1、3向心加速度1理解向心加速度的概念以及向心加速度的方向.2掌握向心加速度公式，知道向心加速度和线速度、角速度的关系式，并能运用它们求解有关问题。1.匀速圆周运动的加速度方向（1）向心加速度的定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，我们把它叫作向心加速度.(2）向心加速度的方向：向心加速度的方向总是沿着半径指向圆心，与该点的线速度方向垂直。向心加速度的方向时刻在改变。(3)向心加速度的作用效果：向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。2匀速圆周运动的加速度大小(1）向心加速度的大小：an2r。根据vr可得an.（2）向心加速度的物理意义：向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量，线
2、速度方向变化的快慢体现了向心加速度的大小。判一判(1）做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心。（）（2)做匀速圆周运动的物体的加速度总指向圆心。（)(3）匀速圆周运动是加速度不变的运动。（)(4)可以用公式a求变速圆周运动中的加速度。（)提示:(1）做匀速圆周运动的物体所受合力总是指向圆心的.（2)做匀速圆周运动的物体所受合力总是指向圆心，根据牛顿第二定律，加速度也总指向圆心。(3）做匀速圆周运动的物体的加速度总是指向圆心，所以其方向不断变化。(4)变速圆周运动中，向心加速度an,而加速度为向心加速度an与切向加速度at的矢量和。想一想荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千向下荡时,请思考：(1
3、)此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？（2）加速度指向悬挂点吗？运动过程中,公式an2r还适用吗?提示：(1)秋千荡下时,速度越来越大，做的是变速圆周运动。（2)小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点,在其他位置,由于秋千做变速圆周运动,合外力既有指向圆心的分力,又有沿切向的分力,所以合力不指向悬挂点,加速度不指向悬挂点。公式an2r仍然适用。课堂任务匀速圆周运动的加速度方向仔细观察下列图片，认真参与“师生互动。活动1:如图所示，小球做匀速圆周运动时，小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么？提示：小球的速度方向不断发生变化,所以运动状态发生变化。运动状态发生变
4、化的原因是受到向心力的作用。活动2：物体做匀速圆周运动时，提供向心力的是什么?合力有什么特点？提示：物体做匀速圆周运动时，物体所受的合力提供向心力。合力的方向总是指向圆心。活动3:根据牛顿第二定律，小球的加速度沿什么方向？提示:小球受到的合力提供向心力，方向总是指向圆心，根据牛顿第二定律,小球做匀速圆周运动时的加速度也总是指向圆心。活动4：讨论、交流、展示，得出结论。1向心加速度的方向:与向心力的方向相同，总指向圆心,方向时刻改变。2向心加速度的作用：向心加速度方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只是改变速度的方向，对速度的大小无影响。3圆周运动的性质:不论向心加速度a的大小是否变化，其
5、方向时刻改变,所以圆周运动的加速度时刻发生变化,圆周运动是变加速曲线运动.例1（多选）关于向心加速度，以下说法中正确的是（）A向心加速度的方向始终与线速度方向垂直B向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小C物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心D物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心（1)向心加速度的物理意义是什么？提示：加速度是表示速度变化快慢的物理量，向心加速度仅表示物体线速度方向变化的快慢，不表示物体线速度大小变化的快慢。（2)向心加速度方向为_.提示：始终指向圆心规范解答向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与线速度方向垂
6、直，只改变线速度的方向，物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，圆周运动的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心。故A、B、D正确，C错误.完美答案ABD对向心加速度的理解(1）向心加速度只描述线速度方向变化的快慢,沿切线方向的加速度描述线速度大小变化的快慢。(2)向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变。下列说法中正确的是(）A向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢B向心加速度描述线速度方向变化的快慢C在匀速圆周运动中,向心加速度是恒定的D匀速圆周运动是匀变速曲线运动答案B解析匀速圆周运动中速率不变,向心加速度只改变线速度的方向
7、，A错误,B正确；匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，方向时刻变化,所以匀速圆周运动是变加速曲线运动，故C、D错误。课堂任务匀速圆周运动的加速度大小仔细观察下列图片,认真参与“师生互动”.活动1：如图甲所示,物块的加速度如何求？提示：物块所受的合外力即为F，根据牛顿第二定律，a。活动2:如图乙所示,小球做匀速圆周运动的向心力大小是多少？方向有什么特点？提示：竖直方向:Tcosmg，水平方向：TsinFn,Fnmgtan，方向时刻指向圆心O。活动3：能用求甲中物块加速度的方法求乙中小球的加速度吗?小球的加速度的大小是多少？提示：能。angtan。活动4：讨论、交流、展示，得出结论。1向心加速度
