1、2023年5月10日振动力学2 梁的弯曲振动梁的弯曲振动动力学方程动力学方程细长梁的横向弯曲振动细长梁的横向弯曲振动),(txf),(txmyx0梁各截面的中心惯性轴在同一平面梁各截面的中心惯性轴在同一平面 xoy 内外载荷作用在该平面内内外载荷作用在该平面内在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响梁在该平面作横向振动（微振）梁在该平面作横向振动（微振）,这时梁的主要变形是弯曲变形这时梁的主要变形是弯曲变形欧拉伯努利梁（欧拉伯努利梁（Bernoulli-Euler Beam）f(x,t):单位长度梁上分布的外力单位长度
2、梁上分布的外力 m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩单位长度梁上分布的外力矩 梁参数：梁参数：I 截面对中性轴的惯性积截面对中性轴的惯性积 单位体积梁的质量单位体积梁的质量S 梁横截面积梁横截面积E 弹性模量弹性模量外部力：外部力：假设：假设：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学3),(txf),(txmyx0f(x,t):单位长度梁上分布的外力单位长度梁上分布的外力 m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩单位长度梁上分布的外力矩 微段受力分析微段受力分析令：令：y(x,t):距原点距原点 x 处的截面在处的截面在 t 时刻时刻 的横向位移的横向
3、位移),(txyxdxdxtxf),(dx22tySdxdxxMMdxxFFssMsFdxtxm),(:,MFs截面上的剪力和弯矩截面上的剪力和弯矩 微段的惯性力微段的惯性力:22tySdx:),(dxtxf微段所受的外力微段所受的外力:),(dxtxm微段所受的外力矩微段所受的外力矩 连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学4dxtxf),(dx22tySdxdxxMMdxxFFssMsFdxtxm),(力平衡方程力平衡方程：0),()(22dxtxfFdxxFFtySdxsss22),(tyStxfxFs 以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：以右截面
4、上任一点为矩心，力矩平衡：0),(22),()22 dxtxmdxtySdxdxdxtxfdxFMdxxMMs（略去高阶小量得：略去高阶小量得：),(txmxMFs材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：22),(),(xtxyEItxM),(),(),(),(222222txmxtxfttxySxtxyEIx 变截面梁的动力学方程：变截面梁的动力学方程：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动5),(),(),(),(222222txmxtxfttxySxtxyEIx 变截面梁的动力学方程：变截面梁的动力学方程：等截面梁的动力学方程：等截
5、面梁的动力学方程：),(),(2244txmxtxftySxyEI 连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学6固有频率和模态函数固有频率和模态函数),(),(),(),(222222txmxtxfttxySxtxyEIx 变截面梁：变截面梁：讨论梁的自由振动讨论梁的自由振动 0),(),(222222 ttxySxtxyEIx根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：)sin()()()(),(taxtqxtxy代入自由振动方程：代入自由振动方程：0)(2 SEI等截面梁：等截面梁：0)()(4)4(xx2
6、024aSEIa20 xCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 通解：通解：)41(iCi和和可通过梁的可通过梁的边界条件边界条件确定确定 连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学70),(),(2244 ttxySxtxyEI等截面梁：等截面梁：主振动：主振动：)sin()()()(),(taxtqxtxy0)()(4)4(xxxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 第第 i 阶主振动：阶主振动：)(xii无穷多个无穷多个)sin()(),()(iiiiitxatxyiai和和 由系统的由系统的初始条件初始条件确
7、定确定 系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：1)sin()(),(iiiiitxatxy连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学8常见的约束状况与边界条件常见的约束状况与边界条件 0),(xtxy0)(x0)(xlx 0 或（1）固定端）固定端挠度和截面转角为零挠度和截面转角为零0),(txy（2）简支端）简支端挠度和弯矩为零挠度和弯矩为零0),(22xtxyEIM0),(txy0)(x0)(xlx 0 或（3）自由端）自由端弯矩和剪力为零弯矩和剪力为零0),(22xtxyEIM0 xMFs0)(x0)(xlx
