1、第第2 2章章 信号分析基础信号分析基础通信系统中利用信号来传送信息，因此需要对信号的通信系统中利用信号来传送信息，因此需要对信号的性质以及信号通过线性系统进行分析。性质以及信号通过线性系统进行分析。一般信号是时间的函数，根据信号变化规律，可以将一般信号是时间的函数，根据信号变化规律，可以将信号分为两类：信号分为两类：确知信号确知信号-可以用确定的时间函数表示，如可以用确定的时间函数表示，如s(t)=sin ct 随机信号随机信号-不能用确定的时间函数表示，如不能用确定的时间函数表示，如s(t)=Asin(ct+),A等概取等概取0、1，在在0,2 均匀分均匀分布。布。本章分两个部分讨论。本章
2、分两个部分讨论。第1页/共111页信号分析基础 确知信号分析 随机信号分析第2页/共111页第一部分 确知信号分析2.1 信号的分类信号的分类2.2 傅里叶变换2.3 能量谱密度和功率谱密度2.4 卷积与相关2.5 信号通过线性系统2.6 希尔伯特变换第3页/共111页2.1 信号的分类信号的分类 确知信号的分类方法很多，如确知信号的分类方法很多，如1）模拟信号与数字信号模拟信号与数字信号 2 2）基带信号与频带信号）基带信号与频带信号 3 3）周期信号与非周期信号）周期信号与非周期信号 4 4）能量信号与功率信号）能量信号与功率信号本章主要讨论后两种分类方法。本章主要讨论后两种分类方法。1.
3、1.周期信号周期信号 若若f(t)=f(t+T)f(t)=f(t+T)对于任何对于任何t t值成立，则称值成立，则称f(t)f(t)为周期信号，为周期信号，T T为其为其周期。周期。第一部分第一部分 确知信号分析确知信号分析第4页/共111页2.能量信号与功率信号为有限值,则称f(t)为功率信号。dttf)(E2ttee,2dttfTTTTT2/2/2)(1limP)(2tfP，记作功率值也称做均方（1）能量信号：若f(t)表示一欧姆电阻上的电压或电流，则电阻上消耗的能量若EE,则称f(t)f(t)为能量信号。一般时域受限的信号能量为有限值，为能量信号，如某些非时限信号也是能量信号，如（2 2
4、）功率信号：功率信号：信号信号f(t)f(t)具有无穷大能量，但平均功率具有无穷大能量，但平均功率第5页/共111页功率信号的理解2Tt 在其它处当,02),()(TttftfTdttfETT)(2T若f(t)是功率信号，将f(t)截去在间隔 以外的部分，形成一个新的函数fT(t)，它可称为截短函数如图所示。即时，信号fT(t)的能量亦趋向。但是若取能量对时间的平均值，它就有可能趋向一个极限，这就是信号f(t)的平均功率。即周期信号的平均功率为为：周期信号的平均功率为为：222000)(1TTdttfTP第6页/共111页第一部分 确知信号分析2.1 信号的分类2.2 傅里叶变换傅里叶变换2.
