1、延边大学误差理论与数据处理第第3 3章章 误差的合成与分配误差的合成与分配张婉莹张婉莹20122012年年4 4月月6 6日日延边大学误差理论与数据处理n n 本章较为全面地论述了误差合成与分配的基本规律和基本方法，这些规律和方法不仅应用于测量数据处理中给出测量结果的精度，而且还适用于测量方法和仪器装置的精度分析计算以及解决测量方法的拟定和仪器设计中的误差分配、微小误差取舍及最佳测量方案确定等问题。概述概述延边大学误差理论与数据处理间接测量间接测量 函数误差函数误差 间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差函数误差 通过直接测得的量与被测量之间的函数
2、关系计算出被测量 第一节函数误差第一节函数误差 研究函数误差的实质就是研究误差的传递问题，而对 于具有确定关系的误差计算，也称为误差合成。下面分别介绍函数系统误差和函数随机误差的计算问题。延边大学误差理论与数据处理一、函数系统误差计算一、函数系统误差计算第一节函数误差间接测量的数学模型 12(,.,)nyf x xx 为与被测量有函数关系的各个直接测量值 y 间接测量值12,nx xx求上述函数 y 的全微分，其表达式为：nndxxfdxxfdxxfdy2211(3-1)延边大学误差理论与数据处理 和 的量纲或单位不相同，则 起到误差单位换算的作用 和 的量纲或单位相同，则 起到误差放大或缩小
3、的作用由 y 的全微分，得函数系统误差 的计算公式y1212.nnfffyxxxxxx 为各个输入量在该测量点 处的误差传递系数(1,2,)ifx inixyifxixyifx第一节函数误差(3-2)延边大学误差理论与数据处理几种简单函数的系统误差几种简单函数的系统误差 1、线性函数1 122.nnya xa xa x1122.nnyaxaxax 12.nyxxx 1ia 系统误差公式当 当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和 第一节函数误差(3-3)(3-4)延边大学误差理论与数据处理第一节函数误差2、三角函数形式 由式(3-2)得 (3-5)又因故(3-6)同理
4、(3-7)(3-8)(3-9)12sin,.,nf x xxnnxxfxxfxxf2211sindcossindniiinnxxfxxfxxfxxf12211cos1cos1nxxxf,cos21nxxxf,tan21nxxxf,cot21niiixxf1sin1niiixxf12sinniiixxf12cos延边大学误差理论与数据处理【例】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高 h=50mm，弦长l=500mm。已知，弓高的系统误差 h=-0.1mm,玄长的系统误差 l=-1mm。试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。【解】建立间接测量大工
5、件直径的函数模型 24lDhhD2lh 不考虑测量值的系统误差，可求出在 处的直径测量值 50mmh 500mml 201300mm4lDhh第一节函数误差延边大学误差理论与数据处理直径的系统误差:7.4mmffDlhlh 500522 50fllh2222500112444 50flhh 故修正后的测量结果:013007.41292.6mmDDD计算结果：计算结果：误差传递系数为:第一节函数误差延边大学误差理论与数据处理第一节函数误差延边大学误差理论与数据处理第一节函数误差延边大学误差理论与数据处理 在式(3-1)中采用各测得量值的随机误差 代替各微分量 ，只能得到函数的随机误差 ，而得不到
6、函数的标准差 函数的一般形式 设对各个测量值都进行了N次等精度测量，其相应随机误差为 则y的随机误差为 (3-10)将每个方程平方得 (3-11),21n,dx,dxdxnx,x,x21yyn,x,xxfy21nnnx,x,xxx,x,xxx,x,xxn2n1nn222122121111 ：对：对：对 22112n22221121n2121111 xxfxxfxxfyxxfxxfxxfyxxfxxfxxfynNnNNNnn xxxfxfxxfxxfxxfy xxxfxfxxfxxfxxfy xxxfxfxxfxxfxxfyjNiNnjijinNnNNNjinjijinjinjijin12222
7、2221212221222n222222212122111212n22122211212122 2二、函数随机误差计算二、函数随机误差计算延边大学误差理论与数据处理第一节函数误差将方程组(3-11)各方程相加 (3-12)上式各项除以N，并由式(2-12)得若定义 则可得 (3-13)式中 ，为第i个测得量与第j个测得量之间的误差相关系数相关系数。因该式可由各测量值的标准差计算出函数的标准差，故该式称为函数随机误差公式。xxxfxfxxxxfxxxxfxxxxfyyynjiNmjmimjinnnnnnn11222212n22222212222122121121222212 Nxxxfxfxfx
8、fxfynjiNmjmimjixnxx112222222122n21xjxiijijxjxiijijK K 或 xfxfxfxfxfynjixjxiijjixnxxn1222222212221ij延边大学误差理论与数据处理若各测量值的随机误差是相互独立的若各测量值的随机误差是相互独立的，则当N适当增大时，相关项则相关系数 也为零，误差公式可简化为 (3-14)令 ，则 (3-15)各测量值随机误差间互不相关的情况较为常见，且当各相关系数很小时，也可近似作不相关处理。当各测量值的随机误差为正态分布时，式(3-15)中的标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差 (3-16)在多数情况下，则：(3-
