1、小专题三传送带模型中的动力学问题因物体与传送带间的动摩擦因数、斜面倾角、传送带速度、传送方向、滑块初速度的大小和方向的不同,传送带问题往往存在多种可能,因此对传送带问题作出准确的动力学过程分析,是解决此类问题的关键。下面介绍两种常见的传送带模型:1.水平传送带模型项目图示滑块可能的运动情况情景1(1)可能一直加速(2)可能先加速后匀速情景2(1)v0v时,可能一直减速,也可能先减速再匀速(2)v0v返回时速度为v,当v0v返回时速度为v02.倾斜传送带模型项目图示滑块可能的运动情况情景1(1)可能一直加速(2)可能先加速后匀速情景2(1)可能一直加速(2)可能先加速后匀速(3)可能先以a1加速
2、后以a2加速情景3(1)可能一直加速(2)可能先加速后匀速(3)可能一直匀速(4)可能先以a1加速后以a2加速情景4(1)可能一直加速(2)可能一直匀速(3)可能一直减速,也可能先减速后反向加速典例1 水平传送带被广泛地应用于机场和车站,如图所示为一水平传送带装置示意图。紧绷的传送带AB始终保持恒定的速率v=1 m/s运行。一质量为m=4 kg的行李无初速度地放在A处,传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速直线运动,随后行李又以与传送带相等的速率做匀速直线运动。设行李与传送带之间的动摩擦因数=0.1,A,B间的距离L=2 m,g取10 m/s2。(1)求行李刚开始运动时所受滑动摩擦力的大小
3、与加速度的大小;(2)求行李做匀加速直线运动的时间;(3)如果提高传送带的运行速率,行李就能被较快地传送到B处,求行李从A处传送到B处的最短时间和传送带对应的最小运行速率。解析:(1)行李刚开始运动时,受力如图所示,滑动摩擦力Ff=mg=4 N由牛顿第二定律得Ff=ma解得a=1 m/s2。(2)行李达到与传送带相同速率后匀速运动,则v=at解得t=1 s。(3)行李始终匀加速运动的运行时间最短,且加速度仍为a= 1 m/s2,当行李到达右端时,有=2aL解得vmin=2 m/s故传送带的最小运行速率为2 m/s行李运行的最短时间tmin=2 s。答案:(1)4 N1 m/s2(2)1 s(3
4、)2 s2 m/s(1)求解水平传送带问题的关键正确分析物体所受摩擦力的方向。注意转折点:物体的速度与传送带速度相等的时刻是物体所受摩擦力发生突变的时刻。(2)处理此类问题的一般流程弄清初始条件判断相对运动判断滑动摩擦力的大小和方向分析物体受到的合外力及加速度的大小和方向由物体的速度变化分析相对运动进一步确定以后的受力及运动情况。变式1:如图所示,水平匀速转动的传送带左右两端相距L=3.5 m,物块A以水平速度v0=4 m/s滑上传送带左端,物块与传送带间的动摩擦因数=0.1,设A到达传送带右端时的瞬时速度为v,g取10 m/s2,下列说法正确的是(D)A.若传送带速度等于2 m/s,物块可能
5、先减速运动,后匀速运动B.若传送带速度等于3.5 m/s,v一定等于3 m/sC.若v等于3 m/s,传送带一定沿逆时针方向转动D.若v等于3 m/s,传送带可能沿顺时针方向转动解析:物块匀减速直线运动的加速度大小a=g=1 m/s2,根据v2-=2aL得物块到达传送带右端时v=3 m/s,知传送带的速度等于2 m/s时,则物块一直做匀减速直线运动;当传送带速度等于3.5 m/s时,若传送带顺时针方向转动,物块就先做匀减速直线运动,再做匀速直线运动,到达右端的速度大小为3.5 m/s;若v=3 m/s,传送带可能做逆时针转动,也可能做顺时针运动,逆时针转动时速度多大都可以,顺时针转动时,传送带
6、速度需小于等于3 m/s。典例2 如图所示,倾角为37,长为l=16 m的传送带,转动速度为v=10 m/s,动摩擦因数=0.5,在传送带顶端A处无初速度地释放一个质量为m=0.5 kg的物体。已知sin 37=0.6,cos 37=0.8,g=10 m/s2。求:(1)传送带顺时针转动时,物体从顶端A滑到底端B的时间;(2)传送带逆时针转动时,物体从顶端A滑到底端B的时间。解析:(1)传送带顺时针转动时,物体相对传送带向下运动,则物体所受滑动摩擦力沿斜面向上,相对传送带向下匀加速运动,根据牛顿第二定律有mgsin 37-mgcos 37=ma则a=gsin 37-gcos 37=2 m/s2
7、根据l=at2得t=4 s。(2)传送带逆时针转动,当物体下滑速度小于传送带转动速度时,物体相对传送带向上运动,则物体所受滑动摩擦力沿传送带向下,设物体的加速度大小为a1,由牛顿第二定律得mgsin 37+mgcos 37=ma1则有a1=10 m/s2设当物体运动速度等于传送带转动速度时经历的时间为t1,位移为x1,则有t1= s=1 s,x1=a1=5 mmgcos 37,则下一时刻物体相对传送带向下运动,受到传送带向上的滑动摩擦力摩擦力发生突变。设当物体下滑速度大于传送带转动速度时物体的加速度为a2,则a2=2 m/s2x2=l-x1=11 m又因为x2=vt2+a2,则有10t2+=1
