1、2021年高二下学期期中数学试卷（理科） 含解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1复数为虚数单位）的虚部为（）A2B2C1D12用反证法证明命题“如果ab，那么”时，假设的内容是（）A =BC =且D =或3（x2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（）A5B10C15D204有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A60种B70种C75种D150种5用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A144个B120个C96个D72个6六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能
2、排甲，则不同的排法共有（）A192种B216种C240种D288种76把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A144B120C72D248已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（）A4B3C2D19已知函数f（x）=ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则实数a的取值范围是（）A（1，+）B（2，+）C（，1）D（，2）10设函数f（x）的偶函数f（x）（xR且x0）的导函数，f（2）=0且当x0时，xf（x）f（x）0，则使f（x）0成立的x的取值范围为（）A（，2）（0，2）B（2，0）（0，2）C（2，0）（2，+）D（，2
3、）（2，+）二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11已知函数f（x）=x（x+a）2在x=1处取得极小值，则实数a的值为12复数z满足=i，则|z|=13将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是14在10件产品中有6件一级品，4件二级品，从中任取3件，其中至少有一件为二级品的概率为15已知a=的二项展开式中，x的系数为三、解答题16已知复数z=3+bi，b为正实数，且（z2）2为纯虚数（1）求复数z；（2）若，求复数w的模|w|17已知函数f（x）=ex（x2ax+1）（aR）在点（0，f（0）处的切线方
4、程为3x+y1=0（）求实数a的值；（）求实数f（x）的极值18（ +）n的展开式中，第4项的二项式系数与第5项的二项式系数之比为1：3（1）求展开式中的常数项；（2）求二项式系数最大的项19用数学归纳法证明（1+x）n1+nx，这里x1且x0，nN*且n220盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）21已知函数f（x）=+alnx（a0，a
5、R）（）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（）若在区间上至少存在一点x0，使得f（x0）0成立，求实数a的取值范围xx学年山东省德州市武城二中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1复数为虚数单位）的虚部为（）A2B2C1D1【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【解答】解：复数=12i的虚部为2故选：B2用反证法证明命题“如果ab，那么”时，假设的内容是（）A =BC =且D =或【考点】反证法与放缩法【分析】反证法是假设命题的结论不成立，即结论的反面成立，所以只要考虑的反面是什么即可【解答
6、】解：的反面是，即=或故选D3（x2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（）A5B10C15D20【考点】二项式系数的性质【分析】展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大，故第3，4项的二项式系数最大，问题得以解决【解答】解：展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大故第3，4项的二项式系数最大，故C52=C53=10，故选：B4有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A60种B70种C75种D150种【考点】排列、组合及简单计数问题；排列、组合的实际应用【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女
7、医生中选出1人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，再从5名女医生中选出1人，有C51=5种选法，则不同的选法共有155=75种；故选C5用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A144个B120个C96个D72个【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，首位数字为5时，首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位
8、置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案【解答】解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有324=72个，首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有224=48个，共有72+48=120个故选：B6六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A192种B216种C240种D288种【考点】
