1、一、选择题1平面过正方体的顶点，点、分别为、的中点，若平面，平面，则直线与直线所成角的正切值为（ ）ABCD2已知正三棱锥的侧面上动点Q的轨迹是以P为焦点，为准线的抛物线，若点Q到底面的距离为d，且，点H为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD3在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则A0BC2D4已知，、，则向量与的夹角是（ ）ABCD5如图，正四棱锥中，已知，则（ ）ABCD6在直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD7如图，在正方体中，分别为棱，的中点，则与所成角的余弦值为（ ）ABCD8中，将绕旋转得，当直线与平面所成角正弦值为时，P、A
2、两点间的距离为（ ）ABCD9已知二面角的两个半平面与的法向量分别为，且，则二面角的大小为（ ）ABC或D或10在如图所示的几何体中，四边形是正方形，是等腰梯形，给出下列三个命题：平面平面；异面直线与所成角的余弦值为；直线与平面所成角的正弦值为那么，下列命题为真命题的是（ ）ABCD11如图,在四面体中,是的中点,是的中点,则等于（ ）ABCD12已知，若、三向量共面，则实数等于（ ）ABCD13设向量，其中，则下列判断错误的是（ ）A向量与轴正方向的夹角为定值（与、之值无关）B的最大值为C与夹角的最大值为D的最大值为l二、填空题14三棱锥中，、两两垂直，且.给出下列四个命题： ；和的夹角为；
3、三棱锥的体积为.其中所有正确命题的序号为_.15正四面体ABCD的棱长为a，点E、F分别是BC、AD的中点，则的值为_.16平行六面体中，且，则等于_.17设（1，1，0），（1，1，0），（1，0，1），（0，0，1），存在正交基底，则四个向量中除正交基底外的向量用正交基底表示出来并写在填空处；否则在填空处写上“无正交基底”你的答案是_18如图所示,在空间四边形OABC中，,点在线段上，且，为中点，若，则_19已知向量，若，则实数的值为_.20如图，在三棱柱中，点，分别在棱和棱上，且，则二面角的正切值_21如图，矩形中，平面，若在上只有一个点满足，则的值等于_.22如图，棱长为2的正方体中，
4、是棱的中点，点P在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为_.23设向量，且，则的值为_24已知向量，若向量、的夹角为钝角，则实数的取值范围是_25如图，在和中，是的中点，若，则与的夹角的余弦值等于_26如图，在正四棱锥中，二面角为60，E为的中点.已知F为直线上一点，且F与A不重合，若异面直线与所成角为60，则=_.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1B解析：B【分析】以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，用向量法计算即可.【详解】不妨设AB=2, 以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，则设平面EFG的一个法向量，则，不妨令x=1，则易知平面ABCD的一
5、个法向量为，设直线m，n的方向向量分别为，因为平面，所以不妨令=1，则同理可求设直线与直线所成角为，则所以故选：B【点睛】向量法解决立体几何问题的关键：(1)建立合适的坐标系；(2)把要用到的向量正确表示；(3)利用向量法证明或计算.2C解析：C【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求直线与所成角的余弦值【详解】设ABC的中心为O，如图示：以为x轴，过O平行于BC的为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，不妨设|BC|=2，则有：过Q作QD底面ABC于D,QEAB于E，由抛物线的定义知：|QE|=|PD|=2d，|QD|=d.在RtQDE中，QDE=90，所以，即侧面于底面所成的二面角为30.设则有，
6、所以设直线与所成角为，则即直线与所成角的余弦值为故选：C【点睛】向量法解决立体几何问题的关键：(1)建立合适的坐标系；(2)把要用到的向量正确表示；(3)利用向量法证明或计算.3B解析：B【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用向量加法的运算法，分别用与表示出向量与，利用数量积的运算法则求解即可求【详解】如图所示，棱长为2的正四面体中，因为分别是的中点，所以，故选B【点睛】本题考查了空间向量的线性运算与数量积的运算法则，是基础题向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.4D解析：D【分析】设向量与的夹角为，计算出向量与的坐标，然后由计算出的值，可得出的