5、3 能量谱密度和功率谱密度2.4 卷积与相关2.5 信号通过线性系统2.6 希尔伯特变换第7页/共111页信号分析方法信号分析方法以基本信号的某种运算表示各种复杂信号，以对其性质及其对系统的作用进行分析研究。分析信号的基本方法有：写出它的数学表达式，一般为时间的函数，绘出函数的图像称为信号的波形，这种方法成为时域分析法，时域分析法对于计算信号某时刻的值很方便；有时关心信号在频域的分布，以确定信号的带宽，用合适的信道来传输信息，这种方法称为频域分析法.第8页/共111页)()(,)()(FtfdtetfFf(t)Ftj记作：傅里叶正变换：其中F()称为f(t)的频谱密度函数或频谱函数，简称频谱，
6、又可写成对应的幅频特性F()、相频特性（）曲线称为频谱图。2.2 傅里叶变换傅里叶变换 2.2.1 傅里叶变换定义傅里叶变换定义)()()(jeFFdeFF(Ftftj)(21)(1傅里叶反变换：第9页/共111页几种常用信号的傅里叶变换及性质几种常用信号的傅里叶变换及性质第10页/共111页2.2.2 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质例调制)()()()(c)(cccFdtetfdteetfetfFtjtjtjtj)()(21cos)(ccctjtjetfetfttf第11页/共111页第一部分 确知信号分析2.1 信号的分类2.2 傅里叶变换2.3 能量谱密度和功率谱密度能量谱密度和功率谱
7、密度2.4 卷积与相关2.5 信号通过线性系统2.6 希尔伯特变换第12页/共111页 （1 1）能量信号）能量信号dttf)(E2（2 2）帕塞瓦尔定理）帕塞瓦尔定理2.4 能量谱密度和功率谱密度能量谱密度和功率谱密度dFdttf22)(21)(证明：2.4.1 能量谱密度能量谱密度第13页/共111页（3 3）能量谱密度dffEdEEFE)2(21E)(2）度）称为信号的能量谱密（，）令 这里E()存在于-0).第14页/共111页例2-1202)(ttAtfA当当则：时域，幅度为给定脉冲信号的宽度为求该信号的能量？求该信号的能量？第15页/共111页2.4.2 功率谱密度功率谱密度(1)
8、(1)功率信号：信号在-t+内存在，具有无穷大能量，但平均功率为有限值。dttfTTTT2/2/2)(1limP取f(t)的截短fT(t)=f(t),tT/2 0,其他tfT(t)FT()，fT(t)为能量信号，其能量为 dFdttfTT22T)(21E）（第16页/共111页 平均功率为dTFdttfTTETTTTTTTT22/2/2)(lim21)(1limlimP (2)功率谱密度。单边功率谱密度为 功率谱密度,双边为信号的），则）令)(2(,)(lim21)2(21P)(lim(22PPdTFdffPdPTFPTTTT对于功率信号为周期信号时，其功率和功率谱为：0101222/2/20
9、2)(,)(1P00TCTnCCdttfTnnnnnTT数，为周期信号的付立叶系为信号的周期,2）（P第17页/共111页第一部分 确知信号分析2.1 信号的分类2.2 傅里叶变换2.3 能量谱密度和功率谱密度2.4 卷积与相关卷积与相关2.5 信号通过线性系统2.6 希尔伯特变换第18页/共111页2.4.1 2.4.1 卷积卷积 来源于信号通过线性系统的概念,对应模型2.4 卷积与相关卷积与相关对应乘法器对应信号通过系统)()(21)()()()()()(21212121FFtftfFFtftf第19页/共111页与冲激函数的卷积：与冲激函数的卷积：卷积的性质卷积的性质卷积是一种特殊类型的
10、乘积，但它也符合代数定律)()()()()()()(3121321tftftftftftftf 分配率分配率)()()()()()(321321tftftftftftf 结合律结合律)()()()(1221tftftftf交换律交换律)()()()()()(00ttftttftfttf第20页/共111页2.4.2 2.4.2 相相 关关 物理意义物理意义：表示信号间的相似程度，分为：互相关函数 自相关函数第21页/共111页（1）自相关函数定义）自相关函数定义 表示一个信号与该信号延时后的相似程度，用表示一个信号与该信号延时后的相似程度，用R(t)表表示。示。能量信号能量信号 ，其自相关函数
11、定义为，其自相关函数定义为)(tfdtfftR)()()(功率信号功率信号 ，其自相关函数定义为，其自相关函数定义为)(tf22)()(1lim)(TTTdtffTtR周期信号周期信号 ，其自相关函数定义为，其自相关函数定义为)(tf22000)()(1)(TTdtffTtR第22页/共111页（2）相关定理）相关定理）（）（的互相关函数和为和定义时间函数*121221211221)()()()()()()()(FFtRtftfdtfftRtftf第23页/共111页 *b.实函数的自相关函数是实偶函数，即实函数的自相关函数是实偶函数，即R(-t)=R(t)R(-t)=R(t)。*c.信号的自
