1、2022年中考数学压轴题1抛物线yax24ax+5与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），且AB6已知Q（1，0），E（0，m），F（0，m+1），点P是第一象限的抛物线上的一点（1）求该抛物线的解析式；（2）当m1时，求使四边形EFPQ的面积最大时的点P的坐标；（3）若PQPB，求m为何值时，四边形EFPQ的周长最小？解：（1）设A（x1，0），B（x2，0），则x1、x2是方程ax24ax+50的两根由根与系数的关系得：x1+x24，x1x2=5a，又AB6，即：x2x16，解得：x11，x25，a1；抛物线的解析式：yx2+4x+5故抛物线的解析式为：yx2+4x+5（2）过点P作PC
2、x轴，垂足为C，如图1，设P（m，n），则OCm，PCn，点P在抛物线的解析式：yx2+4x+5上，nm2+4m+5，S四边形EFPQS梯形PFOCSEOQSQCP=12（2+n）m-1211-12（m1）nm+12n-12，S四边形EFPQ=-12m2+3m+2，当m=-32(-12)=3时，S最大当m3时，n9+12+58，P（3，8）因此当四边形EFPQ的面积最大时，点P的坐标为（3，8）（3）过点P作PDx轴，垂足为D，如图2，作Q关于O的对称点Q1，连接EQ1，则Q1（1，0），由（1）得B（5，0）A（1，0）Q（1，0），QB4，PQPB，QDDB=12QB=2，OD3，当x3时
3、，y9+13+58，此时点P（3，8），PQ、EF的长固定，要使四边形的周长最小，即EQ+PF最小即可，当EQ1PF时，EQ+PF最小，即四边形的周长最小，设直线PF的关系式为yk1x+b1，直线EQ1的关系式为yk2x+b2，由题意得：3k1+b1=8b=m+1 -k2+b2=0b2=m，k1=7-m3，k2m，当k1k2时，EQ1PF，即：7-m3=m，解得：m=74因此当m=74时，四边形EFPQ的周长最小2对于二次函数给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，二次函数yax2+bx+c（a，b，c为常数，且a0）的图象顶点为P（不与坐标原点重合），以OP为边构造正方形OPMN，则称正方形
4、OPMN为二次函数yax2+bx+c的关联正方形，称二次函数yax2+bx+c为正方形OPMN的关联二次函数若关联正方形的顶点落在二次函数图象上，则称此点为伴随点（1）如图，直接写出二次函数y（x+1）22的关联正方形OPMN顶点N的坐标（2，1）或（2，1），并验证点N是否为伴随点否（填“是“或“否“）：（2）当二次函数yx2+4x+c的关联正方形OPMN的顶点P与N位于x轴的两侧时，请解答下列问题：若关联正方形OPMN的顶点M、N在x轴的异侧时，求c的取值范围：当关联正方形OPMN的顶点M是伴随点时，求关联函数yx2+4x+c的解析式；关联正方形OPMN被二次函数yx2+4x+c图象的对称
5、轴分成的两部分的面积分别为S1与S2，若S113S2，请直接写出c的取值范围解：（1）如图1，过点P作PAx轴于点A，过点N作NBx轴于点BPAOOBN90二次函数y（x+1）22顶点P（1，2）PA2，OA1四边形OPMN是正方形OPON，PON90AOP+BONBON+BNO90AOPBNO在BON与APO中OBN=PAOBNO=AOPON=PO BONAPO（AAS）BOPA2，BNAO1若MN在OP左侧，则点N在第二象限，N（2，1）x2时，y（2+1）2211点N不在二次函数的图象上N（2，1）不是伴随点若MN在OP右侧，则点N在第四象限，N（2，1）x2时，y（2+1）2271N（
6、2，1）不是伴随点故答案为：（2，1）或（2，1）；否（2）过点P作PAx轴于点A，过点N作NBx轴于点B由（1）可得：BONAPOyx2+4x+c（x2）2+c+4P（2，c+4）BNOA2，BOPA|c+4|i）如图2，若点P在第一象限P与N位于x轴的两侧，点M、N在x轴的异侧点N在第四象限，PABNc+40c+42 解得：c2ii）如图3，若点P在第四象限点N在第一象限，PABNc+40-(c+4)2 解得：c6综上所述，点M、N在x轴的异侧时，c的取值范围为c6或c2过点M作MCPA于点CMCPPAO90PMC+MPCMPC+OPA90PMCOPA在PCM与OAP中PCM=OAPPMC
7、=OPAPM=OP PCMOAP（AAS）CMPA|c+4|，PCOA2i）如图2，若点P在第一象限，则c+40xMOA+CM2+c+4c+6，yMyPPCc+42c+2M（c+6，c+2）点M是伴随点，即点M在二次函数yx2+4x+c图象上（c+6）2+4（c+6）+cc+2解得：c14-2（舍去），c24+2ii）如图3，若点P在第四象限，则点M在点P上方二次函数图象开口向下点M不可能在二次函数图象上，即不可能为伴随点综上所述，关联函数的解析式为yx2+4x+2-4S113S2，S1+S2S正方形OPMNS23S1S1+S24S1S114S正方形OPMNi）如图4，当点P、M在x轴同侧时（