7、值.【详解】设向量与的夹角为，则，所以，故选D.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查利用向量的坐标计算向量的夹角，考查计算能力，属于中等题.5A解析：A【分析】连接交点为O，根据根据向量加法运算法则，求得，然后由求解.【详解】如图所示：连接交点为O，则，又，所以，又，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查空间向量基本定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6C解析：C【分析】作出图形，分别取、的中点、，连接、，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】设，分别取、的中点、，连接、，在直三棱柱中，四边
8、形为平行四边形，则且，、分别为、的中点，所以，且，所以，四边形为平行四边形，底面，底面，为的中点，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，由于，则、，因此，异面直线与所成角的余弦值为.故选：C.【点睛】本题考查利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值，考查计算能力，属于中等题.7A解析：A【分析】如图以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出和的坐标，设与所成的角为，利用即可求解.【详解】如图以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，所以，设与所成的角为，所以，与所成角的余弦值为，故选：A【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法
9、，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.8B解析：B【分析】取PA的中点D，连接CD，因为CA=CP，则CDPA，连接BD，过C作CEBD，E为垂足，由题意得到CPE就是直线PC与平面PAB所成角，利用直线PC与平面PAB所成角的正弦值为，PC，求出CE，再求出CD，可得PD，即可得出结论【详解】取PA的中点D，连接CD，因为CA=CP，则CDPA，连接BD，过C作C
10、EBD，E为垂足，由已知得BCCA， BCCP， ，则BC平面PAC， 得到BCPA，可得PA平面BCD，又平面PAC 平面BCD平面PBA，平面BCD平面PBA=BD，由两个平面互相垂直的性质可知：CE平面PBA，CPE就是直线PC与平面PAB所成角，直线PC与平面PAB所成角的正弦值为，PCAC =，CE， 设CDx，则BD， ，x1，PC，PD，PA2PD2故选：B【点睛】本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力和分析推理能力以及计算能力，属于中档题9C解析：C【分析】由于方向量的方向性，平面的法向量有正向量或负向量；当、为异号向量，二面角为减去两法向量夹角；当、为同号向量，二面
11、角即为两法向量的夹角，由此即可求得二面角【详解】两个半平面与的法向量分别为，且由于向量的方向性，法向量与平面有两种情况当、为异号向量，如下图示：有二面角为当、为同号向量，如下图示：有二面角为综上，有二面角为或故选：C【点睛】本题考查了二面角与平面法向量夹角的关系，依据法向量的夹角判断平面所成二面角的大小，注意法向量的方向性，讨论在不同情况下二面角的大小10D解析：D【分析】利用面面垂直的判定定理可判断命题的真假，利用空间向量法可得判断命题、的真假，再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】，四边形是正方形，则，平面，又平面，故平面平面，故为真命题；由已知，平面，平面，所以平面又平面，平面平面，故
12、，又，所以，令，则，由余弦定理可得，如图，以为原点，以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为，故为假命题；设平面的法向量为，由，所以，取，则，得，设直线与平面所成的角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为，故为真命题所以为真命题，、均为假命题.故选：D.【点睛】本题考查复合命题的真假的判断，涉及面面垂直的判断、异面直线所成角以及线面角的计算，涉及空间向量法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.11C解析：C【分析】因为在四面体中,是的中点,是的中点,即可求得答案.【详解】在四面体中,是的中点,是的中点故选:C.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,解
13、题关键是掌握向量基础知识和数形结合,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题.12C解析：C【分析】由题知，、 三个向量共面,则存在常数，使得，由此能求出结果.【详解】因为，且、三个向量共面,所以存在使得.所以 ，所以 ，解得 .故选:C.【点睛】本题主要考查空间向量共面定理求参数，还运用到向量的坐标运算.13B解析：B【分析】在A中，取z轴的正方向向量，求出与的夹角即可判断命题正确；在B中，计算，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；在C中，利用数量积求出与的夹角的最大值，即可判断命题正确；在D中，利用不等式求出最大值即可判断命题正确【详解】解：由向量，其中，知：在A中，设z轴正方向的方向向
