA), AE=CE,AC=2AE.AEBD，OAC+ADE=90，又OBD+BDO=90，ADE=BDO， OAC=OBD.在OAC与OBD中，OAC=OBD， OA=OB, AOC=BOD,OACOBD（ASA），BD=AC.BD=2AE.小试牛刀1.（）如图，ABC的面积为9 cm，BP平分ABC， APBP 于点P，连接 PC，则PBC的面积为（ ） A.3 cm B.4 cm C.4.5 cm D.5 cm2.（）如图，D为ABC内一点，CD平分ACB，BDCD，A=
5、ABD，若 BD=1，BC=3，则 AC的长为（ ）A.5 B.4 C.3 D.23.（）如图，在ABC中，D为边 BC的中点，点E在ABC内，AE平分BAC，CEAE，点F在AB上，且 BF= DE.（1）求证四边形 BDEF 是平行四边形.（2）线段 AB，BF，AC之间具有怎样的数量关系?证明你所得到的结论。 直击中考1. 如图所示，ABC的面积为10cm，BP 平分ABC，APBP，垂足为P，连接CP，若三角形内有一点M，则点M落在BPC内（包括边界）的概率为_。 在中考考试中 ，雨伞模型是一类特点非常鲜明约几何题，做这突题的关键就在于添加延长线，它与平行线中点模型并称为中学阶段两大必
6、延长的模型， 只要看到这类模型 ，方法就很统一了.第四章.全等三角形模型（15）雨伞模型 答案：小试牛刀1. 答案 C解析 如图，延长AP交BC于点E. BP平分ABC，且APBP，根据雨伞模型结论可知ABPEBP，AP=PE,SABP = SEBP,SACP=SECP ,SPBC=SABC=9=4.5（cm） ，故选 C.2. 答案 A解析 延长 BD交 AC于点E，如图。 CD平分ACB，BDCD，根据雨伞模型结论可知BCE为等腰三角形，BC=CE，BD=DE.A=ABD, EA=EB=2BD=2,AC=AE+CE=AE+BC=23=5，故选 A.3.解析（1）如图，延长 CE交AB于点G
7、. AECE,AEG=AEC=90，在AEG 和AEC中，GAE=CAE, AE=AE, AEG=AEC, AGEACE(ASA), GE=EC.又BD=CD，DE为CGB 的中位线， DE/AB.又DE=BF，四边形 BDEF是平行四边形.（2） BF=（AB-AC）.理由如下D，E分别是BC，GC的中点， DE=BG又DE=BF，BF=BG.AGEACE, AG=AC.BF =(ABAG)（AB-AC).直击中考 1. 答案 解析 延长 AP交 BC于点E，如图. BP平分ABC，且APBP，根据雨伞模型结论可知ABPEBP， AP=PE,SABP= SEBP, SACP=SECP,SPBC=SABC =10=5（cm） 则点 M落在BPC内（包括边界）的概率为
