1、2021年高三上学期期末考试 理科数学 含解析本试卷共5页，150分。考试时间120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合，则 A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，所以，选C.2. 设，（为虚数单位），则的值为 A. 0 B. 2 C.3 D. 4【答案】B【解析】,所以，所以，选B.3. “”是“函数为奇函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】为奇函
2、数，则有,所以“”是“函数为奇函数”的充分而不必要条件，选A.4. 设，则 A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为，所以，所以，选D.5. 已知圆，直线，则与的位置关系是 A.一定相离 B.一定相切 C.相交且一定不过圆心 D.相交且可能过圆心【答案】C【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为。直线恒过定点，圆心到定点的距离，所以定点在圆内，所以直线和圆相交。定点和圆心都在直线上，且直线的斜率存在，所以直线一定不过圆心，选C.6. 若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是A. B. C. D. 【答案】D【解析】由三视图可知，三棱柱的高为1，底面正三角形的高为，所以正三角形的边长为
3、2，所以三棱柱的侧面积为，两底面积为，所以表面积为，选D.7. 已知函数是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 A. B. C. D. 【答案】B【解析】当时，所以，即函数在点处的切线为，做出区域D,如图由得。平移直线，由图象可知当直线经过点C时，直线的截距最小，此时最大，代入得，选B.8.对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则= A. B. 1 C. D.1或【答案】D【解析】因为,且和都在集合中,所以,所以,且故有,选D. 【另解】,两式相乘得,因为,均为正整数,于是,所以,所以,而,所以或,于是,选D. 二、填空题:本大
4、题共6小题,每小题5分,共30分.9. = .【答案】【解析】. 10.的展开式中的系数是 .（用数字作答）【答案】10【解析】展开式的通项公式为，所以当时，即展开式中的系数是10. 11.在ABC中，角所对的边分别为，则 ，ABC的面积等于 .【答案】【解析】由余弦定理得，即，解得或（舍去）。所以。12.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为 .【答案】9【解析】本程序计算的是等比数列的前项和，即,因为当时，当时，所以输出，此时。13. 某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析每辆客车运营前年的总利润（单位：万元）与之间的关系为.当每辆客车运营的平均利润最大时， 的
5、值为 .【答案】【解析】由题意知年平均利润，因为，当且仅当，即时取等号。所以，所以。14. 已知，给出以下两个命题：命题：函数存在零点； 命题：，不等式恒成立.若是假命题，是真命题，则的取值范围为 . 【答案】【解析】函数存在零点，则，成立，即有解，所以，即，。设，则要使不等式恒成立，则有即可。则，而函数，所以必有，即。所以，。又是假命题，是真命题，所以一真一假。若真假，则，此时。若真假，则，此时，综上的取值范围为或，即。三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数.（）求函数的定义域；（）若，求的值.16. （本小题满分
6、14分）在长方体中，为中点.（）证明：；（）求与平面所成角的正弦值；（）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由. 17. （本小题满分13分）在某校组织的一次篮球定点投篮测试中，规定每人最多投次，每次投篮的结果相互独立.在处每投进一球得分，在处每投进一球得分，否则得分. 将学生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止.投篮的方案有以下两种：方案1：先在处投一球，以后都在处投；方案2：都在处投篮.甲同学在处投篮的命中率为，在处投篮的命中率为.（） 甲同学选择方案1. 求甲同学测试结束后所得总分等于4的概率； 求甲
7、同学测试结束后所得总分的分布列和数学期望；（）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由.18. (本小题满分13分)已知函数 . （）若函数在处取得极值，求的值； （）当时，讨论函数的单调性.19. (本小题满分14分)已知数列的前项和为,且 .（）求数列的通项公式；（）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值；（）设是否存在，使得 成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由20.（本小题满分13分）已知函数,若存在，使得,则称是函数的一个不动点，设二次函数. () 当时，求函数的不动点；() 若对于任意实数，函数恒有两个不同的不动点，求实数的取值范围；()
8、在()的条件下，若函数的图象上两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的取值范围.房山区高三年级第一学期期末练习参考答案数 学 （理科） xx.01一、 选择题：1C 2B 3A 4D 5C 6D 7B 8D二、 填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 数形结合三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15（本小题满分13分）（）由 1分 得 3分 所以函数的定义域为 4分（） = 8分 = 10分 所以 13分16. （本小题满分14分） （）证明：连接是长方体，平面， 又平面 1分在长方形中， 2分又平面， 3分 而平
9、面 4分（）如图建立空间直角坐标系，则,设平面的法向量为，则 令，则 7分 9分所以 与平面所成角的正弦值为 10分（）假设在棱上存在一点，使得平面.设的坐标为，则 因为 平面所以 ， 即， ，解得， 13分所以 在棱上存在一点，使得平面,此时的长.14分17. （本小题满分13分）（）在处投篮命中记作,不中记作；在处投篮命中记作,不中记作； 甲同学测试结束后所得总分为4可记作事件,则 2分的所有可能取值为，则 6分的分布列为： 02340.020.160.50.327分， 9分（）甲同学选择方案1通过测试的概率为，选择方案2通过测试的概率为 , =因为 所以 甲同学应选择方案2通过测试的概率
10、更大 13分18. （本小题满分13分）（） 1分 依题意有， 3分 解得， 5分经检验， 符合题意， 所以，() 当时， 当时， 解， 得当时，；当时，所以减区间为，增区间为. 7分当时，解， 得， 9分当时，当或时，；当时，所以增区间为，减区间为. 11分当时，当或时，；当时，所以增区间为，减区间为,. 13分综上所述：当时, 减区间为，增区间为； 当时, 增区间为，减区间为； 当时, 增区间为，减区间为，.19（本小题满分14分）（）当时, 1分当时, . 2分而当时, 4分（） 7分单调递增，故 8分令，得，所以. 10分（） （1）当为奇数时，为偶数， ， 1 2分 （2）当为偶数时，为奇数， ，（舍去） 综上，存在唯一正整数，使得成立 1 4分20. （本小题满分13分） () 当时，解 2分 得 所以函数的不动点为 3分（）因为 对于任意实数，函数恒有两个不同的不动点，所以 对于任意实数，方程恒有两个不相等的实数根， 即方程恒有两个不相等的实数根， 4分所以 5分即 对于任意实数，所以 7分解得 8分（）设函数的两个不同的不动点为，则且是的两个不等实根， 所以直线的斜率为1，线段中点坐标为因为 直线是线段的垂直平分线，所以 ，且在直线上则 10分所以 当且仅当时等号成立12分又 所以 实数的取值范围. 13分
