1、类型一 动点探究例1、已知：等边三角形的边长为4厘米，长为1厘米的线段在的边上沿方向以1厘米/秒的速度向点运动（运动开始时，点与点重合，点到达点时运动终止），过点分别作边的垂线，与的其它边交于两点，线段运动的时间为秒（1）线段在运动的过程中，为何值时，四边形恰为矩形？并求出该矩形的面积；CPQBAMN（2）线段在运动的过程中，四边形的面积为，运动的时间为求四边形的面积随运动时间变化的函数关系式，并写出自变量的取值范围【解析】：（1）过点作，垂足为则，CPQBAMN当运动到被垂直平分时，四边形是矩形，即时，四边形是矩形，秒时，四边形是矩形，CPQBAMN（2）当时， 当时， 当时， 点评：此题关
2、键也是对P、Q两点的不同位置进行分类。图（15）CcDcAcBcQcPcEc例2、如图，在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为秒（1）求边的长；（2）当为何值时，与相互平分；（3）连结设的面积为探求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？最大值是多少？【解析】：（1）作于点，如图（3）所示，则四边形为矩形又2分在中，由勾股定理得：（2）假设与相互平分由则是平行四边形（此时在上）即解得即秒时，与相互平分（3）当在上，即时，作于，则即=当秒
3、时，有最大值为当在上，即时，=易知随的增大而减小故当秒时，有最大值为综上，当时，有最大值为 例3、如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点AQCDBP（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？（2）若点Q以中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？【解析】：（1）秒，厘米，厘米，点为的中点，厘米又厘米，厘
4、米，又， ，又，则，点，点运动的时间秒，厘米/秒（2）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解得秒点共运动了厘米，点、点在边上相遇，经过秒点与点第一次在边上相遇例4、在梯形中，动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为秒（1）求的长 （2）当时，求的值（3）试探究：为何值时，为等腰三角形【解析】：（1）如图，过、分别作于，于，则四边形是矩形在中，在，中，由勾股定理得，（图）ADCBKH（图）ADCBGMN（2）如图，过作交于点，则四边形是平行四边形由题意知，当、运动到秒时，又ADCBMN（图）（图）ADCBMN
5、HE即解得，（3）分三种情况讨论：当时，如图，即当时，如图，过作于解法一：由等腰三角形三线合一性质得在中，又在中，解得即（图）ADCBHNMF当时，如图，过作于点.解法一：（方法同中解法一）解得解法二：即综上所述，当、或时，为等腰三角形例5、如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90o，AB12cm，AD8cm，BC22cm，AB为O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，ABOCDPQ当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为t(s)(1)当t为何值时，四边形PQC
6、D为平行四边形？(2)当t为何值时，PQ与O相切？【解析】：(1)直角梯形当时，四边形为平行四边形由题意可知：，当时，四边形为平行四边形 OAPDBQCHEOAPDBQC（2）解：设与相切于点过点作垂足为直角梯形由题意可知：为的直径，为的切线在中，即：，因为在边运动的时间为秒，而（舍去）当秒时，与相切例6、.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若BQ=xcm()，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm（1）当x为何值时，以P
7、Q，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；ABDCPQMN（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由【解析】（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形当点P与点N重合时，（舍去）因为BQ+CM=，此时点Q与点M不重合所以符合题意当点Q与点M重合时，此时，不符合题意故点Q与点M不能重合所以所求x的值为 （2）由（1）知，点Q 只能在点M的左侧，当点P在点N的左侧时，由，解得当x=2时四边形PQMN是平行四边形当点P在点N的右侧时，由， 解得当x=4时四边形NQMP是平行四边形所以当时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形 （3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F由于2xx，所以点E一定在点P的左侧若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形， 则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即解得由于当x=4时， 以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以,以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形