8、的大小(1）公式推导：根据牛顿第二定律Fma，向心加速度an2r.(2)向心加速度的几种表达式:an2rr42n2rv.（3)向心加速度与半径的关系当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比，如图甲所示。当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比,如图乙所示。由an.r图像可以看出：向心加速度an与r是成正比还是反比，要看恒定还是v恒定。（4)向心加速度的注意要点向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算，包括非匀速圆周运动，但an与v具有瞬时对应性。向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。向心加速度表示速度方向改变的快慢。无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向
9、都指向圆心。非匀速圆周运动合加速度不指向圆心，但向心加速度一定指向圆心,是专门改变速度方向的.2用运动学的方法求向心加速度的方向和大小（1）v的方向：如图所示，质点做匀速圆周运动从A点运动到B点，用下图体现时间逐渐减小到趋于零时v与线速度的关系。结论:t趋于零，v垂直于此时的线速度.即v指向圆心.(2）向心加速度的方向：由于v指向圆心，由加速度定义a可知，加速度总是与v的方向一致，故向心加速度方向指向圆心。（3）向心加速度的大小：先作出做匀速圆周运动的物体的速度情况如图甲所示，再作出速度与速度改变量的关系图如图乙所示.由于A点的速度vA方向垂直于半径r,B点的速度vB方向垂直于另一条半径r，所
10、以AOBCBD，故等腰AOB和CBD相似，根据对应边成比例可得：，由于时间t很短，故弦长AB近似等于弧长，而弧长vAt，所以，又an，故an.由于vr，代入an可得an2r。3常见匀速圆周运动的实例例2如图所示,压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍.压路机匀速行驶时，大轮边缘上A点的向心加速度是12 cm/s2，那么小轮边缘上B点的向心加速度大小是多少？大轮上距轴心距离为的C点的向心加速度大小是多少?(1)怎么比较A、B、C三点的向心加速度大小?提示：需要涉及公式an、an2r,通过抓住相同量比较不同量。（2)A、B两点有什么物理量相同？A、C两点有什么物理量相同?提示：由于A、B轮在一起朝前
11、运动，都走同样的路，其线速度大小相等。A、C同轴，角速度、周期、转速相等。规范解答大轮边缘上A点的线速度大小与小轮边缘上B点的线速度大小相等.由aA和aB得aBaA24 cm/s20。24 m/s2；C点和A点同在大轮上,角速度相等，由aA2R和aC2得aC4 cm/s20。04 m/s2.完美答案0。24 m/s20.04 m/s2如图所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，主动轮半径为r1,O2为从动轮的轴心，从动轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径.已知r22r1,r31.5r1。A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则点A、B、C的向心加速度之比是（假设皮带不打滑)（）A123 B24
12、3C843 D362答案C解析因为皮带不打滑，A点与B点的线速度大小相同，都等于皮带运动的速率。根据向心加速度公式a,可得aAaBr2r121.由于B、C同轴转动，所以它们的角速度相同。根据向心加速度公式a2r,可得aBaCr2r321.5。由此得aAaBaC843,故选C.在温哥华冬奥会上，我国选手申雪、赵宏博在双人花样滑冰运动中获得金牌，如图为赵宏博拉着申雪在空中做圆锥摆运动的精彩场面,已知申雪的体重为G，做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角为30，重力加速度为g，求申雪做圆周运动的向心加速度和受到的拉力大小。答案g2G解析对申雪受力分析如图所示，其中30，mgG，F为所受拉力。水平方向:Fco
13、sma。竖直方向：Fsinmg。由以上两式得:向心加速度的大小为agcotg.拉力大小F2G。A组：合格性水平训练1(向心加速度的理解）下列关于向心加速度的说法中正确的是()A向心加速度的方向始终指向圆心B向心加速度的方向保持不变C在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D在变速圆周运动中，向心加速度的方向不指向圆心答案A解析无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心加速度的方向时刻指向圆心，故向心加速度不恒定，A正确，B、C、D错误。2(向心加速度与半径的关系)关于质点的匀速圆周运动，下列说法中正确的是(）A由an可知,an与r成反比B由an2r可知,an与r成正比C由vr可知，与r成反比D由2f
14、可知，与f成正比答案D解析质点做匀速圆周运动的向心加速度与质点的线速度、角速度、半径有关,当线速度一定时,向心加速度与半径成反比;当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论，而角速度无论何时均与频率成正比。A、B、C错误，D正确。3. （向心加速度与半径的关系）(多选)如图所示为A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像,其中A的图线为双曲线的一个分支,由图可知()AA物体运动的线速度大小不变BA物体运动的角速度大小不变CB物体运动的角速度大小不变DB物体运动的角速度与半径成正比答案AC解析因为A的图线为双曲线的一个分支，说明a与r成反比