14、量，向量与z轴正方向的夹角的余弦值：，向量与z轴正方向的夹角为定值45（与c，d之值无关），故A正确；在B中，且仅当ac，bd时取等号，因此的最大值为1，故B错误；在C中，由B可得：，与的夹角的最大值为，故C正确；在D中，adbc的最大值为1故D正确故选：B【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，考查运算求解能力，是中档题二、填空题14【分析】设以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系利用空间向量数量积的坐标运算可判断的正误【详解】设由于两两垂直以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如下图所示：则对解析：【分析】设，以点为坐标原点，、所在直
15、线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算可判断的正误.【详解】设，由于、两两垂直，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则、.对于，所以，正确；对于，则，正确；对于，所以，和的夹角为，正确；对于，则，所以，而三棱锥的体积为，错误.故答案为：.【点睛】关键点点睛：在立体几何中计算空间向量的相关问题，可以选择合适的点与直线建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可.15【分析】结合由数量积定义计算【详解】正四面体中点EF分别是BCAD的中点连接则而所以平面又平面所以即所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积运算解题时选择用向量的加
16、减数乘运算表示出要计解析：【分析】，结合，由数量积定义计算【详解】正四面体中，点E、F分别是BC、AD的中点，连接，则，而，所以平面，又平面，所以，即，所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积运算，解题时选择用向量的加减数乘运算表示出要计算的向量，然后由数量积定义计算，是基本方法，实质上也可以应用空间向量基本定理表示向量，把向量的运算转化为空间向量的基底进行运算165【分析】将已知条件转化为向量则有利用向量的平方以及数量积化简求解由此能求出线段的长度【详解】平行六面体中即向量两两的夹角均为则因此故答案为:5【点睛】本题考查向量的数量积和模在求解距离中的应用考查解析：5【分析】将已
17、知条件转化为向量则有,利用向量的平方以及数量积化简求解,由此能求出线段的长度【详解】平行六面体中, ,即向量两两的夹角均为,则因此.故答案为:5.【点睛】本题考查向量的数量积和模在求解距离中的应用,考查学生转化与划归的能力,难度一般.17【分析】四个向量中找出三个不共面的非零向量可以作为基底除正交基底外的向量用正交基底表示出来【详解】1100若共面则存在使得化简得：无解故不共面则为正交基底设则解得：故答案为：【点睛】本题考察了空间向解析：【分析】四个向量中找出三个不共面的非零向量可以作为基底，除正交基底外的向量用正交基底表示出来.【详解】，1，1，0，0，若共面，则存在使得，化简得：，无解，故
18、不共面，则，为正交基底，设，则，解得：，故答案为：【点睛】本题考察了空间向量的基本定理，正交分解坐标表示，属于基础题18【分析】用表示从而求出即可求出从而得出答案【详解】点在上且为的中点故故答案为【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算运用向量的加法法则来求解属于基础题解析：【分析】用表示 ，从而求出，即可求出，从而得出答案【详解】点在上，且，为的中点 故 故答案为【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，运用向量的加法法则来求解，属于基础题192【分析】由题意知向量所以由空间向量的坐标运算即可求解【详解】由题意知向量所以又由解得【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算及空间向量的数量积的运算
19、其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式准确运算解析：2【分析】由题意知，向量，所以，由空间向量的坐标运算，即可求解【详解】由题意知，向量，所以，又由，解得【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，及空间向量的数量积的运算，其中解答中熟记空间向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题20【分析】根据题意先得到平面所以向量为平面的一个法向量；分别以为轴轴以垂直于平面过点的直线为轴建立空间直角坐标系根据题意求出平面的一个法向量根据向量夹角公式求出二面角的夹角余弦值进而可求出结果【详解】解析：【分析】根据题意，先得到平面，所以向量为平面的一个法向量；分别以，为
