1、1 应用题中常见的数量关系 学习目标:1、正确理解并掌握单价问题、工程问题中三个量之间的数量关系；2、灵活运用数量关系式解决与单价、工程相关的数学实际问题，认识数学知识在实际生活中的广泛应用；3、通过学生已有的生活经验，培养学生在实际生活中寻找、运用数学信息的意识和能力。教学重点:1、 理解“单价、总价、数量 ”三个量之间的关系；2、 通过合作探究的学习方法，理解“工作总量、工作效率、工作时间”三个量之间的关系。教学难点：运用数量关系，解决实际生活中的问题。教学过程：一、情景体验师：同学们，今天上课之前我们先来看几张图片（展示PPT课件）。师：这些图片都是近年来我国新建的一些世界级的大工程，像
2、世界第二长跨海大桥杭州湾跨海大桥、世界第一高塔广州新电视塔、世界上运营速度最高的铁路武广高速铁路。这些工程使得人们的生活更加方便，那么在这些城市建设中会有哪些数学问题呢？除了工程建设领域，日常生活中，每天人们都会涉及购物，其中又会有哪些数学问题呢？今天我们就一起来探究一下与单价、工程相关的数学问题。（板书课题：应用题中常见的数量关系）二、 思维探索（建立知识模型）（一） 日常生活中购物体现的就是数学问题中的单价问题。购买物品一共需要的钱叫总价，一件商品的钱叫做单价。三者之间的关系：单价数量=总价 总价单价=数量 总价数量=单价展示例1： 例1：已知篮球、足球、排球平均每个36元，篮球比排球每个
3、多10元，足球比排球每个多8元，每个足球多少元？师：“篮球、足球、排球平均每个36元”，你能得到什么信息？生：36元是平均数，因此篮球+足球+排球的总价就等于363=108（元）。师：已知一个篮球比排球多10元，一个足球比排球多8元，篮球、足球都与排球有关，又知道三种球的总价是108元，想一想，你会怎么做？学生思考师引导：可以把排球看成是1倍量，利用画线段图解决。师引导学生画出线段图师：根据线段图，3个1倍量加上18元就等于108元，因此可以算出1倍量，即排球的价钱是（108-18）3=30（元）。一个足球比排球多8元，所以一个足球的价钱就是30+8=38（元）。师小结：已知几个量之间的和与差
4、，通常能通过画线段图，利用数形结合的方法解决问题。学生自主完成即学即练，师再集体订正讲解。展示例2： 例2：商店以每双12元购进200双凉鞋，卖到还剩下10双时，除去购进这批凉鞋的全部开销外还获利260元，问：这批凉鞋的售价是多少元？单价数量总价购进12元200双2400元卖出？（200-10）双2660元师：碰到这种进价、售价问题，数据较多时可通过列表来帮助分析。师引导学生画出表格，根据题目条件填入相关数据。师：以每双12元的价钱购进200双凉鞋，你能求出什么？生：知道购进的单价和数量，可以先求出购进时的总价是多少。师：很好，我们可以用“单价数量=总价”来计算，即12200=2400（元）。
5、师：算出了购进时的总价了，我们接下来可以得到什么呢？生：因为除去所有开销还获利260元，所以我们可以得到卖出凉鞋的总价： 2400+260=2660（元）师：非常好，“卖到还剩下10双”是什么意思呢？生：说明还有10双没有卖，只卖掉了200-10=190（双）。师：对，这是这个问题的关键所在，要弄清楚这里的2660元是190双凉鞋的总价，所以要求卖出凉鞋的单价是不是就很简单了，根据“单价=总价数量”来进行计算，并完成这个表格。（学生自主完成，汇报结果）学生自主完成即学即练，师再集体订正讲解。展示例3： 例3：甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果，分配时甲、乙都比丙多拿24千克，结账时，甲和乙