8、0 或)()(),(tqxtxy连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学9例：例：求悬臂梁固有频率和模态函数求悬臂梁固有频率和模态函数x0y解：解：一端固定，一端自由一端固定，一端自由边界条件边界条件0)0(0)0(固定端：挠度和截面转角为零固定端：挠度和截面转角为零自由端：弯矩和截面剪力为零自由端：弯矩和截面剪力为零0)(l0)(lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 31CC 0)cosh(cos)sinh(sin0)sinh(sin)cosh(cos2121llCllCllCllC0coshcossinhsinsinhsin
9、coshcos llllllll21CC、非零解条件：非零解条件：2024aSEIa2042CC连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学100coshcossinhsinsinhsincoshcos llllllll频率方程频率方程当当 i=1,2,3时时),4,3(,212 iili875.11 l694.42 l855.73 l3 i当当 时时各阶各阶固有频率固有频率：2024aSEIa20),2,1(,)(42 iSlEIlii对应的各阶对应的各阶模态函数模态函数：),2,1(),sinh(sincoshcos)(ixxxxxiiiiii),2,
10、1(,sinhsincoshcos illlliiiii01coshcos ll简化简化连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学11铅垂梁的前三阶模态形状铅垂梁的前三阶模态形状第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态一个节点一个节点两个节点两个节点无节点无节点节点位置节点位置连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学12例：例：简支梁固有频率和模态函数简支梁固有频率和模态函数解：解：一端固定铰，一端滑动铰一端固定铰，一端滑动铰0)0(0)0(固定铰：挠度和截面弯矩为零固定铰：挠度和截面弯矩为零
11、滑动铰：挠度和截面弯矩为零滑动铰：挠度和截面弯矩为零0)(l0)(lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 031 CC 0sinhsin0sinhsin4242lClClClC2024aSEIa20yx004 C0sin l频率方程：频率方程：),2,1(,iili固有频率：固有频率：),2,1(,)(2 iSEIlii连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学130sin l频率方程：频率方程：固有频率：固有频率：),2,1(,)(2 iSEIlii0431 CCC模态函数：模态函数：),2,1(,sin)(ixlixi),2,1
12、(,iilixCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 第一阶模态第一阶模态第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态第四阶模态第四阶模态模态形状模态形状节点位置节点位置yx0无节点无节点一个节点一个节点两个节点两个节点三个节点三个节点连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学14例：例：两端自由梁的固有频率和模态函数两端自由梁的固有频率和模态函数背景：导弹飞行背景：导弹飞行yx0系统类别：半正定系统系统类别：半正定系统存在刚体模态存在刚体模态导弹飞行导弹飞行1导弹飞行导弹飞行2连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023
13、年5月10日振动力学15yx0频率方程：频率方程：1coshcos ll模态函数：模态函数：2024aSEIa20),2,1(),sinh(sincoshcos)(ixxxxxiiiiii),2,1(,sinhsincoshcossinhsincoshcos illlllllliiiiiiiii当当 i=1,2,3时时解得：解得：730.41 l853.72 l996.103 l3 i当当 时时),4,3(,)21(iili自由端：弯矩和截面剪力为零自由端：弯矩和截面剪力为零0)0(0)0(0)(l0)(l0 i当当 时时00 l对应刚体模态对应刚体模态连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振
14、动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学16第二阶模态第二阶模态第三阶模态第三阶模态第四阶模态第四阶模态第五阶模态第五阶模态自由梁的模态形状自由梁的模态形状连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学17例：试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频例：试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频率方程，并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠率方程，并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠度曲线。度曲线。yx0l连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学18yx0l解：解：0),(),(222222 ttxySxtxyEIx梁