12、相关函数与其能量谱密度信号的自相关函数与其能量谱密度/功率谱密度构成傅功率谱密度构成傅里叶变换对。里叶变换对。1)1)自相关函数的性质自相关函数的性质)()()()(ffPtREtR对于功率信号：对于能量信号：*a.a.自相关函数的最大值出现在原点，即，自相关函数的最大值出现在原点，即，R(t)R(0)第24页/共111页PCdttfTRPdttfTREdttfRnnTTTTT22/2/202/2/2200)(10)(1lim0)(0）（对于周期信号：）（对于功率信号：）（对于能量信号：*d.d.信号的自相关函数在原点的值等于信号的能量信号的自相关函数在原点的值等于信号的能量/功率。功率。第2
13、5页/共111页d)t(f)(fTtRd)t(f)(fTlimtRd)t(f)(ftRTTTTT222112222112211211）（对周期信号：）（对功率信号：）（对能量信号：（3）互相关函数：信号的互相关函数与其能量谱密度信号的互相关函数与其能量谱密度/功率谱密度的关系：功率谱密度的关系：傅氏变换与反变换的关系。傅氏变换与反变换的关系。)()(12121212ffPtREtR）（对于功率信号：）（对于能量信号：表示两个信号间的相似程度，用表示两个信号间的相似程度，用 表示表示)(12tR第26页/共111页功率与能量计算举例mmmmffffffnfP,0,2)(例例2-2.某信号某信号f
14、(t)的功率谱密度为的功率谱密度为求f(t)的功率。信号的功率。所求为即瓦特）(2222)(P0mmfmmffmmfndfffndfffndffPm解：第27页/共111页第一部分 确知信号分析2.1 信号的分类2.2 傅里叶变换2.3 能量谱密度和功率谱密度2.4 卷积与相关2.5 信号通过线性系统信号通过线性系统2.6 希尔伯特变换第28页/共111页2.5 信号通过线性系统信号通过线性系统)(22)()()()()()()()()()()()()()(jfyfyeHHHppHEEHFYthtfty系统传递函数：功率谱：能量谱：频谱：时域：2.5.1 信号通过线性系统后输出与输入之间的各种
15、关系信号通过线性系统后输出与输入之间的各种关系第29页/共111页2.5.2 2.5.2 无失真传输系统特性无失真传输系统特性1.无失真传输条件无失真传输条件dtjkeH）(k为常数dtkH)(|(|）)()(dttkthBBeHdtj,0)(,2.实际滤波器特性实际滤波器特性第30页/共111页以理想低通滤波器为例 实现困难mmtjdeH|0|)(第31页/共111页第32页/共111页 指一个系统的幅频特性指一个系统的幅频特性|H()|在给定数值范围内分布在给定数值范围内分布的那段正频率区间。的那段正频率区间。如如LPF带宽带宽:B=fm BPF带宽：B=2fm（1 1）系统带宽）系统带宽
16、2.5.3 信号带宽与系统带宽信号带宽与系统带宽 第33页/共111页（2）3dB带宽带宽 定义为幅频特性在定义为幅频特性在频带中心处取值频带中心处取值的的0.7070.707倍以内倍以内（即（即3dB3dB内或半功率点内）的频率范围，内或半功率点内）的频率范围，B B3dB3dB=f f2 2-f f1 1（其中（其中1 1=2=2ff1 1,2 2=2=2ff2 2）。）。通频带B3dBO0.707A A|H()|1 幅频特性2第34页/共111页系统带宽（也称系统带宽（也称信道带宽信道带宽）与）与信号带宽信号带宽不同。系统带宽（也不同。系统带宽（也称信道带宽）指系统的传输能力；而信号带宽
17、指称信道带宽）指系统的传输能力；而信号带宽指携带信息的信号携带信息的信号的频率分布的频率分布，二者有一定关系，后面章节会涉及。，二者有一定关系，后面章节会涉及。*注意F()mOm例：低通信号带宽例：低通信号带宽:B=fm第35页/共111页（3 3）信号第一零点带宽）信号第一零点带宽也称能量带宽 不归零码：归零码：sTB1P(f)归零码不归零码fO1Ts11B第36页/共111页（4）信号带宽）信号带宽等效矩形带宽等效矩形带宽第37页/共111页（5 5）带通信号带宽）带通信号带宽 B=2fs第38页/共111页第一部分 确知信号分析2.1 信号的分类2.2 傅里叶变换2.3 能量谱密度和功率
18、谱密度2.4 卷积与相关2.5 信号通过线性系统2.6 希尔伯特变换希尔伯特变换第39页/共111页2.6 希尔伯特变换希尔伯特变换 定义希尔伯特变换网络相当于希尔伯特变换网络相当于-90-900 0移相网络，即移相网络，即 )()sgn()(FjFttfttfttfttfcos)(,sinsin)(,cos则）（则）（若)(tfh(t)1t)(tf -90o)(tf)(tfttftf1)()(第40页/共111页第二部分第二部分 随机信号分析随机信号分析2.7 随机信号的概念与定义随机信号的概念与定义2.8 平稳随机过程2.9 高斯随机过程2.10 高斯白噪声2.11 窄带随机过程2.12
