1、【课前测试】1、已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn1(nN*)，则通项an_.解析：anSn1，an1Sn11(n2)，由，得anan1an0，即(n2)，又a1，数列an是首项为，公比为的等比数列，则ann1.答案：2、已知数列an是首项为1，公差为2的等差数列，数列bn满足关系，则数列bn的通项公式为 .解析：由题意可得ana1(n1)d2n1(nN*)，且，当n2时，两式作差可得，则bn答案：bn数列通项求解【知识梳理】1、数列的通项an与前n项和Sn的关系是an当n1时，a1若适合SnSn1，则n1的情况可并入n2时的通项an；当n1时，a1若不适合SnSn1，则用分段函数的
2、形式表示.2、由数列的递推关系求通项公式的常用方法(1)已知a1，且anan1f(n)，可用“累加法”求an.(2)已知a1(a10)，且f(n)，可用“累乘法”求an.(3)已知a1，且an1qanb，则an1kq(ank)(其中k可用待定系数法确定)，可转化为ank为等比数列.(4)形如an1(A，B，C为常数)的数列，将其变形为，若AC，则是等差数列，且公差为，若AC，则采用待定系数法构造新数列求解.【课堂讲解】考点一 an与Sn的关系的应用an= S1 , n=1Sn-Sn-1, n2.命题点1 已知an与Sn的关系求an例1、(1)已知数列an的前n项和Sn3n22n1(nN*)，则
3、其通项公式为 解析：当n1时，a1S13122112；当n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1时，不满足上式故数列的通项公式为an答案：an(2)若数列an的前n项和Snan(nN*)，则an的通项公式an .解析：由Snan，得当n2时，Sn1an1，两式相减，整理得an2an1，又当n1时，S1a1a1，a11，an是首项为1，公比为2的等比数列，故an(2)n1.答案：(2)n1(3)已知数列an，满足a12a23a3nan2n，则an_.解析：当n1时，由已知，可得a1212，当n2时，a12a23a3nan2n，故a12a23a3(n1)an12
4、n1，由得nan2n2n12n1，an.显然n1时不满足上式，an答案：变式训练：1、在数列an中，Sn是其前n项和，且Sn2an1，则数列的通项公式an .解析：由题意得Sn12an11，Sn2an1，两式相减得Sn1Sn2an12an，即an12an，又S12a11a1，因此a11，所以数列an是以a11为首项、2为公比的等比数列，所以an2n1.答案：2n12、已知Sn为正项数列an的前n项和，且满足Sn12an212an (nN*)(1)求a1，a2的值；(2)求数列an的通项公式解：(1)由Snaan(nN*)，可得a1aa1，解得a11；S2a1a2aa2，解得a22；(2)Sna
5、an，当n2时，Sn1aan1，整理得(anan11)(anan1)0.由于anan10，所以anan11，又由(1)知a11，故数列an是首项为1，公差为1的等差数列，故ann.3、设数列an满足a1+3a2+(2n-1)an=2n，(nN*).求数列an的通项公式.解析：因为a13a2(2n1)an2n，故当n2时，a13a2(2n3)an12(n1)两式相减得(2n1)an2，所以an(n2)又由题设可得a12，从而an的通项公式为an.命题点2 已知an与Sn的关系求Sn例2、设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_.解析：将an1转化为Sn与Sn1，再求解由已
6、知得an1Sn1SnSn1Sn，两边同时除以Sn1Sn，得1，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，则1(n1)n，所以Sn.答案：变式训练：已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn_.解析：由已知Sn2an1，得Sn2(Sn1Sn)，即2Sn13Sn，而S1a11，所以Snn1.答案：n1考点二 已知a1且anan1f(n)求an.(累加法)例3、设数列an中，a12，an1ann1，则an_.解析：由条件知an1ann1，则an(a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan1)a1(234n)2.答案：变式训练：1、在数列an中，a13，an1an，则通项公式an .解
7、析：原递推公式可化为an1an，则a2a1，a3a2，a4a3，an1an2，anan1，逐项相加得ana11，故an4.答案：42、在数列an中，a12，an1an3n2，则通项公式an .解析：an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)当n1时，a1(311)2符合上式，ann2.答案：n2考点三 已知a1且f(n)求an.(累乘法)例4、设数列an中，a12，an1an，则an_.解析：an1an，.ana12.答案：变式训练：1、设数列an中，a11，an12nan，则an_.解析：an12nan，2n1 (n2)，ana12
8、n12n2212123(n1).又a11适合上式，故an(nN*)答案：2、在数列an中，a14，nan1(n2)an，求数列an的通项公式解：由递推关系得，又a14，ana1442n(n1)(nN*)考点四 已知a1且an1qanb，则an1kq(ank)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列ank例5、设数列an中，a12，an12an3，则an_.解析：设递推公式an12an3可以转化为an1t2(ant)，即an12ant，解得t3.故an132(an3)令bnan3，则b1a135，且2.所以bn是以5为首项，2为公比的等比数列所以bn52n1，故an52n13.答案：52n