15、的自由振动方程：梁的自由振动方程：边界条件边界条件0),0(ty0),0(ty固定端：固定端：自由端：自由端：0)0(0)0(0),(tly0),(tly0)(l0)(lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 2024aSEIa20模态函数：模态函数：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学19yx0l0)0(0)0(0)(l0)(lxCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 0)0(031CC13CC0)0(042CC24CC0)(l0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC0)(l0)sinh(sin
16、)cosh(cos21llCllC连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学200coshcossinhsinsinhsincoshcosllllllll21CC、非零解条件：非零解条件：0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC0)sinh(sin)cosh(cos21llCllC频率方程：频率方程：0sincoshsinhcosllll求得：求得：352.13,210.10,069.7,927.34321llll对应的各阶模态函数：对应的各阶模态函数：),2,1(),sinh(sinhcoscosh)(ixxxxxiiiiii代入：代入：
17、),2,1(,sinhsinhcoscosh12illllCCiiiii连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学21yx0l第一阶模态：第一阶模态：),2,1(),sinh(sinhcoscosh)(ixxxxxiiiiii第二阶模态：第二阶模态：0.560069.7927.321ll连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学22例：悬臂梁例：悬臂梁一端固定，另一端有弹性支撑一端固定，另一端有弹性支撑边界条件边界条件0)0(0)0(固定端：挠度和截面转角为零固定端：挠度和截面转角为零弹性支撑端：剪力、弯矩分别与直
18、线弹簧反力、卷簧反力矩相等弹性支撑端：剪力、弯矩分别与直线弹簧反力、卷簧反力矩相等2kx0y1kl弹簧二：直线弹簧与挠度成正比弹簧二：直线弹簧与挠度成正比弹簧一：卷簧与截面转角成正比弹簧一：卷簧与截面转角成正比弯矩平衡条件：弯矩平衡条件：),(),(222tlykxtlyEIx xtlykxtlyEI ),(),(122剪力平衡条件：剪力平衡条件：)()(),(tqxtxy)()(1lklEI )()(2lklEI 连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学23xCxCxCxCxsinhcoshsincos)(4321 0)cosh(cos)sinh(s
19、in)sinh(sin)cosh(cos1211 llkllEICllkllEIC2024aSEIa202kx0y1kl0)0(0)0(固定端：固定端：弹性支撑端：弹性支撑端：)()(1lklEI )()(2lklEI 由固定端条件解得：由固定端条件解得：4231,CCCC 由弹性支撑固定端条件解得：由弹性支撑固定端条件解得：0)sinh(sin)cosh(cos)cosh(cos)sinh(sin232231 llkllEICllkllEIC连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学24或或21CC、非零解条件导出频率方程：非零解条件导出频率方程：0)
20、cosh(cos)sinh(sin)sinh(sin)cosh(cos1211 llkllEICllkllEIC0)sinh(sin)cosh(cos)cosh(cos)sinh(sin232231 llkllEICllkllEIC)0(),coshsinsinh(cos1coshcos21 kllllEIkll)0(),coshsinsinh(cos1coshcos132 kllllEIkll连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学25)0(),coshsinsinh(cos1coshcos21 kllllEIkll)0(),coshsinsinh(
21、cos1coshcos132 kllllEIkll（1）若）若k1、k2 同时为零，则退化为悬臂梁的情形同时为零，则退化为悬臂梁的情形2kx0y1kl讨论：讨论：01coshcosllx0y连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学26)0(),coshsinsinh(cos1coshcos21 kllllEIkll)0(),coshsinsinh(cos1coshcos132 kllllEIkll（2）若）若k10、k2 无穷大，则退化为一端固定另一端简支的情形无穷大，则退化为一端固定另一端简支的情形2kx0y1k讨论：讨论：0coshsinsinhc