19、正弦波加窄带高斯噪声第41页/共111页2.7 随机信号的概念与定义随机信号的概念与定义 基本概念基本概念1.1.随机变量定义：随机变量定义：在某试验空间中，存在一个变量，它依试验结果而改变，随机取不同值，则该变量为随机变量。2.2.分布函数分布函数F(X)与概率密度函数概率密度函数p(x)定义：分布函数xdxxpxXPXF)()(2.7.1 2.7.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数 第42页/共111页3.随机变量及概率分布随机变量及概率分布 数字特征数字特征1)数学期望：（1）离散随机变量：（2）连续型随机变量：（3）数学期望的含义：代表信号中心点的均值，信号围绕着均值上下摆动。2
20、)方差iii)x(px)x(EdxxxpxE)()(iiiiiiiiixpxxpxxpx222)()()()(x)离散型随机变量：222222)()()()()()()()(xExEdxxxpxpxdxxpxxExEx连续型随机变量：第43页/共111页2.7.2 随机过程随机过程1.1.随机过程的基本概念随机过程的基本概念 随机信号为不可能用确定的函数来描述的信号，也可称为随机过程。是时间t的函数，但在任一时刻上观察到的值却是不确定的，是一个随机变量。例：有n台性能完全相同的接收机，在相同的工作环境和测试条件下记录各台接收机的输出噪声波形（这也可以理解为对一台接收机在一段时间内持续地进行n次
21、观测）。测试结果将表明，尽管设备和测试条件相同，记录的n条曲线中找不到两个完全相同的波形。这就是说，接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。第44页/共111页随机变量随机变量 在样本空间（足够多的随机试验所构成的集合S）中，存在一个变量，它依试验结果的改变而随机取不同的值，则称此变量为随机变量，可用X、Y等表示。随机过程随机过程 事物变化的过程不可用一确定函数关系描述，则称这个过程为随机过程。随机过程是依赖于时间t的随机变量的总体，可用 X(t)、Y（t）、（t）表示。比较：随机变量与随机过程比较：随机变量与随机过程(1/2)(1/2)第45页/共111页 由此我
22、们给随机过程下一个更为严格的定义：设Sk(k=1,2,)是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体x1(t),x2(t)，,xn(t)，就构成一随机过程，记作(t)。简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程，如图 所示。比较：随机变量与随机过程(2/2)第46页/共111页（1 1）随机过程的分布函数和概率密度）随机过程的分布函数和概率密度 设(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1T，其取值(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量(t1)小于或等于某一数值x1的概率P(
23、t1)x1，简记为F1(x1,t1)，即F1(x1,t1)=P(t1)x1 为随机过程(t)的一维分布函数。如果F1(x1,t1)对x1的偏导数存在，即有2 2、随机过程的统计特性、随机过程的统计特性第47页/共111页),(),(1111111txpxtxF 则称称 为为(t)(t)的一维概率密度函数的一维概率密度函数。显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，为此需要进一步引入二维分布函数。任给两个时刻t1,t2T，则随机变量(t1)和(t2)构成一个二元随机变量(t1),
24、(t2)，称F2(x1,x2;t1,t2)=P(t1)x1,(t2)x2 为随机过程(t)的二维分布函数二维分布函数。),(111txp第48页/共111页),;,(),;,(2121221212122ttxxpxxttxxF).,;.,(.).,.;,(2121212,1212nnnnnntttxxxpxxxtttxxF如果存在 则称则称pn(x1,x2,xn;t1,t2,tn)为为(t)的的n维概率密度函数。显然，维概率密度函数。显然，n越越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，掌握
25、二维分布函数就已经足够了。在一般实际问题中，掌握二维分布函数就已经足够了。则称则称 为为 的二维概率密度函数。的二维概率密度函数。同理，任给同理，任给t1,t2,tnT,则则 的的n维分布函数被定义为维分布函数被定义为Fn(x1,x2,xn;t1,t2,tn)=P(t1)x1,(t2)x2,(tn)xn),;,(21212ttxxp)(t)(t第49页/共111页随机过程的数字特征随机过程的数字特征 分布函数分布函数或概率密度函数概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性,但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征数字特征来描述随机过程的统计特性，
