1、24.3 正多边形和圆【学习目标】1.了解正多边形和圆的有关概念;理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系。2.知道正多边形的对称性。了解用量角器等分圆心角来等分圆,从而做出圆内接或圆外切正多边形。3.会用圆规作圆内接正方形和正六边形,能作圆内接正三角形、正八边形、正十二变形。知识点一 正多边形和圆的关系1. 正多边形:各边相等,各角也相等的多边形2. 正多边形与圆的关系把一个圆分成n(n是大于2的自然数)等份,依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形,这个圆叫做这个正多边形的外接圆【例题】如图所示,六边形ABCDEF内接于O,且AB=BC=CD=DE=EF=FA.求证:
2、六边形ABCDEF为正六边形。【变式2】正八边形的中心角是()A45B135C360D1080知识点二 正多边形的有关概念与计算正多边形的有关概念 中心:正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心正多边形的半径:外接圆的半径叫做正多边形的半径中心角:正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角边心距:中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距【例题】有一个亭子,它的地基是半径为8m的正六边形,求地基的周长和面积(结果保留根号)【变式】已知正六边形ABCDEF,如图所示,其外接圆的半径是a,求正六边形的周长和面积知识点三 正多边形的画法 要作半径为R的正n边形,只要把半径为R的圆n等分,然后
3、顺次连接各等分点即可。正三角形的画法第一步:用圆规画一个圆,第二步:半径不变,把圆规的针脚放在圆周上任意一点P画弧与圆交于两点A、B,第三步:半径不变,把圆规的针脚放放在点A处再画画弧与圆交于两点P、Q(P是第二步中的P),第四步:以A、B、Q为顶点作ABQ,则ABQ即为圆内接等边。正四边形的画法取已知圆O上任一点A,以A为一个分点把O六等分,分点依次为A、B、C、D、E、F。分别以A、D为圆心,AC、BD为半径作圆交于G,以A为圆心,OG为半径作圆,交O于M、N,则A、M、D、N即四等分O的圆周。其中的把O六等分,是取AB=AO(因为是等边三角形),以此类推,可得到六等分点可参考图片正五边形
4、的画法 以O为圆心,r为半径画圆,并作互相垂直的直径MN和AP。 平分半径ON,得OK=KN。 以K为圆心,KA为半径画弧与OM交于H,AH即为正五边形的边长。 以AH为弦长,在圆周上截得A、B、C、D、E点,正七变形的画法 以定长R为半径作圆,并过圆心O作互相垂直的纵横两条直径MN、HP. 过N点任作一射线NS,用圆规取七等分,把端点T与M连结起来,然后过NT上的各点推出MT的平行线,把MN七等分. 以 M为圆心,MN为半径画弧,和PH的延长线相交于K点,从K向MN上各分点中的偶数点或奇数点(图中是 1、3、5、7各点)引射线,与交于A、B、C、M.再分别以 AB、BC、CM为边长,在圆周上
5、从A点(或M点)开始各截一次,得到其他三点,把这些点依次连结起来,即得近似的正七边形.正八边形的画正九边形的画法内接9边形画法:先画一个圆。再画两个相互颠倒的内接等边三角形。再把6角星的对角两两相连。得到6个与两个等边三角形的底边的6个交点。选择每一个交点为圆心,到圆内部正六边形的底边的任意一端点的距离为半径,画圆,与大圆产生2个交点。把所有交点画出来再相连,就得到正九边形。拓展点一 圆内接正多边形的判断【例题】如图所示的圆,把O分成相等的6段弧,依次连接各分点得到六边ABCDEF,下面证明,它是正六边形 【变式】如图,ABC是O的内接等腰三角形,顶角A=360,弦BD、CE分别平分ABC、A
6、CB.求证:五边形AEBCD是正五边形拓展点二 圆内接正多边形的有关计算【例题】已知,如图,正六边形ABCDEF的边长为6cm,求这个正六边形的外接圆半径R,边心距6,面积S6【变式】如图,以正六边形ABCDEF的边AB为边,在形内作正方形ABMN,连接MC求BCM的大小拓展点三 与圆内接正多边形有关的证明【例题】已知O和O上的一点A(1)作O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH;(2)在(1)题的作图中,如果点E在弧AD上,求证:DE是O内接正十二边形的一边【变式】如图,已知等边ABC内接于O,BD为内接正十二边形的一边,CD=5cm,求O的半径R拓展点四 实际应用题【例题】如图有一个宝塔,他的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE(如图),点O为中心(下列各题结果精确到0.1m)(1)求地基的中心到边缘的距离;(2)已知塔的墙体宽为1m,现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像,并且留出最窄处为1.6m的观光通道,问塑像底座的半径最大是多少?