8、1解得t2=1 s(t2=-11 s舍去)所以t总=t1+t2=2 s。答案:(1)4 s(2)2 s变式2:如图所示,以速度v0逆时针匀速转动的足够长的传送带与水平面的夹角为。现将一个质量为m的小木块轻轻地放在传送带的上端,小木块与传送带间的动摩擦因数为,则图中能够正确地描述小木块的速度随时间变化关系的图线可能是(C)解析:小木块放上后先向下加速运动,由于传送带足够长,所以某时刻木块速度等于传送带速度,此时若重力沿传送带向下的分力大于最大静摩擦力,则之后木块继续加速,但加速度变小;若重力沿传送带向下的分力小于或等于最大静摩擦力,则木块将随传送带匀速运动;故选项C正确。1.(水平传送带)如图所
9、示,一质量为m的小物体以一定的速率v0滑到水平传送带上左端的A点,当传送带始终静止时,已知物体能滑过右端的B点,经过的时间为t0,则下列判断正确的是(A)A.若传送带逆时针方向运行且保持速率不变,则物体也能滑过B点,且用时为t0B.若传送带逆时针方向运行且保持速率不变,则物体可能先向右做匀减速运动直到速度减为零,然后向左加速,因此不能滑过B点C.若传送带顺时针方向运行,当其运行速率(保持不变)v=v0时,物体将一直做匀速运动滑过B点,用时为t0D.若传送带顺时针方向运行,当其运行速率(保持不变)vv0时,物体一定向右一直做匀加速运动滑过B点,用时一定小于t0解析:传送带静止时,有m-m=-mg
10、L,即vB=,物体做减速运动,若传送带逆时针运行,物体仍受向左的摩擦力mg,同样由上式分析,一定能匀减速至右端,速度为vB,不会为零,用时也一定仍为t0,故选项A正确,B错误;若传送带顺时针方向运行,当其运行速率(保持不变)v=v0时,物体将不受摩擦力的作用,一直做匀速运动滑至B端,因为匀速通过,故用时一定小于t0,故选项C错误;若传送带顺时针方向运行,当其运行速率(保持不变)vv0时,开始物体受到向右的摩擦力的作用,做加速运动,运动有两种可能:若物体速度加速到v还未到达B端时,则先匀加速后匀速运动,若物体速度一直未加速到v时,则一直做匀加速运动,故选项D错误。2.(倾斜传送带)如图所示,绷紧
11、的传送带,始终以2 m/s的速度匀速斜向上运行,传送带与水平方向间的夹角=30。现把质量为10 kg的工件轻轻地放在传送带底端P处,由传送带传送至顶端Q处。已知P,Q之间的距离为4 m,工件与传送带间的动摩擦因数为=,取g=10 m/s2。(1)通过计算说明工件在传送带上做什么运动;(2)求工件从P点运动到Q点所用的时间。解析:(1)工件受重力、摩擦力、支持力共同作用,摩擦力为动力,由牛顿第二定律得mgcos -mgsin =ma代入数值得a=2.5 m/s2则其速度达到传送带速度时发生的位移为x1= m=0.8 m4 m可见工件先匀加速运动0.8 m,然后匀速运动3.2 m。(2)匀加速时,
12、由x1=t1得t1=0.8 s匀速上升时t2= s=1.6 s所以工件从P点运动到Q点所用的时间为t=t1+t2=2.4 s。答案:(1)先匀加速运动0.8 m,然后匀速运动3.2 m(2)2.4 s3.(水平传送带上不同物体的运动问题)如图甲所示,水平传送带沿顺时针方向匀速运转。从传送带左端P先后由静止轻轻放上三个物体A,B,C,物体A经tA=9.5 s到达传送带另一端Q,物体B经tB=10 s到达传送带另一端Q,若释放物体时刻作为t=0时刻,物体在传送带上运动过程的vt图象如图乙、丙、丁所示,g取10 m/s2,求:(1)传送带的速度大小v0;(2)传送带的长度L;(3)物体A,B,C与传
13、送带间的动摩擦因数,物体C从传送带左端P到右端Q所用的时间tC。解析:(1)物体A与B均先做匀加速直线运动,然后做匀速直线运动,说明物体的速度最终与传送带的速度相等,所以由题图乙、丙可知传送带的速度大小是4 m/s。(2)v-t图线与t轴围成图形的“面积”表示物体的位移,所以物体A的位移xA=(8.5+9.5)4 m=36 m,传送带的长度L与A的位移大小相等,也是36 m。(3)物体A的加速度aA=4 m/s2,由牛顿第二定律得Amg=maA,所以A=0.4,同理,物体B的加速度aB=2 m/s2,B=0.2,设物体C从传送带左端P到右端Q所用的时间为tC,则L=tC得tC=24 s,物体C的加速度aC=0.125 m/s2,C=0.012 5。答案:(1)4 m/s(2)36 m(3)0.40.20.012 524 s
