1、第第 4444 练练矩阵与变换矩阵与变换题型一常见矩阵变换的应用例 1已知曲线C：xy1.(1)将曲线C绕坐标原点逆时针旋转 45后，求得到的曲线C的方程；(2)求曲线C的焦点坐标和渐近线方程破题切入点把握常见矩阵变换类型，比用一般矩阵运算处理要方便得多，同时，从前后曲线性质分析上，可以加深对曲线性质的理解解(1)设P(x0，y0)是曲线C：xy1 上的任一点，点P(x0，y0)在旋转变换后对应的点为P(x0，y0)，则x0y0cos 45sin 45sin 45cos 45x0y022222222x0y022x022y022x022y0.x022x022y0，y022x022y0，x022x
2、0y0，y022y0 x0.又x0y01，22(y0 x0)22(y0 x0)1.y20 x202，即曲线C：xy1 旋转后所得到的曲线C的方程为y2x22.(2)曲线C的焦点坐标为F1(0，2)，F2(0,2)，渐近线方程为yx.再顺时针旋转 45后，即可得到曲线C的焦点坐标为(2，2)和(2，2)；渐近线方程为x0，y0.题型二二阶矩阵的逆矩阵例 2设矩阵M Ma00b(其中a0，b0)(1)若a2，b3，求矩阵M M的逆矩阵M M1；(2)若曲线C：x2y21 在矩阵M M所对应的线性变换作用下得到曲线C：x24y21，求a，b的值破题切入点对于二阶矩阵，若有ABABBABAE E，则称
3、B B为A A的逆矩阵因而求一个二阶矩阵的逆矩阵，可用待定系数法求解解(1)设矩阵M M的逆矩阵M M1x1y1x2y2，则MMMM11001.又M M2003，所以2003x1y1x2y21001.所以 2x11,2y10,3x20,3y21，即x112，y10，x20，y213，故所求的逆矩阵M M1120013.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M M所对应的线性变换作用下得到点P(x，y)，则a00bxyxy，即axx，byy.又点P(x，y)在曲线C上，所以x24y21.则a2x24b2y21 为曲线C的方程又已知曲线C的方程为x2y21，故a24，b21.又a0，b0，
4、所以a2，b1.题型三求矩阵的特征值与特征向量例 3已知矩阵A A11a1，其中aR R，若点P(1,1)在矩阵A A的变换下得到点P(0，3)(1)求实数a的值；(2)求矩阵A A的特征值及特征向量破题切入点(1)注意特征值与特征向量的求法及特征向量的几何意义：从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵M M的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(0)，或者方向相反(0)对应的变换作用下得到的曲线为x2y21.(1)求实数a，b的值；(2)求A A2的逆矩阵解(1)设曲线 2x22xyy21 上任意点P(x，y)在矩阵A A对应的变换作用下的像是P(x，y)由xya0b1xyax
5、bxy，得xax，ybxy.又点P(x，y)在x2y21 上，所以x2y21，即a2x2(bxy)21，整理得(a2b2)x22bxyy21.依题意得a2b22，2b2，解得a1，b1，或a1，b1.因为a0，所以a1，b1.(2)由(1)知，A A1011，A A2101110111021.所以|A A2|1，(A A2)11021.12已知矩阵A A1311，B B1201.(1)求(ABAB)1；(2)求直线 2xy50 在(ABAB)1对应变换作用下的直线方程解(1)ABAB131112011113，又|ABAB|314，(ABAB)134141414.(2)设P(x0，y0)是直线 2xy50 上任一点，P(x，y)是在变换作用下点P的像，则有xy(ABAB)1x0y034141414x0y0.x34x014y0，y14x014y0.x0 xy，y0 x3y.代入直线方程 2xy50，得 2(xy)(x3y)50，即x5y50，即为所求的直线方程