6、都要付给丙24元，每千克苹果多少元？师：读完题后，你们能得到什么信息？学生举手发言师引导：举个例子，一本书2元钱，三个人都拿出10元钱买书，每人买到的书就都是5本，数量相等。既然如此，本题中苹果的单价是固定的，三人拿出同样多的钱买苹果，分到的苹果数量就应该相等。而实际上分配时，甲乙都比丙多拿24千克，也就是多出242=48（千克）的苹果。这48千克苹果平均分给三人，每人应该得483=16（千克）。因为丙没有分到这16千克苹果，所以得到甲乙给他的242=48（元）钱。即16千克苹果的总价是48元，因此每千克苹果的价钱是4816=3（元）。学生自主完成即学即练，师再集体订正讲解。（二） 工程问题主
7、要是研究工作总量、工作效率与工作时间之间的数量关系。要完成的任务叫工作总量，单位时间的工作量叫做工作效率。它们三者之间的关系： 工作效率工作时间=工作总量 工作总量工作效率=工作时间 工作总量工作时间=工作效率展示例4： 例4：一个筑路队要筑1680米长的路。已经筑了15天，平均每天筑60米。其余的12天筑完，余下的平均每天筑多少米？师：已经修了15天，平均每天修60米，能求出已经修了多少米路吗？生：工作效率工作时间=工作总量，6015=900（米）师：所以余下多少米路没有修？生：1680-900=780（米）师：余下的780米路要在12天修完，因此每天要修多少米？生：工作总量工作时间=工作效
8、率，78012=65（米）学生自主完成即学即练，师再集体订正讲解。展示例5： 例5：甲、乙两队同时开凿一条长770米的隧道。甲队从一端起，每天开凿10米；乙队从另一端起，每天比甲队多凿2米。两队距中点多远的地方会合？师：已知甲队每天凿10米，乙队每天比甲队多凿2米，乙队每天凿几米？生：10+2=12（米）师：题目说两队同时开凿这条隧道，那么一天甲乙两队可以开凿多少米？生：10+12=22（米）师追问：既然两队一天共凿22米，那么开凿这条770米的隧道，需要多长时间，即两队会合的时间，能求出来吗？生：77022=35（天）师：题目问题是两队距中点多远的地方会合，我们可以先算出会合时甲（或乙）开凿
9、了多少米，然后再和中点做比较。甲35天凿：1035=350（米） 乙35天凿：1235=420（米）从甲端到中点处：7702=385（米） 从乙端到中点处：385米会合处距离中点：385-350=35（米） 会合点距离中点：420-385=35（米）学生自主完成即学即练，师再集体订正讲解。展示例6： 例6：加工一批零件，原计划每天加工80个，正好如期完成任务。由于改进了生产技术，实际每天加工100个，这样，不仅提前4天完成加工任务，而且还多加工了100个。他们实际加工零件多少个？师：之前大家遇到过这种类型的题目没？学生回答师：这一类型的题目，如果只从文字上面去理解，不太容易解决问题。今天老师教
10、大家一个新方法借助矩形图来帮助分析题目。 题目说，原计划每天加工80个，正好如期完成任务。首先画出一个矩形，水平边表示原计划每天加工的80个，竖直边表示原计划生产的天数，这个矩形的面积就表示原计划的生产量。再画一个矩形，水平边表示实际每天加工的100个，竖直边表示实际生产的天数，它的面积表示实际的生产量。（注意，水平边和竖直边要与原来的矩形重合）。实际提前4天完成，在图上标注出4天。实际比原来还多加工100个，用黄色部分表示多出的100个。因为加工的都是同一批零件，加工总量是一样的，所以两个矩形的面积（表示实际产量的矩形面积要去掉多出的100个）相等，除去重叠的部分，剩下的两个绿色阴影部分面积也相等。观察矩形图，可知其中一个绿色部分矩形的一边是4，另一边是80，面积=480=320，因此另一个绿色部分面积也是320。320+100=420,面积是420的矩形竖直边表示实际生产天数，水平边表示实际每天比原计划多加工的20个，已知面积和其中一条边，就可以求出另一条边，即实际生产天数为42020=21（天）。实际每天加工100个，生产21天，所以实际加工零件数是10021=2100（个）。师小结：矩形图的应用比较广泛，先弄清楚画法，再熟悉具体解法，熟能生巧。五、总结 通过这节课的学习，你收获了什么？