22、osllllx0y连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动ll2023年5月10日振动力学27例：悬臂梁自由端附有质量例：悬臂梁自由端附有质量yx0l0m求频率方程求频率方程解：解：0)0(0)0(固定端：固定端：自由端：弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡自由端：弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡0)(lEI)()(20lmlEI 利用同上述算例相同的方法，得频率方程：利用同上述算例相同的方法，得频率方程：其中：其中：)sinhcoscosh(sin1coshcoslllllll mm0 为集中质量与梁质量之比为集中质量与梁质量之比Slm 为梁质量为梁质量连续系统的振动连续系统的振动/梁
23、的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学28分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此（梁的长度大于梁高度（梁的长度大于梁高度5倍倍以上）以上）考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯性增加，这两个因素都会使梁的固有频率降低性增加，这两个因素都会使梁的固有频率降低连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学29模态函数的正交性模态函数的正交性0),(),(2244 ttxySxtxyEI等截面梁：等截面梁：0),(),(22222
24、2 ttxySxtxyEIx变截面梁自由振动方程：变截面梁自由振动方程：主振动：主振动：)sin()()()(),(taxtqxtxy代入，得：代入，得：0)(2 SEI设：设：)(xii)(xjj jjjiiiSEISEI22)()(连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学300)(2 SEI jjjiiiSEISEI22)()(（1）（2）j(1)式两边乘式两边乘 并沿梁长并沿梁长 积分：积分：分部积分分部积分：lljilijlijijdxEIEIEIdxEI0000)()()(在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为在梁
25、的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零零 lljiijdxEIdxEI00)(lljiijidxSdxEI002 ljiilijdxSdxEI020)(3)代入（代入（3）式）式：i同理，同理，(2)式两边乘式两边乘 并沿梁长积分：并沿梁长积分：lljijjidxSdxEI002ljijidxS0220)(相减：相减：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学31jidxSlji,00ji ji时，时，主振型关于质量的正交性主振型关于质量的正交性 lljilijlijijdxEIEIEIdxEI0000)()()(lljiiji
26、dxSdxEI002 lljijjidxSdxEI002ljijidxS0220)(jidxEIdxEIlljiij ,0)(00主振型关于刚度的正交性主振型关于刚度的正交性 i=j恒成立恒成立 lpjjmdxS02第第 j 阶主质量阶主质量 pjlljjjkdxEIdxEI 002)()(第第 j 阶主刚度阶主刚度 第第 j 阶固有频率阶固有频率pjpjjmk/连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学32 lpjjmdxS02第第 j 阶主质量阶主质量 pjlljjjkdxEIdxEI 002)()(第第 j 阶主刚度阶主刚度 第第 j 阶固有频率阶
27、固有频率pjpjjmk/ljidxS000)(00 lljiijdxEIdxEIji 时时ji 时时主振型中的常数按主振型中的常数按归一化条件确定归一化条件确定：102 pjljmdxS正则振型正则振型 lijjidxS0200)(jijlljiijdxEIdxEI 正则振型的正交性：正则振型的正交性：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学33梁横向振动的强迫响应梁横向振动的强迫响应方程方程：),(),()(222222txmxtxftySxyEIx1)()(),(iiitqxtxy令令：11),(),()(iiiiiitxmxtxfqSqEI 代入
28、代入：j两边乘两边乘 并沿梁长积分：并沿梁长积分：ljililjiiijidxtxmxtxfdxSqdxEIq01010),(),()(由正交性条件：由正交性条件：)(2tQqqjjjj 第第 j 个正则坐标方程个正则坐标方程 ljjdxxtxmxtxftQ0)(),(),()(第第 j 个正则坐标的广义力个正则坐标的广义力 由分部积分由分部积分：dxtxmtxftQljjj0),(),()(2j1连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学34梁初始条件的处理梁初始条件的处理)()0,(1xfxy)(20 xftyt1)()(),(iiitqxtxy)0
