1、2021-2022年高中期末考试试卷高二数学(理科) 题号一二总分114151617181920得分核分人注意事项及说明: 本卷考试时间为120分钟， 全卷满分为160分得分评分人一、填空题（本大题共有14小题，每小题5分，共70分；把结果直接填在题中的横线上）1直线x+y3=0的倾斜角是_2对于命题p：，使得x 2+ x +1 0则为：_ 3若双曲线 (b0) 的渐近线方程为y=x ，则b等于 4以点(2，1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是 5已知M（1，3），N（2，1），点P在x轴上，且使PM+PN取得最小值，则最小值为 ABCDB1A1D1C16已知是不重合的直线，是不重合的
2、平面，有下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中所有真命题的序号是 7如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角BA1C1B1的正切值为 8若点P到直线y=1的距离比它到点（0，3）的距离小2，则点P的轨迹方程为 9设F1、F2为曲线C1：+=1的焦点，P是曲线C2：y2=1与C1的一个交点，则PF1F2的面积为 10函数f（x）=（x3）ex的单调递增区间是 11已知p：一4xa4，q：(x一2)(3一x)0，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 12正四面体棱长为1，其外接球的表面积为 13已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A、B两点，若
3、AB中点为(2，2)，则直线l的方程为 14已知函数f(x)=x32x2+ax+1（aR），若函数f(x)在区间（，1）内是减函数，则a的取值范围是 二、解答题（本大题共有6小题，满分80分解答需写出文字说明、推理过程或演算步骤）得分评分人15如图，直角三角形ABC的顶点坐标A(2，0)，直角顶点B（0，2），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点（）求BC边所在直线方程；（）M为直角三角形ABC外接圆的圆心，求圆M的方程；ABOCxyP0（）若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程 得分评分人16（本题满分14分 ）如图，在平行四边形ABCD中，AB2BC=2a，E为线段AB的中
4、点，将ADE沿直线DE翻折成ADE，使AC=2a， F为线段AC的中点（）求证：BF平面ADE；（）求证：平面ADE平面ABCDAEBCFAD得分评分人17 如图，某纸箱厂用矩形硬纸板（PQST）割去四个矩形角，设计为按虚线折叠成的长方体纸箱其中矩形ABCD为长方体的下底面，两全等矩形EFNM、HGNM拼成长方体纸箱盖，设纸箱长AB为x（）若长方体纸箱的长、宽、高分别为80cm、50cm、40cm、则硬纸板PQST的长、宽应为多大？（）若硬纸板PQST的长PT=240cm，宽TS=150cm，按此设计，当纸箱的长AB为何值时，纸箱体积最大？并计算最大体积CABDEHM1N1QTSH1E1G1G
5、FF1PMNEDCGHABMNF得分评分人18 （本题满分16分 ）在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=1，BAC=90，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60，设AA1=a ABCA1B1C1（）求a的值； （）求平面A1BC1与平面B1BC1所成的锐二面角的大小得分评分人19（本题满分16分 ）在平面直角坐标系中，椭圆C： (ab0)，圆O：x2+y2=a2，且过点A（，0）所作圆的两条切线互相垂直（）求椭圆离心率；（）若直线y=2与圆交于D、E；与椭圆交于M、N，且DE=2MN，求椭圆的方程；（）设点T（0，3）在椭圆内部，若椭圆C上的点到点P的最远距离不大于5，求椭圆C的短
6、轴长的取值范围EOxyADM0N0得分评分人20 (本题满分16分) 已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2x+2()若a=1，求函数y= g（x）的图像过点P(1,3)的切线方程；()对一切的x（0，+），2 f（x）g(x)+2恒成立,求实数的取值范围江苏省无锡市高二数学试题（理科）参考答案一、填空题（每题5分，共70分）1 2，均有x 2+ x +10 31 4(x2)2+(y+1)2= 55 6 7 8x2=12y 9 10(2，+) 111a6 12 13 y=x 14（，1二、解答题15（）kAB=，ABBC，kCB=，2分直线BC方程为:y=x2 4分 （）直线BC与x轴