20、轴，轴，以垂直于平面过点的直线为轴，建立空间直角坐标系，根据题意求出平面的一个法向量，根据向量夹角公式求出二面角的夹角余弦值，进而可求出结果.【详解】因为，且平面，所以平面，所以向量为平面的一个法向量；分别以，为轴，轴，以垂直于平面过点的直线为轴，建立空间直角坐标系，因为，所以，则，所以，设平面的一个法向量为，则 ，即，解，令，则，所以，由图像可得，二面角为锐角，记为，所以，因此，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查求二面角的正切值，根据向量的方法求解即可，属于常考题型.21【详解】连接AQ取AD的中点O连接OQPA平面ABCDPADQPQDQDQ平面PAQ所以DQAQ点Q在以线段AD的中点
21、O为圆心的圆上又在BC上有且仅有一个点Q满足PQDQBC与解析：【详解】连接AQ，取AD的中点O，连接OQPA平面ABCD，PADQ，PQDQ，DQ平面PAQ，所以DQAQ点Q在以线段AD的中点O为圆心的圆上，又在BC上有且仅有一个点Q满足PQDQ，BC与圆O相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛盾）OQBC，ADBC，OQ=AB=1，BC=AD=2，即a=2故答案为：2考点：直线与平面垂直的性质22【分析】建立空间直角坐标系由求得得到进而求得三角形的面积的最小值得到答案【详解】以D点为空间直角坐标系的原点以DC所在直线为y轴以DA所在直线为x轴以为z轴建立空间直角坐标系则点所以因为所以因为所以
22、解析：【分析】建立空间直角坐标系，由，求得，得到，进而求得三角形的面积的最小值，得到答案.【详解】以D点为空间直角坐标系的原点，以DC所在直线为y轴，以DA所在直线为x轴，以 为z轴，建立空间直角坐标系.则点，所以.因为，所以,因为,所以，所以，因为B(2，2，0)，所以，所以因为，所以当时，.因为BCBP,所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了空间向量的应用，其中解答建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标表示，以及向量的数量积的运算，求得的最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.23168【分析】根据向量设列出方程组求得得到再利用向量的数量积的运算公式即可求解【详解】
23、由题意向量设又因为所以即解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的共线的坐标运算以及向量的数量积的运算其解析：168【分析】根据向量，设，列出方程组，求得，得到，再利用向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由题意，向量，设，又因为，所以，即，解得，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了向量的共线的坐标运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的共线条件，熟练应用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.24【分析】根据向量夹角为钝角可知且解不等式可求得结果【详解】由题意可知：且解得：且即本题正确结果：【点睛】本题考查向量夹角的相关问
24、题的求解易错点是忽略夹角为的情况造成出现增根解析：【分析】根据向量夹角为钝角，可知且，解不等式可求得结果.【详解】由题意可知：且解得：且，即本题正确结果：【点睛】本题考查向量夹角的相关问题的求解，易错点是忽略夹角为的情况，造成出现增根.25【分析】由题意可得由此求得由以及两个向量的加减法的法则及其几何意义可求得由数量积的定义即可得到结果【详解】由题意可得由可得即故答案为【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则以及其几何意义两个解析：【分析】由题意可得，由此求得，由 以及两个向量的加减法的法则及其几何意义可求得 ，由数量积的定义即可得到结果.【详解】由题意可得 ，.由，可得 .，即，故答案为.
25、【点睛】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义、以及运算性质，属于中档题2611【分析】由题意建立空间直角坐标系由二面角的定义得出从而写出的坐标由向量共线的性质设利用向量的加法得出由异面直线与所成角利用向量法得出的值从而得出的值【详解】取的中点G与的交点为以O为坐标原点分别解析：11【分析】由题意建立空间直角坐标系，由二面角的定义得出，从而写出的坐标，由向量共线的性质设，利用向量的加法得出，由异面直线与所成角，利用向量法得出的值，从而得出的值.【详解】取的中点G，与的交点为，以O为坐标原点，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设因为二面角为60，所以则.设，则从而整理得，解得(舍)，故.故答案为：【点睛】本题主要考查了已知面面角，线线角求参数，属于中档题.