8、由可知c6或c2），对称轴与ON交于点DS1SPOD=12OPOD12OPOD14OP2OD12OP，即OD12ONADBNOADOBNOAOB=ODON12OA12OB212|c+4|解得：c0或c8ii）如图5，当点P、M在x轴异侧时（6c2），对称轴与MN交于点E延长MC交BN于FMFOA2S1SPME=12PMME12PMME14PM2ME12PM，即ME12MNMC12MF|c+4|1且c4，解得：5c3且c4综上所述，S113S2时c的取值范围为c8或5c3且c4或c03如图，抛物线yax2+bx+2经过（2，3），（2，3）两点，交x轴于A，B两点，交y轴于点C，与过点C且平行x
9、轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点（1）求抛物线解析式；（2）求点A，B，D的坐标；（3）点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标；（4）过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q是否存在点P，使Q恰好落在x轴上？若存在，直接写出此时点P的坐标；若不存在，说明理由解：（1）将（2，3），（2，3）代入抛物线表达式得3=4a+2b+2-3=4a-2b+2，解得a=-12b=32，故抛物线的表达式为y=-12x2+32x+2；（2）对于y=-12x2+32x+2，令x0，则y2，令y=-12x2+32x+20，解得x4或1，
10、故点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（4，0）、（0，2），故函数的对称轴为x=12（41）=32，故点D（3，2），即点A，B，D的坐标分别为（1，0）、（4，0）、（3，2）；（3）A，E两点都在x轴上，AE有两种可能：当AE为一边时，AEPD，P（0，2），当AE为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等，可知P点、D点到直线AE（即x轴）的距离相等，P点的纵坐标为2，代入抛物线的解析式：-12x2+32x+22，解得：x=3412，P点的坐标为（3-412，2），（3+412，2），综上所述：P（0，2）或（3-412，2）或（3+412，2）；（4）存在满足条件的点P，
11、显然点P在直线CD下方，设直线PQ交x轴于F，点P的坐标为（m，-12m2+32m+2），当P点在y轴右侧时（如图1），CQm，PQ2（-12m2+32m+2）=12m2-32m，又CQO+FQP90，COQQFP90，FQPOCQ，COQQFP，则QCCO=QPFQ，即m2=12m2-32mQF，QFm3，OQOFQFm（m3）3，则CQCQ=CO2+OQ2=32+22=13，此时m=13，点P的坐标为（13，-9+3132）4如图，AB是O的直径，点C是O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得ACQABC（1）求证：直线PQ是O的切线（2）过点A作ADPQ于点D，交O于点E，若
12、O的半径为2，sinDAC=12，求图中阴影部分的面积解：（1）证明：如图，连接OC，AB是O的直径，ACB90，OAOC，CABACOACQABC，CAB+ABCACO+ACQOCQ90，即OCPQ，直线PQ是O的切线（2）连接OE，sinDAC=12，ADPQ，DAC30，ACD60ABCACD60，CAB906030，EAODAC+CAB60，又OAOE，AEO为等边三角形，AOE60S阴影S扇形SAEOS扇形-12OAOEsin60=6036022-122232=23-3图中阴影部分的面积为23-35如图，在ABC中，ACB90，将ABC沿直线AB翻折得到ABD，连接CD交AB于点ME
13、是线段CM上的点，连接BEF是BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF（1）求证：BEF是直角三角形；（2）求证：BEFBCA；（3）当AB6，BCm时，在线段CM上存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值（1）证明：ACB90，将ABC沿直线AB翻折得到ABD，ADBACB90，EFBEDB，EBFEDF，EFB+EBFEDB+EDFADB90，BEF90，BEF是直角三角形（2）证明：BCBD，BDCBCD，EFBEDB，EFBBCD，ACAD，BCBD，ABCD，AMC90，BCD+ACDACD+CAB90，BCDCAB，BFECAB，ACBFEB90，BEFBCA（3）解：设EF交AB于J连接AEEF与AB互相平分，四边形AFBE是平行四边形，EFAFEB90，即EFAD，BDAD，EFBD，AJJB，AFDF，FJ=12BD=m2，EFm，ABCCBM，BC：MBAB：BC，BM=m26，BEJBME，BE：BMBJ：BE，BE=m2，BEFBCA，ACEF=BCBE，即36-m2m=mm2，解得m23（负根已经舍弃）