29、()()()0,(11 iiiqxxfxy两式乘两式乘)(xSj并沿梁长积分，由正交性条件：并沿梁长积分，由正交性条件：ljjdxxxSfq01)()()0(tjjjjjjjjjdtQtqtqtq0)(sin)(1sin)0(cos)0()(120)0()()(iiitqxxftyljjdxxxSfq02)()()0()(2tQqqjjjj 第第 j 个正则坐标方程：个正则坐标方程：第第 j 个正则模态响应：个正则模态响应：)(tqj得到得到 后，即可得到梁的响应后，即可得到梁的响应),(txy连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学35如果作用在梁上
30、的载荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩如果作用在梁上的载荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩 利用利用)(t函数函数:)()(),()()(),(2010 xtMtxmxtFtxfdxxxtMxxtFtQljjj0200)()()()()()()()()()()(2010jjtMtFdxtxmtxftQljjj),(),()(0tfdtttf0)()()()(0tF12x0)(0tM连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学36中点受常力中点受常力 P 作用产生静变形作用产生静变形例：简支梁例：简支梁求：当求：当 P 突然移出时梁的响应突然移出时梁的响
31、应yx2/l2/l0P解：解：由材力得初始条件由材力得初始条件:lxllxlxxlylxlxlxyxfxystst2 ,)(4)(320 ,)(4)(3)()0,(331EIPlyst483 梁中点的静挠度梁中点的静挠度0)(20 xftyt连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学37梁两端简支梁两端简支 固有频率：固有频率：422SlEIiilxiCiisin振型函数：振型函数：,3,2,1i归一化条件：归一化条件：liiCSldxlxiCS02212)sin(AlCi2333202444(0)3()4()sin3()4()sin lllistist
32、ixxi xlxlxi xqSyCdxSyCdxllllllPlSiEI0)0(iq 模态初始条件：模态初始条件：,5,3,1iyx2/l2/l0PljjdxxxSfq01)()()0(ljjdxxxSfq02)()()0(连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学38模态初始条件：模态初始条件：333202444(0)3()4()sin3()4()sin lllististixxi xlxlxi xqSyCdxSyCdxllllllplSiEI0)0(iq,5,3,1i没有激振力，正则广义力为零没有激振力，正则广义力为零dxtxmtxftQljjj),
33、(),()(0正则广义力正则广义力tqtqiiicos)0()(模态响应：模态响应：15,3,142143cossin)1(2)()(),(iiiiiitlxiiEIPltqxtxy梁响应：梁响应：连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学39例：简支梁例：简支梁求：梁的响应求：梁的响应中点受力矩中点受力矩 作用作用tMsin0yx2/l2/l0tMsin0连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学40解：解：由上例知：由上例知：固有频率：固有频率：422SlEIiilxiCiisin振型函数：振型函数：AlCi2
34、tiliCMtQiisin2cos)(0正则广义力：正则广义力：第第 i 个正则方程：个正则方程：tiiCMtqtqiiiisin2cos2)()(02 tiliMCtqiiisin2cos1)(022 1)()(),(iiitqxtxy ,4,222220sin)1(sin2iiilxiitSlMyx2/l2/l0tMsin0)()()()()(2010jjjtMtFtQ连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学41例：悬臂梁例：悬臂梁自由端作用有正弦力自由端作用有正弦力求稳态强迫振动，以及梁自由端的响应。求稳态强迫振动，以及梁自由端的响应。tPsin
35、yx0ltPsin连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学42解：解：强迫振动方程强迫振动方程：tlxPtySxyEIsin)(2244模态函数模态函数：2024aSEIa20),2,1(),sinh(sincoshcos)(ixxxxxiiiiii),2,1(,sinhsincoshcos illlliiiii设解为设解为：1)()(),(iiitqxtxy代入方程代入方程：tlxPqSEIqiiiiisin)()(1 连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学43利用正则模态正交性条件利用正则模态正交性条件：
36、tlxPqSEIqiiiiisin)()(1 j两边乘两边乘 并沿梁长对并沿梁长对 x 积分：积分：ljiljiiljiidxlxtPdxSqdxEIq0100)(sin)(tlPqqiiiisin)(2 模态稳态解模态稳态解：,.2,1,sin)/(1)(22itlPqiiii梁的响应：梁的响应：1)()(),(iiitqxtxy,.2,1,)/(1)()(sin122ixltPiiiii连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学44,.2,1,)/(1)()(sin),(122ixltPtxyiiiii梁自由端的响应梁自由端的响应令令 x=l：,.2