26、更简单直观。随机过程的数字特征包括数学期望、方差、自相关函数数学期望、方差、自相关函数等。3 3、随机过程的统计特性、随机过程的统计特性 随机过程的数字特征随机过程的数字特征第50页/共111页dxtxpxtE),()(1 a(t)a(t)是时间是时间t t的函数，它表示随机过程的的函数，它表示随机过程的n n个样本函数曲线的摆个样本函数曲线的摆动中心（平均值）。动中心（平均值）。(1)数学期望数学期望 注意，这里注意，这里t1是任取的，所以可以把是任取的，所以可以把t1直接写为直接写为t,这时上式就变这时上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)
27、，设随机过程设随机过程 在任意给定时刻在任意给定时刻t t1 1的取值的取值 是一个随机变量，其是一个随机变量，其概率密度函数为概率密度函数为f f1 1(x,t(x,t1 1)，则，则 的数学期望为的数学期望为 )(t)(1t)(1t第51页/共111页 常记为常记为2 2(t)(t)，方差表示随机过程在时刻，方差表示随机过程在时刻t t对于均值对于均值a(t)a(t)的偏的偏离程度。离程度。均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而它均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而它们描述了们描述了随机过程在各个孤立时刻随机过程在各个孤立时刻的特征。为了描述随机过程在两个不的
28、特征。为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系，同时刻状态之间的联系，还需利用还需利用二维概率密度二维概率密度引入新的数字特征。引入新的数字特征。(2)(2)方差方差)(tD2)()(tat E21)(),(2tadxtxpx)(tD第52页/共111页 衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度时，常用自协方差函数B(t1,t2)和自相关函数R(t1,t2)来表示。自协方差函数定义为:21212122211221121),;,()()()()(),(dxdxttxxptaxtaxtaxtaxEttB 式中，t1与t2是任取的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及t2时刻得
29、到的数学期望；p2(x1,x2;t1,t2)为二维概率密度函数。2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxpxxttEttR(3)(3)相关函数相关函数(1/3)(1/3)自相关函数定义为第53页/共111页 若若a(t1)=0或或a(t2)=0，则，则B(t1,t2)=R(t1,t2)。若若t2t1，并令，并令t2=t1+，则，则R(t1,t2)可表示为可表示为R(t1,t1+)。这说明，自相关函数依赖于起始时刻这说明，自相关函数依赖于起始时刻t1及及t2与与t1之间的时间间隔之间的时间间隔,即相关即相关函数是函数是t1和和的函数。的函数。不相关时不相关时(3)(3)
30、相关函数相关函数(2/3)(2/3)二者关系为二者关系为021)t,t(B)()(),(),(212121tEtEttRttB第54页/共111页互相关函数定义：互相关函数定义：设(t)和(t)分别表示两个随机过程，则 互协方差函数互协方差函数：(3)(3)相关函数相关函数(3/3)(3/3)对于两个或更多个随机过程，可引入对于两个或更多个随机过程，可引入互协方差互协方差及及互相关函数互相关函数。121122(,)()()()Bt tEtattat1212(,)()()Rt tEtt第55页/共111页第二部分第二部分 随机信号分析随机信号分析2.7 随机信号的概念与定义2.8 平稳随机过程平
31、稳随机过程2.9 高斯随机过程2.10 高斯白噪声2.11 窄带随机过程2.12 正弦波加窄带高斯噪声第56页/共111页2.8 平稳随机过程平稳随机过程1.1.严平稳严平稳 指它的任何指它的任何n n 维分布函数维分布函数或或n n 维概率密度函数维概率密度函数与时间起点无关。与时间起点无关。称为称为严平稳随机过程严平稳随机过程或或狭义平稳随机过程狭义平稳随机过程。该定义说明，当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有该定义说明，当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有有限维概率密度限维概率密度是不变的。是不变的。),.,;,.,(),.,;,.,(21212121nnnnnnt