9、17)(3-18)01 NxxKNmjmimijij xfxfxfynxnxx2222222121iiaxf aaanxnxxy2222222121 aaanxnxxy2lim22lim222lim21lim211ia nxxxy22221 nxxxy2lim2lim2limlim21第一节函数误差延边大学误差理论与数据处理三角函数随机误差计算三角函数随机误差计算根据三角函数系统误差公式(3-6)(3-9)和式(3-14)得相应的角度标准差公式 2222222121cos1xnnxxxfxfxf1）正弦函数形式为:函数随机误差公式为：nxxxf,sin212）余弦函数形式为:函数随机误差公式为
10、：nxxxf,cos213）正切函数形式为:函数随机误差公式为：nxxxf,tan2122222221212cosxnnxxxfxfxf4）余切函数形式为:函数随机误差公式为：nxxxf,cot2122222221212sinxnnxxxfxfxf2222222121sin1xnnxxxfxfxf第一节函数误差延边大学误差理论与数据处理第一节函数误差【例3.3】对例3.1用弓高弦长法间接测量大工件直径D。若已知，弓高h=50mm，弦长l=500mm，求直径的极限偏差。根据式(3-16)求得直径的极限误差为 则所求直径的最后结果为：mm.mm.mm.DDDD316129231471300lim0
11、mmhhhfsfhshsD3.169.105.015045001.050250014l2l2222222lim2222lim22lim22lim2lim 延边大学误差理论与数据处理1 1、相关系数对函数误差的影响、相关系数对函数误差的影响 2222222121122nyxxxnijxixjijnijfffffxxxxx 反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响 2222221122yxxnxnaaa1122yxxnxnaaa0ij1ij 函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传递关系函数标准差与各随机误差分量标准差之间
12、具有线性的传递关系 函数随机误差公式ij当相关系数 时当相关系数 时三、误差间的相关关系和相关系数三、误差间的相关关系和相关系数第一节函数误差 因此，无插件的相关性与误差合成有密切关系。正确的处理误差间因此，无插件的相关性与误差合成有密切关系。正确的处理误差间的相关问题，具有重要的意义的相关问题，具有重要的意义。延边大学误差理论与数据处理第一节函数误差2 2、相关系数的确定、相关系数的确定两误差间有线性关系时，其相关性强弱相关性强弱由相关系数相关系数来反映，在误差合成时应求得相关系数，并求出相关项的大小。若两误差 与 之间的相关系数为 ，根据式(3-13)中相关系数定义，则有 (3-24)式中
13、 误差 与 之间的协方差；分别为误差 与 的标准差根据概率论可知相关系数的取值范围是 当 时，两误差正相关，即一误差增大时，另一误差的取值平均的增大；当 时，两误差负相关，即一误差增大时，另一误差的取值平均的减少；当 时，两误差完全正相关，当 时，两误差完全负相关，此时两误差之间存在着确定的线性函数关系；当 时，两误差间无线性关系或称不相关。注意：当相关系数很小甚至等于零时，两误差间不存在线性关系，但当相关系数很小甚至等于零时，两误差间不存在线性关系，但并不表示它们之间不存在其它的函数关系。并不表示它们之间不存在其它的函数关系。K K,1110 01110延边大学误差理论与数据处理可判断 的情
14、形 0ij 断定 与 两分量之间没有相互依赖关系的影响 ixjx 当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变化，反之亦然 与 属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量 ixjx 与 虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关 ixjx第一节函数误差延边大学误差理论与数据处理可判断 或 的情形 断定 与 两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系 ixjx当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然 与 属于同一体系的分量，如用1m基准尺测和用2m基准尺测，则各米分量间完全正相关 ixjx1ij 1ij 第一节函数误差 用多组测
15、量的对应值 作图，然后与标准图形相比，看与哪一图形相近，从而确定相关系数的近似值。ii,=1=0=-1延边大学误差理论与数据处理第一节函数误差nnn31cos其中，4321nnnnnn2n3n4n10 根据多组测量的对应值 ，按如下统计公式计算相关系数 分别为 的算术平均值 ii,22iiii,延边大学误差理论与数据处理第一节函数误差 根据概率论和最小二乘法直接求出。如果求得两个误差 与 间为线性关系，即 ，则相关系数为(3-27)结论：结论：一般先在理论上探求；数值小或一般性的误差间的相关系数可用直接判断法；数值大或重要的误差间的相关系数宜采用多组成对观测，并分情况采用不同的计算的方法。0,10,1aaba延边大学误差理论与数据处理THE ENDTHANK YOU
