1、2022年中考数学压轴题1如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=12x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，1），抛物线y=12x2+bx+c经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0t4）DEy轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2），点H是直线BC上横坐标为3的点若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；在p取最大值时，有一动点Q从点H出发，以每秒v个单位的速度沿射线HB运动到I点，然后以每秒255v个单位的速度从点I运动到点D，若要点Q所用时间最少直接写
2、出点I的坐标；（3）把直线BC绕着点A逆时针旋转45，得到直线l，点M是位于x轴上方的直线l上的一动点，是否存在点M，使OMAABO？若存在，请求出M点坐标：如果不存在，请说明理由解：（1）直线l：y=12x+m过点B（0，1）m1，直线l：y=12x1点C（4，n）在直线l上n=12411抛物线y=12x2+bx+c经过点B、Cc=-18+4b+c=1 解得：b=-32c=-1抛物线解析式为y=12x2-32x1（2）D（t，12t2-32t1），DEy轴交直线l于点EE（t，12t1）DE=12t1（12t2-32t1）=-12t2+2ty=12x10时，x2A（2，0），OA2AB=22
3、+12=5sinABO=OAAB=25=255，cosABO=OBAB=15=55四边形DFEG是矩形DFEAOB90DEy轴有DEFABOsinDEF=DFDE=255，cosDEF=EFDE=55DF=255DE，EF=55DEp2（DF+EF）=655DE=655（-12t2+2t）=-355t2+1255t=-355（t2）2+1255当t2时，p的最大值为1255p取得最大值时，D（2，2）H在直线BC上且横坐标为3H（3，-52）sinABO=OAAB=255，即OA=255AB动点Q的速度从v变为255v时，转动角度BAx，IDx轴 即：yIyD212x12 解得：x2I的坐标为
4、（2，2）（3）存在满足条件的点M，使OMAABO如图，过点B作BN直线l于点N，过点N作STy轴于S，过点A作ATST于TBSNBNAT90SBN+BNSBNS+ANT90SBNANTBAN45BNNABSNNTA（AAS）BSNT，SNTA设N（n，a），则SNn，ATaBSOSOBATOBa1，NTSTSNOASN2nn=-a-a-1=2-n 解得：n=32a=-32N（32，-32）设直线l解析式为ykx+z，直线l过点N、A32k+z=-322k+z=0 解得：k=3z=-6直线l解析式为y3x6作点B（0，1）关于x轴的对称点B，过B作BM直线l于点M，连接AB、OMB（0，1），
5、ABOABOAOBAMB90点O、M在以AB为直径的圆上OMAOBAABO设直线BM解析式为：ykx+1k31 即k=-13直线BM解析式为：y=-13x+1y=-13x+1y=3x-6 解得：x=2110y=310点M坐标为（2110，310）2如图1，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A、点B（4，0），与y轴交于点C；直线y=-43x+4经过点C，与x轴交于点D，点P是第一象限内抛物线上一动点（1）求抛物线的解析式；（2）若PCBDCB，求PCD的面积；（3）如图2，过点C作直线lx轴，过点P作PHl于点H，将CPH绕点C顺时针旋转，使点H的对应点H恰好落在直线CD上，同时使点P
6、的对应点P恰好落在坐标轴上，请直接写出此时点P的坐标解：（1）当x0时，y=-43x+44C（0，4）抛物线y=-12x2+bx+c过点B（4，0）、C-8+4b+c=00+0+c=4 解得：b=1c=4抛物线解析式为y=-12x2+x+4（2）如图1，直线CP与x轴交于点G，过点D作DECB于点E，交直线CP于点F，连接BFCEDCEF90在CDE与CFE中DCE=FCECE=CECED=CEF CDECFE（ASA）DEFE，即BC垂直平分DFBDBFB（4，0），C（0，4）OBOCOBC45CBFOBC45DBF90当y=-43x+40时，解得：x3D（3，0）BFBD431F（4，1