32、ttxxxptttxxxp2.8.1 平稳随机过程定义平稳随机过程定义第57页/共111页2.2.宽平稳：宽平稳：满足以下两个条件（1）随机过程(t)的均值adxtxpxtE),()(111 为一常数，方差为一常数，方差2 2(t)=(t)=2 2=常数常数（2）随机过程(t)的自相关函数)(),;,()()(21212122111RdxdxttxxpxxttE),tR(t21仅是时间间隔=t2-t1的函数，即 R(t1,t1+)=R()则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。第58页/共111页 许多许多平稳随机过程的数字特征平稳随机过程的数字特征（均为统计
33、平均）完全可（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的由随机过程中的任一实现的时间平均时间平均来替代来替代,若若x(t)x(t)为平稳随为平稳随机过程的任一实现，则机过程的任一实现，则2/2/)(1)(limTTTdttxTtxa2/2/)()(1)()()(limTTTdttxtxTtxtxR2.8.2 平稳随机过程的各态历经性则称该平稳随机过程具有则称该平稳随机过程具有各态历经性各态历经性。第59页/共111页“各态历经各态历经”的含义：随机过程中的的含义：随机过程中的任一实现任一实现都经历了随都经历了随机过程的机过程的所有可能状态所有可能状态。因此，。因此，只需从任意一个随机过程只需
34、从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有数字特征，的样本函数中就可获得它的所有数字特征，从而使从而使“统计统计平均平均”化为化为“时间平均时间平均”，使实际测量和计算的问题大为，使实际测量和计算的问题大为简化。简化。注意注意:具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但但平稳随机过程不一定是各态历经的平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。一般均能满足各态历经条件。第60页/共111页设(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数2.8.3 平稳随机过程自
35、相关函数的性质平稳随机过程自相关函数的性质具有下列主要性质：（1）(t)的平均功率 （2）(t)的直流功率（3）的偶函数（4）（5）方差，(t)的交流功率 当均值为0时，有R(0)=2。)()()(),(RttEttR2(0)()REts()()RR()(0)RR)()(2tER2)()0(RR第61页/共111页2.8.4 平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度 平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度是一对傅氏变换关系。即deRPj)()(dePRj)(21)(简记为)()(PR第62页/共111页例例2-32-3 某随机相位余弦波某随机相位余弦波(t)=Acos(t)=Acos(
36、c ct+)t+)，其中，其中A A和和c c均为常均为常数，数，是在是在(0,2)(0,2)内均匀分布的随机变量，求内均匀分布的随机变量，求(t)(t)的自相关函数与的自相关函数与功率谱密度？功率谱密度？解：考察(t)是否广义平稳。（1）(t)的数学期望为dtAtEtac21)cos()()(20dttAcc)sinsincos(cos220常数）(0sinsin(coscos22020dtdtAcc第63页/共111页)cos()cos(21tAtAEcc2)(cos)(cos212122ttttEAccdttAttAcc212)(cos2)(cos2122021220)(cos2122t
37、tAc的自相关函数为)(t因为 的数学期望为常数，而自相关函数只与时间间隔有关，所以 为广义平稳随机过程。)(t)(t第64页/共111页平均功率为平均功率为2)0(2ARS 根据平稳随机过程的相关函数相关函数与功率谱密度功率谱密度是一对傅里叶变换，则)()(cosccct所以，功率谱密度为)(2)(2)(22ccAAP第65页/共111页2.8.5 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上。设输入过程为号通过线性系统的分析原理的基础之上。设输入过程为 i(t),输出
38、过程为输出过程为 0(t),系统的单位冲激响应系统的单位冲激响应h(t),则有：则有：)(),()(,)()(),()()()()()()()(oHh(t)ttHdhtdthtoiiioiio其中：第66页/共111页2.8.6 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 输出随机过程的随机特征输出随机过程的随机特征（1）输出随机过程的数学期望）输出随机过程的数学期望)0()()()()(hE )()()(i-HdtEhdttthEtEiiio第67页/共111页2.8.6 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统 输出随机过程的随机特征输出随机过程的随机特征（2）输出随机过程的自相关函数）输出