15、，由a可知,A物体运动的线速度大小不变，故A正确，B错误；而B的图线为过原点的直线，说明a与r成正比，由a2r可知，B物体运动的角速度大小不变,故C正确，D错误.4（匀速圆周运动的加速度)(多选)一只质量为m的老鹰，以速率v在水平面内做半径为r的匀速圆周运动，则关于老鹰的向心加速度的说法正确的是()A大小为 B大小为gC方向在水平面内 D方向在竖直面内答案AC解析根据an可知A正确；由于老鹰在水平面内做匀速圆周运动，向心加速度始终指向圆心，所以向心加速度的方向在水平面内,C正确。5. （传动装置中的向心加速度)如图所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑），已知大轮半径是小轮半径的2倍,E为大轮半
16、径的中点,C、D分别是大轮和小轮边缘上的一点，则E、C、D三点向心加速度大小关系正确的是（)AanCanD2anE BanC2anD2anECanC2anE DanCanE答案C解析C、E两点同轴转动，角速度相等,由an2r,有2，即anC2anE；两轮边缘点的线速度大小相等,C、D两点的线速度大小相等，由an，有，即anCanD，故选C。6. (综合)如图所示，一圆环以直径AB为轴匀速转动，P、Q、R是环上的三点,则下列说法正确的是（)A向心加速度的大小aPaQaRB任意时刻P、Q、R三点向心加速度的方向不同C线速度vPvQvRD任意时刻P、Q、R三点的线速度方向均不同答案C解析圆环各处的角
17、速度相等，由a2r知aPaQaR，故A错误；由vr知vPvQvR，故C正确;由于向心加速度总是指向圆周运动圆心，所以P、R、Q处的向心加速度的方向都垂直于AB轴且指向AB轴，即P、Q、R三点向心加速度的方向相同,B错误；线速度方向都垂直于向心加速度，故P、Q、R三点的线速度方向相同，D错误。7. (综合)如图所示，一球体绕轴O1O2以角速度匀速旋转,A、B为球体上两点，下列几种说法中正确的是（）AA、B两点具有相同的角速度BA、B两点具有相同的线速度CA、B两点的向心加速度的方向都指向球心DA、B两点的向心加速度之比为答案A解析A、B为球体上两点，因此A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的
18、角速度相同，A正确；如图所示，A以P为圆心做圆周运动，B以Q为圆心做圆周运动,因此A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错误；设球的半径为R,则A运动的半径rARsin60,B运动的半径rBRsin30，B错误；,D错误。8. (综合)如图所示,甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动,圆周半径为R;乙做自由落体运动，当乙下落至A点时,甲恰好第一次运动到最高点B,求甲物体做匀速圆周运动的向心加速度的大小。(重力加速度为g)答案2g解析设乙下落到A点所用时间为t，则对乙，满足Rgt2，得t，这段时间内甲运动了T，即T又由于an2RR由得，an2g。B组：等级性水
19、平训练9(传动问题)如图所示，A、B为啮合传动的两齿轮（齿未画出),rA2rB，则A、B两轮边缘上两点的（）A角速度之比为21 B向心加速度之比为12C周期之比为12 D转速之比为21答案B解析根据两轮边缘线速度大小相等，由vr，得角速度之比为ABrBrA12，故A错误;由an，得向心加速度之比为aAaBrBrA12，故B正确；由T，得周期之比为TATBrArB21，故C错误;由n，得转速之比为nAnBAB12，故D错误。10(综合)（多选）如图所示，偏心轮的转轴为O，以O为圆心的圆内切于偏心轮，且经过偏心轮圆心P，A和B是偏心轮边缘的两点，且APOB于P，则下列说法中正确的是（)AA、B的角
20、速度大小相等BA、B的线速度大小相等CA、B的向心加速度大小之比为21DA、B的向心加速度大小之比为3答案AD解析A、B两点同轴转动，故二者角速度相等,A正确；由图可知A、B的转动半径之比为3,由线速度vr可知A、B的线速度大小不相等，故B错误；根据向心加速度a2r,可得A、B的向心加速度大小之比为3，故C错误，D正确。11（传动问题)如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半,则轮1边缘的a点和轮4边缘的c点相比（)A线速度之比为14B角速度之比为41C向心加速度之比为81D向心
21、加速度之比为18答案D解析由题意知vav3,v2vc，又轮2与轮3同轴转动,角速度相同，v22v3，所以vavc12，A错误。，B错误。设轮4的半径为r,则aaac，即aaac18，C错误，D正确。12. (综合)(多选)如图所示，一小物块以大小为an4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R1 m，则下列说法正确的是（)A小物块运动的角速度为2 rad/sB小物块做圆周运动的周期为 sC小物块在t s内通过的位移大小为 mD小物块在 s内通过的路程为零答案AB解析因为an2R，所以小物块运动的角速度为2 rad/s,周期T s，A、B正确;小物块在 s内转过弧度，通过的位移大小为 m，在
22、 s内转过一周，通过的路程为2 m，C、D错误。13。 （向心加速度和向心力的计算)滑板运动是深受青少年喜爱的运动，如图所示，质量为50 kg的滑板运动员恰好从B点进入半径为2。0 m的光滑圆弧轨道，该圆弧轨道在C点与水平光滑轨道相接,运动员滑到C点时的速度大小为10 m/s。求他到达C点前瞬间的加速度大小和对轨道的压力大小.(不计各种阻力,g取10 m/s2)答案50 m/s23000 N解析运动员到达C点前的瞬间做圆周运动，加速度大小a m/s250 m/s2,方向在该位置指向圆心，即竖直向上.重力和轨道的支持力的合力提供向心力，FNmgma,故FN3000 N，由牛顿第三定律可知，FN3000 N。