7、）设直线CF解析式为ykx+44k+41 解得：k=-34直线CP：y=-34x+4当y0时，-34x+40，解得：x=163G（163，0），DG=163-3=73y=-34x+4y=-12x2+x+4 解得：x1=0y1=4（即点C），x2=72y2=118P（72，118）SPCDSCDGSPDG=12DGOC-12DGyP=12DG（OCyP）=1273（4-118）=4916PCD的面积为4916（3）若点P落在y轴上，如图2，CPH绕点C旋转得CPH，H在直线CD上PCHPCHOCBBCH45OCBOCHBCHPCH即DCBPCB由（2）可得此时点P（72，118）若点P落在x轴上
8、，如图3，过点H作MNx轴于点M，交直线l于点N四边形OCNM是矩形MNOC4，OD3，COD90CD=OC2+OD2=5sinOCD=ODCD=35，cosOCD=OCCD=45，设点P坐标（p，-12p2+p+4）（0p4）CHCHp，PHPH4（-12p2+p+4）=12p2pMNy轴CHNOCDRtCNH中，cosCHN=NHCH=45NH=45CH=45pMHMNNH4-45pPMHPHC90PHM+CHNPHM+HPM90HPMCHNRtHPM中，sinHPM=MHPH=354-45p12p2-p=35解得：p14（舍去），p2=103-12p2+p+4=-509+103+4=16
9、9P（103，169）综上所述，点P坐标为（72，118）或（103，169）3若二次函数yax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，2），且过点C（2，2）（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且SPBA4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使ABOABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由解：（1）二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，2）、C（2，2）9a+3b+c=00+0+c=-24a+2b+c=-2 解得：a=23b=-43c=-2二次函数表达式为y=23x2-43x2（2）如图1，记直线BP
10、交x轴于点N，过点P作PDx轴于点D设P（t，23t2-43t2）（t3）ODt，PD=23t2-43t2设直线BP解析式为ykx2把点P代入得：kt2=23t2-43t2k=23t-43直线BP：y（23t-43）x2当y0时，（23t-43）x20，解得：x=3t-2N（3t-2，0）t3t213t-23，即点N一定在点A左侧AN3-3t-2=3(t-3)t-2SPBASABN+SANP=12ANOB+12ANPD=12AN（OB+PD）4123(t-3)t-2(2+23t2-43t-2)=4解得：t14，t21（舍去）23t2-43t2=323-163-2=103点P的坐标为（4，103
11、）（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使ABOABM如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EFy轴于点FAB垂直平分OEBEOB，OGGEABOABMA（3，0）、B（0，2），AOB90OA3，OB2，AB=OA2+OB2=13sinOAB=OBAB=21313，cosOAB=OAAB=31313SAOB=12OAOB=12ABOGOG=OAOBAB=61313OE2OG=121313OAB+AOGAOG+BOG90OABBOGRtOEF中，sinBOG=EFOE=21313，cosBOG=OFOE=31313EF=21313OE=24
12、13，OF=31313OE=3613E（2413，-3613）设直线BE解析式为yex2把点E代入得：2413e2=-3613，解得：e=-512直线BE：y=-512x2当-512x2=23x2-43x2，解得：x10（舍去），x2=118点M横坐标为118，即点M到y轴的距离为118补充方法：第（2）小问过点P作x的垂线与直线BA交于点C，用三角形PCB的面积减去三角形PCA的面积等于4直接求出点P的横坐标第（3）用一线三等角相似直接求出点E的坐标了（过点A作直线FE的垂线段，记垂足为H，连接AE，三角形AHE和三角形EFB相似）4如图，AB是O的直径，点C是O上一点（与点A，B不重合），
13、过点C作直线PQ，使得ACQABC（1）求证：直线PQ是O的切线（2）过点A作ADPQ于点D，交O于点E，若O的半径为2，sinDAC=12，求图中阴影部分的面积解：（1）证明：如图，连接OC，AB是O的直径，ACB90，OAOC，CABACOACQABC，CAB+ABCACO+ACQOCQ90，即OCPQ，直线PQ是O的切线（2）连接OE，sinDAC=12，ADPQ，DAC30，ACD60ABCACD60，CAB906030，EAODAC+CAB60，又OAOE，AEO为等边三角形，AOE60S阴影S扇形SAEOS扇形-12OAOEsin60=6036022-122232=23-3图中阴影