7、交于C,令y=0，得C(4，0)，圆心M（1，0），7分又AM=3，外接圆的方程为 10分（）P(1，0)，M(1，0)，圆N过点P(1，0)，PN是该圆的半径又动圆N与圆M内切，MN=3PN，即MN+ PN=3 12分点N的轨迹是以M、P为焦点，长轴长为3的椭圆， 13分a=，c=1，b2=a2c2=，轨迹方程为 14分16 ()取AD的中点G，连结GF，GE，由条件易知：FGCD，FG=CD，BECD，BE=CD 3分FGBE，FG=BE四边形BEGF为平行四边形, BFEG， 5分又BF平面ADE内，BF平面ADE 6分（)在平行四边形ABCD中，AB2BC=2a，AE=EB=EA=AD
8、= DA=a，取DE中点H，连结AH、CH，则H为DE中点，AHDE，AHDE， 8分AA=60，AH= AH=a，DH=在CHD中, CH2=DH2+DC22 DHDC cos60=()2+(2a)222a=a2 9分在CHA中，CH2+ AH2= a2 +(a)2=4a2=AC2，AHHC， 11分又HCDE=H，AH面ABCD 12分又AH面ADE，面ADE面ABCD 14分17（）由题意：PQ=AB+2H1A=80+240=160（cm）， PT=AD+2AH+2HM=2AD+2AH=250+240=180（cm） 4分（）PT=240，PQ=150，AB为x（0x150）， AH=A
9、H1=（TSAB）=（150x） AD= M1H+EM，AH=DE，AD=（MM12AH）=（PT2AH）=240（150x）=45+x， 7分 纸箱体积V（x）= x（150x）（45+x）= x3+15 x2+3375x 8分 V(x)= x2+30 x+3375 令V(x)=0，x240x4500=0，解得：x1=90，x2=50（不合题意，舍去）10分 当x（0，90）时，V(x)0，V（x）是增函数；当x（90，150）时，V(x)0，V（x）是减函数， 当x=90时，V（x）取到极大值V（90）=243000 12分V（x）在（0，150）上只有一个极值，所以它是最大值当纸箱的长A
10、B=90时，纸箱体积最大，最大体积为243000（cm3）14分18（1）建立如图坐标系，于是，（），A1BCB1C1xyz， 3分由于异面直线与所成的角，所以与的夹角为，即，6分（2）设向量且平面于是且，即，且，又，所以不妨设 8分同理得，使平面，10分设与的夹角为，所以依， 12分平面，平面，因此平面与平面所成的锐二面角的大小为14分19（）由条件：过点A（，0）作圆的两切线互相垂直， OA=a，即：=a，e= 3分（）e=，a2=2c2，a2=2b2，椭圆C：+=1 5分得x2=a212，DE=2, 得x2=2b224，MN=, 7分 由DE=2MN，得：=4（2b224），2b212=
11、4（2b224）解得：b2=14，a2=28，椭圆方程为： 9分（）点T（0，3）在椭圆内部，b3， 设P（x，y）为椭圆上任一点，则 PT2=x2+(y3)2=2b22y2+(y3)2=(y+3)2+2b2+18，其中，byb， 12分b3，b3，当y=3时，PT2的最大值2b2+18 14分依题意：PT5，PT250，2b2+1850，0b4，又b3，3b4，即62b8，椭圆C的短轴长的取值范围6b8 16分20解:() a=1时，g（x）=x3+x2x+2， g(x)=3x2+2x1， 1分()若P(1,3)不是切点,设切点坐标是M（x0，y0）（x01）， 有：=3x02+2x01，
12、3分将y0=x03+x02x0+2代入上式整理得：x0（x02+2x0+1）=0，得x0=0，x0=1（不合舍去）， 7分此时切线斜率k1=302+201=1，切线方程为y3=（x+1），即x+y2=0 5分()若P（1,3）是切点, 则切线斜率k2=此时切线方程为y=1 7分综上, 函数的图像过点P(1,3)的切线方程为x+y2=0或y=1 8分()由题意:在上恒成立，即，可得， 10分设,则，12分令h(x)=0，得x=1，x= (舍)，当时,;当时, ，当时,取得最大值, =2 ， 15分a2a的取值范围是 16分%34968 8898 袘28633 6FD9 濙33013 80F5 胵34884 8844 衄V26847 68DF 棟32289 7E21 縡923721 5CA9 岩25061 61E5 懥37116 90FC 郼31312 7A50 穐23275 5AEB 嫫