9、排列、组合及简单计数问题【分析】分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论【解答】解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种故选：B76把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A144B120C72D24【考点】计数原理的应用【分析】使用“插空法“第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法
10、根据分步计数原理可得结论【解答】解：使用“插空法“第一步，三个人先坐成一排，有种，即全排，6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空挡，随便摆放即可，即有种办法根据分步计数原理，64=24故选：D8已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=（）A4B3C2D1【考点】二项式系数的性质【分析】由题意利用二项展开式的通项公式求得展开式中x2的系数为+a=5，由此解得a的值【解答】解：已知（1+ax）（1+x）5=（1+ax）（1+x+x2+x3+x4+x5） 展开式
11、中x2的系数为+a=5，解得a=1，故选：D9已知函数f（x）=ax33x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x00，则实数a的取值范围是（）A（1，+）B（2，+）C（，1）D（，2）【考点】函数的零点与方程根的关系【分析】由题意可得f（x）=3ax26x=3x（ax2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可【解答】解：f（x）=ax33x2+1，f（x）=3ax26x=3x（ax2），f（0）=1；当a=0时，f（x）=3x2+1有两个零点，不成立；当a0时，f（x）=ax33x2+1在（，0）上有零点，故不成立；当a0时，f（x）=ax33x2+1在（0，+）上有且只
12、有一个零点；故f（x）=ax33x2+1在（，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax33x2+1在（，0）上取得最小值；故f（）=3+10；故a2；综上所述，实数a的取值范围是（，2）；故选：D10设函数f（x）的偶函数f（x）（xR且x0）的导函数，f（2）=0且当x0时，xf（x）f（x）0，则使f（x）0成立的x的取值范围为（）A（，2）（0，2）B（2，0）（0，2）C（2，0）（2，+）D（，2）（2，+）【考点】导数的运算；利用导数研究函数的单调性【分析】构造函数g（x）=，利用导数得到，g（x）在（0，+）是增函数，再根据f（x）为奇函数，根据f（2）=0，解得f（x）0的解
13、集【解答】解：令g（x）=，g（x）=，x0时，xf（x）f（x）0，x0时，g（x）0，g（x）在（0，+）上是增函数，f（2）=0，g（2）=0，当0x2，g（x）g（2）=0，即f（x）0，当x2时，g（x）g（2）=0，即f（x）0，f（x）是偶函数，当2x0，f（x）0，故不等式f（x）0的解集是（2，0）（0，2），故选：B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11已知函数f（x）=x（x+a）2在x=1处取得极小值，则实数a的值为1【考点】利用导数研究函数的极值【分析】通过对函数f（x）求导，根据函数在x=1处有极值，可知f（1）=0，解得a的值，再验证可得结论【解答】解：
14、求导函数可得f（x）=3x2+4ax+a2，f（1）=3+4a+a2=0，解得a=1，或a=3，当a=1时，f（x）=3x24x+1=（3x1）（x1），函数在x=1处取得极小值，符合题意；当a=3时，f（x）=3x212x+9=3（x1）（x3），函数在x=3处取不到极大值，不符合题意，a=1故答案为：112复数z满足=i，则|z|=1【考点】复数求模【分析】直接由=i利用复数代数形式的乘除运算求出z，则z的模可求【解答】解： =i，则|z|=1故答案为：113将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96【考点
15、】排列、组合及简单计数问题【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4=96种故答案为：9614在10件产品中有6件一级品，4件二级品，从中任取3件，其中至少有一件为二级品的概率为【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】根据对立事件的概率公式计算即可【解答】解：10件产品中有6件一级品，4件二级品，从中任取3件，全是一级品的概率为=，则至少有一件为二级品的为1=，故答案为：15已知a
16、=的二项展开式中，x的系数为40【考点】二项式系数的性质【分析】由条件求得a=2，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于，1，求出r的值，即可求得展开式中x的系数【解答】解：a=sinx=1（1）=2，=的展开式的通项公式为Tr+1=（1）r25rx103r，令103r=1，求得r=3，故展开式中x的系数为22=40，故答案为：40三、解答题16已知复数z=3+bi，b为正实数，且（z2）2为纯虚数（1）求复数z；（2）若，求复数w的模|w|【考点】复数求模；复数代数形式的乘除运算【分析】（1）利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出；（2）利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】