37、,1,)/(1)(sin),(1222iltPtlyiiii),2,1(),sinh(sinsinhsincoshcoscoshcos)(illllllllxiiiiiiiilxi),4,3(,212 iili875.11 l694.42 l855.73 ltEIPltlysin.)855.7()694.4()875.1(4),(4342413,.2,1,)/(112iii连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学45例：简支梁，左端承受正弦支撑运动例：简支梁，左端承受正弦支撑运动tytgsin)(0试求梁的响应。试求梁的响应。yx0l1)(tg连续系统
38、的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学46yx0l1)(tg解：解：振动方程振动方程 tytgsin)(00)(2244tySxyyEIgdx22tySdxdxxMMdxxFFssMsF解释：解释：微段分析微段分析力平衡方程力平衡方程 0)(22sssFdxxFFtySdx22tySxFs)1)(),(lxtgtxyg连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学47yx0l1)(tgtytgsin)(0dx22tySdxdxxMMdxxFFssMsF22tySxFs以右截面上任一点为矩心，以右截面上任一点为矩心，力矩平衡
39、：力矩平衡：02)22dxtySdxdxFMdxxMMs（略去高阶小量：略去高阶小量：xMFs)1)(),(lxtgtxyg连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学48yx0l1)(tgdx22tySdxdxxMMdxxFFssMsF22tySxFsxMFs材料力学的等截面假设，弯矩与材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：挠度的关系：22),(),(),(xtxytxyEItxMg梁的振动方程：梁的振动方程：0)(2244tySxyyEIgtytgsin)(0)1)(),(lxtgtxyg连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023
40、年5月10日振动力学49yx0l1)(tg0)(2244tySxyyEIg代入方程：代入方程：)1)(),(lxtgtxyg令：令：gyyy*gyyy*gySySEIy *)4*()1(sin02lxtyS设解为：设解为：1*)()(iiitqxy归一化正则模态归一化正则模态lxilxisin2)(tytgsin)(0)1)(),(lxtgtxyg连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动2023年5月10日振动力学50)1(02*)4*(lxySySEIy 1*)()(iiitqxy代入：代入：tlxySqSEIqiiiiisin)1()(021 )(xj用用乘上式，并沿杆长积分
41、：乘上式，并沿杆长积分：ljiljiiljiidxlxtySdxSqdxEIq002100 )1(sin)(正交性：正交性：,.2,1,sin2022iityllqqiii 2i1连续系统的振动连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动13.行动才能成功，教练改变人生。3.人生就是这样，一半糊涂，一半清醒，有时糊涂，有时清醒。什么时候，放下随意，放弃如意，或许也是一种快乐，一种幸福。失落时悄悄徘徊，伤感时默默遐想。19、任何的限制，都是从自己的内心开始的。13、自古成功在尝试。6.礁石因为信念坚定，才激起了美丽的浪花;青春因为追求崇高，才格外地绚丽多彩。12.山不辞土，故能成其高;海不辞水，故能
42、成其深!4、我不知道我现在做的哪些是对的，那些是错的，而当我终于老死的时候我才知道这些。所以我现在所能做的就是尽力做好每一件事，然后等待着老死。12.真正的人是在权力、地位、金钱、财产等堆砌的基座倒塌之后，他仍然站立着。3.母爱是一缕阳光，让你的心灵即便在寒冷的冬天也能感受到温暖如春;母爱是一泓清泉，让你的情感即使蒙上岁月的风尘仍然清澈澄净。8、靠山山会倒，靠水水会流，靠自己永远不倒。16.顾客不是买产品，他更买做事认真的态度服务态度和服务精神。7.说一句谎话，要编造十句谎话来弥补，何苦呢?6.只要路是对的，就不怕路远。真心的对别人产生点兴趣，是推销员最重要的品格。10.成功的法则极为简单，但
43、简单并不代表容易。8.温暖是飘飘洒洒的春雨;温暖是写在脸上的笑影;温暖是义无反顾的响应;温暖是一丝不苟的配合。11.生活不能等待别人来安排，要自己去争取与奋斗!11.生命中的诸多告别，比不辞而别更让人难过的，是说一句再见，就再也没见过。4.学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。4.人因为心里不快乐，才浪费，是一种补偿作用。9.自己打败自己的远远多于比别人打败的。6、伟人所达到并保持着的高处，并不是一飞就到的，而是他们在同伴们都睡着的时候，一步步艰辛地向上攀爬的。10.滴水能穿石，只因为它永远打击同一点。8.只有不断找寻机会的人才会及时把握机会。11.感谢那些曾让我伤心难过的日子，我知道快乐已经离我不远了。16.我的财富并不是因为我拥有很多，而是我要求的很少。5.人生太短暂了，事情是这样的多，能不兼程而进吗?20.在世界的历史中，每一伟大而高贵的时刻都是某种热忱的胜利。9.行动不一定带来快乐，而无行动则决无快乐。