39、随机过程的自相关函数（3 3）功率谱密度：）功率谱密度：ddRhhttEttRiooo)()()()()(),(-1111)(|)(|)(2iOPHP第68页/共111页结论：结论：（1）若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过）若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。程也是平稳的。（2）如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统）如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。但要注意，由于线性系的输出过程也是高斯型的。但要注意，由于线性系统的介入，与输入高斯过程相比，输出过程的数字统的介入，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。特征已经改变了。应用：
40、带限白噪声的功率、功率谱、自相关函数计算应用：带限白噪声的功率、功率谱、自相关函数计算第69页/共111页例题例题2-42-4 试求功率谱密度为试求功率谱密度为n0/2的白噪声通过如下低通滤波器的功率谱密度、的白噪声通过如下低通滤波器的功率谱密度、自相关函数及噪声功率？自相关函数及噪声功率？其他00Htjdek)(H其他00Htjdek)(H解：理想低通的传输特性为解：理想低通的传输特性为HkH|)(|202第70页/共111页dePRj)(21)(00dfenKfjffHH20202HHHfnksin020 可见，可见，输出噪声的功率谱密度在输出噪声的功率谱密度在|H内是均匀的，内是均匀的，
41、在在此范围外则为零，通常把这样的噪声称为此范围外则为零，通常把这样的噪声称为带限白噪声带限白噪声。其自相关函数为其自相关函数为2)(|)(|)(0202nkPHPiO输出功率谱密度为第71页/共111页 带限白噪声只有在=k/2fH(k=1,2,3,)上得到的随机变量才不相关。它告诉我们，如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。这是一个很重要的概念。带限白噪声的自相关函数Ro()在=0 处有最大值，即带限白噪声的平均功率:fOPo()ORo()fHfHn02K0212fH12fHK0n0 fH2HfnkRo020)0(第72页/共111页2.8.7 2.8.7 非平
42、稳随机过程的功率谱非平稳随机过程的功率谱 当x(t)为非平稳随机过程dettRPjxx),()(tttciocos)()(求 的功率谱密度？)(to例题例题2-12：为为0均值的广义平稳过程，下式均值的广义平稳过程，下式)(ti第73页/共111页tcos)t(Etcos)t(E)t(Ecici0)t(cos)cos(R)t(cos)t(tcos)t(E)t()t(E)t,t(Rccicici2210001 1、均值、均值2 2、自相关函数、自相关函数)t(0的自相关函数的时间平均值为ciccicos)(R)t(cos)cos(R)t,t(R212210第74页/共111页dettRPji),
43、()(0ciccicos)(R)t(cos)cos(R)t,t(R212210根据根据第75页/共111页第二部分第二部分 随机信号分析随机信号分析2.7 随机信号的概念与定义2.8 平稳随机过程2.9 高斯随机过程高斯随机过程2.10 高斯白噪声2.11 窄带随机过程2.12 正弦波加窄带高斯噪声第76页/共111页介绍几个概念介绍几个概念),.,;,.,(),.,;,.,(),.,;,.,;,.,;,.,(,.,.,:)()(,0)()()()(0)()()()(21212121212121212121mmYnnXmnmnXYmnYXXYYXXYXYsssyyyftttxxxfsssttt
44、yyyxxxfTsssttttindependenmmRmtYmtXECeduncorrelattYtXERorthogonal恒有任取独立即线性无关正交独立无关正交如果正态至少一个信号的均值为0第77页/共111页2.9 高斯随机过程高斯随机过程2.9.1 定义定义 式中,，|B|为归一化协方差矩阵的行列式，|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子。若随机过程若随机过程(t)的任意的任意n维（维（n=1,2,）分布都是正态分布，则称它）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。为高斯随机过程或正态过程。其其n维概率密度函数表示如下：维概率密度函数表示如下：),.,;,.,(2