17、解：（1）（1+bi）2=12bib2，1b2=0，又b为正实数，b=1z=3+i（2），17已知函数f（x）=ex（x2ax+1）（aR）在点（0，f（0）处的切线方程为3x+y1=0（）求实数a的值；（）求实数f（x）的极值【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）先求出函数f（x）的导数，根据切线的斜率是3，从而求出a的值；（）先求出函数的单调区间，从而求出函数的极值【解答】解：（）f（x）=ex，而切线方程为3x+y1=0，斜率k=3，f（0）=1a=3，解得：a=4；（）由（）得：f（x）=ex（x24x+1），f（x）=ex（x3）（x+1），令f（
18、x）0，解得：x3或x1，令f（x）0，解得：1x3，f（x）在（，1），（3，+）递增，在（1，3）递减，f（x）极小值=f（3）=，f（x）极大值=f（1）=18（ +）n的展开式中，第4项的二项式系数与第5项的二项式系数之比为1：3（1）求展开式中的常数项；（2）求二项式系数最大的项【考点】二项式定理的应用；二项式系数的性质【分析】（1）由条件可得=，由此求得n的值（2）利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得二项式系数最大的项【解答】解：（1）的展开式中，第4项的二项式系数与第5项的二项式系数之比为1：3，即=，求得n=15（2）根据展开式的通项公式为Tr+1=，可得当r=7或
19、8时，二项式系数取得最大值，故展开式中二项式系数最大的项为T8=x3，T9=为19用数学归纳法证明（1+x）n1+nx，这里x1且x0，nN*且n2【考点】数学归纳法【分析】（1）验证当n=2时，原不等式成立；（2）假设当n=k时不等式成立，由数学归纳法证明当n=k+1时不等式也成立即可【解答】证明：（1）当n=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，x20，左边右边，原不等式成立；（2）假设当n=k时，不等式成立，即（1+x）k1+kx，则当n=k+1时，x1，1+x0，在不等式（1+x）k1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k（1+x）（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx21
20、+（k+1）x，（1+x）k+11+（k+1）x即当n=k+1时，不等式也成立综合（1）（2）可得对一切正整数n，不等式都成立20盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式【分析】（1）先求出取2个球的所有可能，再求出颜色相同的所有可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断X的所有可
21、能值，在分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可【解答】解（1）一次取2个球共有=36种可能，2个球颜色相同共有=10种可能情况取出的2个球颜色相同的概率P=（2）X的所有可能值为4，3，2，则P（X=4）=，P（X=3）=于是P（X=2）=1P（X=3）P（X=4）=，X的概率分布列为 X 2 3 4P故X数学期望E（X）=21已知函数f（x）=+alnx（a0，aR）（）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；（）若在区间上至少存在一点x0，使得f（x0）0成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）求函数的导数
22、，令导数等于零，解方程，再求出函数f（x）的导数和驻点，然后列表讨论，求函数f（x）的单调区间和极值；（II）若在区间（0，e上存在一点x0，使得f（x0）0成立，其充要条件是f（x）在区间（0，e上的最小值小于0即可利用导数研究函数在闭区间上的最小值，先求出导函数f（x），然后讨论研究函数在上的单调性，将f（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值【解答】解：（I）因为，当a=1，令f（x）=0，得x=1，又f（x）的定义域为（0，+），f（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+）f（x）0+f（x）极小值所以x=1时，f（x）的极小值为1f（x）的单调
23、递增区间为（1，+），单调递减区间为（0，1）；（II）因为，且a0，令f（x）=0，得到，若在区间上存在一点x0，使得f（x0）0成立，其充要条件是f（x）在区间上的最小值小于0即可（1）当a0时，f（x）0对x（0，+）成立，所以，f（x）在区间上单调递减，故f（x）在区间上的最小值为，由，得，即（2）当a0时，若，则f（x）0对x成立，所以f（x）在区间上单调递减，所以，f（x）在区间上的最小值为，显然，f（x）在区间上的最小值小于0不成立若，即1时，则有xf（x）0+f（x）极小值所以f（x）在区间上的最小值为，由，得1lna0，解得ae，即a（e，+）舍去；当01，即a1，即有f（x）在递增，可得f（1）取得最小值，且为1，f（1）0，不成立综上，由（1）（2）可知a符合题意xx年6月14日B22802 5912 夒28775 7067 灧22440 57A8 垨26820 68C4 棄28691 7013 瀓9q40131 9CC3 鳃39769 9B59 魙30923 78CB 磋25119 621F 戟