14、部分的面积为23-35如图，在ABC中，ACB90，将ABC沿直线AB翻折得到ABD，连接CD交AB于点ME是线段CM上的点，连接BEF是BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF（1）求证：BEF是直角三角形；（2）求证：BEFBCA；（3）当AB6，BCm时，在线段CM上存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值（1）证明：ACB90，将ABC沿直线AB翻折得到ABD，ADBACB90，EFBEDB，EBFEDF，EFB+EBFEDB+EDFADB90，BEF90，BEF是直角三角形（2）证明：BCBD，BDCBCD，EFBEDB，EFBBCD，ACAD，BCBD，ABCD，AMC9
15、0，BCD+ACDACD+CAB90，BCDCAB，BFECAB，ACBFEB90，BEFBCA（3）解：设EF交AB于J连接AEEF与AB互相平分，四边形AFBE是平行四边形，EFAFEB90，即EFAD，BDAD，EFBD，AJJB，AFDF，FJ=12BD=m2，EFm，ABCCBM，BC：MBAB：BC，BM=m26，BEJBME，BE：BMBJ：BE，BE=m2，BEFBCA，ACEF=BCBE，即36-m2m=mm2，解得m23（负根已经舍弃）6如图1，已知四边形ABCD是菱形，G是线段CD上的任意一点时，连接BG交AC于F，过F作FHCD交BC于H，可以证明结论FHAB=FGBG
16、成立（考生不必证明）（1）探究：如图2，上述条件中，若G在CD的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（2）计算：若菱形ABCD中AB6，ADC60，G在直线CD上，且CG16，连接BG交AC所在的直线于F，过F作FHCD交BC所在的直线于H，求BG与FG的长（3）发现：通过上述过程，你发现G在直线CD上时，结论FHAB=FGBG还成立吗？【解答】解：（1）结论FHAB=FGBG成立证明：由已知易得FHAB，FHAB=HCBC，FHGC，HCBC=FGBGFHAB=FGBG（2）G在直线CD上，分两种情况讨论如下：G在CD的延长线上时，DG10，如
17、图1，过B作BQCD于Q，由于四边形ABCD是菱形，ADC60，BCAB6，BCQ60，BQ33，CQ3，BG=192+(33)2=297又由FHGC，可得FHGC=BHBC，而CFH是等边三角形，BHBCHCBCFH6FH，FH16=6-FH6，FH=4811，由（1）知FHAB=FGBG，FG=FHBGAB=481116297=161197G在DC的延长线上时，CG16，如图2，过B作BQCG于Q，四边形ABCD是菱形，ADC60，BCAB6，BCQ60BQ33，CQ3BG=132+(33)2=14又由FHCG，可得FHGC=BHBC，FH16=BH6BHHCBCFHBCFH6，FH=48
18、5FHCG，BFBG=FHCGBF1448516=425FG14+425=1125（3）G在DC的延长线上时，FHAB=4856=85，FGBG=112514=85，FHAB=FGBG成立结合上述过程，发现G在直线CD上时，结论FHAB=FGBG还成立7如图，在平面直角坐标系中，OBOA，且OB2OA，点A的坐标是（1，2）（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得SABPSABO【解答】解：（1）过点A作AFx轴，垂足为点F，过点B作BEx轴，垂足为点E，则AF2，OF1OAOB，AOF+BOE90度又BOE+OBE90，A
19、OFOBE，RtAFORtOEB，BEOF=OEAF=OBOA=2，BE2，OE4，B（4，2）（2）设过点A（1，2），B（4，2），O（0，0）的抛物线为yax2+bx+ca-b+c=216a+4b+c=2c=0解之，得a=12b=-32c=0，所求抛物线的表达式为y=12x2-32x（3）由题意，知ABx轴设抛物线上符合条件的点P到AB的距离为d，则SABP=12ABd=12ABAF5d2点P的纵坐标只能是0，或4令y0，得y=12x2-32x0解之，得x0，或x3符合条件的点P1（0，0），P2（3，0）令y4，得12x2-32x4解之，得x=3412符合条件的点P3(3-412，4)，P4(3+412，4)综上，符合题意的点有四个：P1（0，0），P2（3，0），P3(3-412，4)，P4(3+412，4)