45、121nntttxxxp)ax)(ax(BBexpB.)(njnkkkkjjjjknn11212122121)(kktEa22)(kkkatE第78页/共111页B1 b12 b1nb21 1 b2nbn1 bn2 1 bjk为归一化协方差函数，高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，即对所有jk有bjk=0kjkkjjjkatatEb)()(第79页/共111页njjjjnjjnnnnaxtttxxxp1221221212)(exp)2(1),.,;,.,(),(.),(),(2)(exp211221111221nnjjjnjjtxptxptxpax 也就是说，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相
46、关的，那么它们也是统计独立的。独立无关正交如果正态至少一个信号的均值为0第80页/共111页特性：(1)p(x)对称于x=a这条直线。(2)2)(exp(21)(22axxp 式中，式中，a为数学期望，为数学期望，2为方差。为方差。p(x)曲线如图所示：曲线如图所示：高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量，高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量，其一维概其一维概率密度函数率密度函数可表示为可表示为2.9.2 高斯随机过程的一维统计特性高斯随机过程的一维统计特性)()(xapxapadxxp)(1)(;21)(dxxpdxxpa 第81页/共111页 （1）如果高斯过程是广义
47、平稳的，则它也是狭义平稳的。如果高斯过程是广义平稳的，则它也是狭义平稳的。（2）如果高斯过程是不相关的，如果高斯过程是不相关的，则它也是独立的。则它也是独立的。2.9.3 重要性质重要性质（3）a表示分布中心，表示分布中心，表示集中程度，表示集中程度，p(x)图形将随着图形将随着的减小而变高和变窄。的减小而变高和变窄。当当a=0，=1时，称时，称p(x)为标准正态分布为标准正态分布的密度函数。的密度函数。第82页/共111页当我们需要求高斯随机变量当我们需要求高斯随机变量小于或等于任意取值小于或等于任意取值x的概率的概率P(x)时，还要用到正态分布函数。时，还要用到正态分布函数。正态分布函数正
48、态分布函数是概率密是概率密度函数的积分，即度函数的积分，即dzazxPxFx2)(exp21)()(22 设法把这个积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊设法把这个积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来：函数联系起来：2.9.4 正态分布函数的积分表达式正态分布函数的积分表达式第83页/共111页（1 1）概率积分函数）概率积分函数xdzzx2exp21)(2axdzazxPxFx2)(exp21)()(22第84页/共111页（2）误差函数和互补误差函数）误差函数和互补误差函数xtdtexerf022)(它是自变量的递增函数，它是自变量的递增函数，erf(0)=0，erf()
49、=1且且erf(-x)=-erf(x)。我们称。我们称1-erf(x)为互补误差函数，记为为互补误差函数，记为erfc(x),即即:dtexerfxerfcxt22)(1)(它是自变量的递减函数，它是自变量的递减函数，erfc(0)=1，erfc()=0，误差函数的定义式为误差函数的定义式为第85页/共111页 用误差函数或互补误差函数表示用误差函数或互补误差函数表示F(x)的好处是，它简明的好处是，它简明的特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。的特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。F(X)=时当axaxerf),2(2121时当axaxerfc),2(211正态分布函数表达式为正态分布
50、函数表达式为：第86页/共111页（3）Q函数1)()()22(21)(21)(2/2xxQxerfcxQdtexQxt第87页/共111页第二部分第二部分 随机信号分析随机信号分析2.7 随机信号的概念与定义2.8 平稳随机过程2.9 高斯随机过程2.10 高斯白噪声高斯白噪声2.11 窄带随机过程2.12 正弦波加窄带高斯噪声第88页/共111页2.10 高斯白噪声高斯白噪声 理想白噪声理想白噪声 低通白噪声低通白噪声 带通白噪声带通白噪声 高斯白噪声高斯白噪声第89页/共111页 信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即2.10.1 2.10.