9、13变式训练：1、设数列an中，a11，an13an2，则an_.解析：an13an2，an113(an1)，又a11，a112，故数列an1是首项为2，公比为3的等比数列，an123n1，故an23n11(nN*)答案：23n11(nN*)2、在数列an中，已知a11，an12an1，则其通项公式an_. 2n1法一：由an12an1，可求a23，a37，a415，验证可知an2n1.法二：由题意知an112(an1)，数列an1是以2为首项，2为公比的等比数列，an12n，an2n1.答案：2n1考点五 形如an1(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解例6、设
10、数列an中，a12，an1，则an_.解析：an1，a12，an0，即，又a12，则，是以为首项，为公差的等差数列(n1).an.答案：变式训练：已知数列an满足a11，且an1(nN*)，则数列an的通项公式为_解析：由已知，可得当n1时，an1.两边取倒数，得3.即3，所以是一个首项为1，公差为3的等差数列则其通项公式为(n1)d1(n1)33n2.所以数列an的通项公式为an.答案：an考点六 一元二次方程型例7、已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解：(1)由题意可得a2，a3.(2)由a(2an11)an2a
11、n10得2an1(an1)an(an1)因此an的各项都为正数，所以.故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an.变式训练：已知正项数列an的前n项和为Sn满足：Sn2-n2+n-1Sn-n2+n=0.求数列an的通项公式an；解：由S(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0，由于an是正项数列，所以Sn10.所以Snn2n(nN*)n2时，anSnSn12n，n1时，a1S12适合上式所以an2n(nN*)考点七 形如an1anf(n)的数列，可将原递推关系改写成an2an1f(n1)，两式相减即得an2anf(n1)f(n)，然后按奇偶分类讨论即可.例8、设数列an中，
12、a11，an1an2n，则an_.解析：an1an2n，an2an12n2，故an2an2.即数列an是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列当n为偶数时，a21，故ana22n1.当n为奇数时，an1an2n，an1n(n1为偶数)，故ann.综上所述，an.答案：an变式训练：已知数列an满足a11，an1an2n(nN*)，an_.解析：an1an2n，an2an12n1，两式相除得2.又a1a22，a11，a22.数列an的奇数项和偶数项均是以2为公比的等比数列，当n为奇数时ana12n+12-1=2n-12；当n为偶数时ana22n2-1=2n2；综上：an=2n-12，n为奇数2n2
13、， n为偶数答案：2n-12，n为奇数2n2， n为偶数【课后练习】1、已知数列an满足a1a2a3ann2，则该数列的通项公式为()Aan2 Ban2Can Dan解析：选C当n1时，a11.当n2时，a1a2a3an1(n1)2，所以当n2时，an2.所以an答案：C2、设数列an的前n项和为Sn，且Sn2(an1)，则an()A2n B2n1 C2n D2n1解析：当n1时，a1S12(a11)，可得a12；当n2时，anSnSn12an2an1，an2an1，an22n12n.选C.答案：C3、已知数列an的各项均为正数，Sn为其前n项和，且对任意nN*，均有an，Sn，a成等差数列，
14、则an_解析：因为an，Sn，a成等差数列，所以2Snana，当n1时，2S12a1a1a，又a10，所以a11，当n2时，2an2(SnSn1)anaan1a，所以(aa)(anan1)0，所以(anan1)(anan11)0，又anan10，n2，所以anan11，n2，所以an是等差数列，其公差为1，因为a11，所以ann(nN*)答案：n4、在数列an中，a12，an2an12n1(n2)，则an_解析：a12，an2an12n1(n2)，2.令bn，则bnbn12(n2)，b11.bn1(n1)22n1，则an(2n1)2n.5、已知a12a222a32n1an96n，求数列an的通
15、项公式解：令Sna12a222a32n1an，则Sn96n，当n1时，a1S13；当n2时，2n1anSnSn16，an.而n1时，a13，不符合上式，通项公式an答案：(2n1)2n6、已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Snan4(nN*)(1)求证：数列an为等差数列；(2)求数列an的通项公式解：(1)证明当n1时，有2a1a14，即a2a130，解得a13(a11舍去)当n2时，有2Sn1an5，又2Snan4，两式相减得2anaa1，即a2an1a，也即(an1)2a，因此an1an1或an1an1.若an1an1，则anan11.而a13，所以a22，这与数列an
16、的各项均为正数相矛盾，所以an1an1，即anan11，因此数列an是首项为3，公差为1的等差数列(2)解由(1)知a13，d1，所以数列an的通项公式an3(n1)1n2，即ann2.【课后测试】1、已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2an4(nN)，则an_.解析：由Sn2an4可得Sn12an14(n2)，两式相减可得an2an2an1(n2)，即an2an1(n2)又a12a14，a14，所以数列an是以4为首项，2为公比的等比数列，则an42n12n1.答案：2n12、在数列an中，a11，anan1(n2，nN*)，则数列an的通项公式为_解析：anan1(n2)，an1an2，an2an3，a2a1.以上(n1)个式子相乘得，ana1.当n1时，a11，符合上式，an.答案：an
