1、01 数的整除特征及其应用 学习目标:1、 理解整除的意义，能判断一个数能否被另一个数整除。2、 理解整除的两种说法，a能被b整除与b能整除a，知道除尽与整除的区别。3、 理解一些特殊数的倍数特征，熟练掌握能被它们整除的数的特征。4、 会灵活的运用数的整除整除特征解决相关的数学问题。教学重点:1、 理解整除的两种说法，a能被b整除与b能整除a，知道除尽与整除的区别2、 理解一些特殊数的倍数特征，熟练掌握能被它们整除的数的特征。教学难点：会灵活的运用数的整除整除特征解决相关的数学问题。教学过程：一、情景体验师：昨天，老师去到文具店购买了8本笔记本和12支钢笔，售货员告诉老师8本笔记本和12支钢笔
2、共需要支付74元，老师当即判断说：“你肯定算错了”，同学们你们知道老师是如何快速的判断售货员算错了吗？同学们想不想学习老师的这个本事呢？（想）今天这堂课我们就一起来学习一下数的整除特征，通过今天这节课程的学习，老师相信同学们也能和老师一样快速的进行判断。师：首先，我们一起来回顾一下数的倍数特征，考查一下大家对于一些特殊的数的倍数特征掌握的如何？快问快答哦！2的倍数特征是什么？生：个位上是0、2、4、6、8的数。师：5的倍数特征是什么呢？生：个位上是0或5的数。师：3（或9）的倍数特征是什么呢？生：各个数位上的数字之和能被3（或9）整除。师：以上是大家比较熟悉的数的倍数特征，也是在解决数学问题时
3、用的比较多的，接下来我们再一起来回顾一下像4、25、8、125的倍数又有什么特征呢？生：4（或25）的倍数特征是末两位能被4（或25）整除。生：8（或125）的倍数特征是末三位能被8（或125）整除。师：大家说的都非常正确，那么同学们还记得7、11、13这三个数的倍数特征是什么吗？生：11的倍数特征是奇数位与偶数位上数字之和的差（以大减小）是11的倍数。生：7和13的倍数特征是这个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数的差（以大减小）能被7、13整除。师：对，其实这个规律同时也适用于11的倍数特征，看来同学们对于以上这些数的倍数特征已经很熟悉了，接下来我们一起来看一下都有哪些数学问题等着
4、我们去解决吧！二、 思维探索（建立知识模型）展示例题：例1：有一个四位数 ，它能被9整除，那么A是几？师：要确定一个数能被9整除，这个数就需要满足9的倍数特征，刚刚我们回顾了9的倍数特征，请一个同学复述一下9的倍数特征是什么？生：各个数位上的数字之和是9的倍数。师：很好，既然这是一个四位数，其中千位和个位的数字分别是3和1，而十位和百位的数字是相同的A，要确定A的值，同学们有什么想法呢？生：把各数位的数字加起来等于9的倍数，列等量关系求值。师：想法很好，可是9的倍数是不确定的，那么1+3+2A到底应该等于多少呢？生：可以等于9、18。师：为什么呢？生：因为每个数位上的数字只能是0到9，若A=9
5、，则3+9+9+1=22，这个四位数各数位数字之和最大只能是22。师：说的太棒了，还有同学有不一样的想法吗？生：试，可以假设1+3+2A等于9、18、27等等，逐个求出A的值，满足条件的A就是。师：说的也很正确，老师也是这么想的，我们需要去探究一下，对吧，现在我们一起来看一下每种情况下A的值分别是多少呢？（展示课件，逐一分析）通过刚刚的分析，我们可以得到A的值就是7。展示例题：例2：五位数中的内填什么数字，才能被3和5同时整除，请把这些数写出来。师：能被3和5同时整除，如何理解？生：这个五位数既是3的倍数也是5的倍数。师：对，哪位同学能说一说它们的倍数特征呢？生：3的倍数特征是各数位上的数字之
6、和是3的倍数，5的倍数特征是个位数字是0或5的数。师：对，所以要把满足条件的所有五位数都写出来，我们需要先分类，再来探讨。5的倍数特征只有两类，不妨先假设个位数字是0，那么这个五位数其他四位上的数字之和就是9+4+3+0=16，要使得这个五位数能被3整除，百位上的数应该填几呢？生：可以填2、5、8。师：对，16加上2的和为18，是3的倍数，同样加5和8的和分别是21和24也都是3的倍数，所以满足条件的数有94230、94530、94830。仿效我们刚刚的分析过程，接下来我们分小组探讨一下个位数字是5的情况，满足条件的数又有哪些呢？（学生分组讨论，汇报结果）生：当个位数字是5的时候，百位数字可以
7、是0、3、6、9。师：对，因为其他四个数位上的数字之和为9+4+3+5=21,而21原本就是3的倍数，所以百位数只能是3的倍数，值得注意的是0是任何非零数的倍数，综上所述，这个五位数既要是3的倍数也要是5的倍数，满足条件的五位数共有7个。板书：解题时，应尽量先从容易判断的数位上着手考虑，以便节省推理和试验的时间。三、 思维拓展（知识模型拓展）展示例题：例3：已知一个五位数是55的倍数，写出所有符合题意的五位数。师：同例2一样，求所有符合条件的五位数，可是有同学们有疑问了，55的倍数，我们没有给出55的倍数特征呀？想一想，大家有不有发现什么问题？生：55可以拆成5与11的乘积。师：喜欢你的想法，
8、那么这个五位数就只要满足既是5的倍数也是11的倍数的特征就行，谁能说一说11的倍数特征是什么呢？生：奇数位与偶数位上数字之和的差（以大减小）是11的倍数。师：和例题2比较，要解决这个问题，解题方法有什么异同呢？生：也需要将个位数字分为0和5来进行探讨。师：对，这是相同点，有不同的地方吗？生：不一样的地方就是要根据11的倍数特征确定最高位的数字是几。师：大家说的都很正确，若个位数字是0时，奇数位上的数字之和就为+9+0，偶数位上的数字之和就为1+6=7，这样奇数位与偶数位上数字之和的差为+2，要使得它是11的倍数，同学们想一想里的数字可以填几呢？生：只能填9,9+2=11。师：对，只有这一种情况
9、，那么若个位数字是5呢？生：奇数位上的数字之和就为+9+5=+14，偶数位上的数字之和还是为1+6=7，奇数位与偶数位上数字之和的差为+7，里只能填4。师：非常好，这样满足条件的五位数分别是96910和46915。展示例题：例4：小李为公司买了28盒价格相同的办公文具盒，发票因被水浸湿，只能看清963.2元，李老师只知道的数字是相同的，请问每盒办公文具盒多少元？师：这是一个生活实际问题，并且发票的总价是一个小数，要帮李老师解决问题，同学们想一想和我们今天学习的数的整除有关吗？生：有关，可以先把小数转化为整数，而总价应该是28的倍数。师：很好，和例3一样，28=47，我们可用4和7的倍数的特征来
10、解决这个问题，对吗？谁能说一说4和7的倍数特征是什么呢？生：4的倍数特征是末两位能被4整除，7的倍数特征是末三位数与末三位以前的数字所组成的数的差能被7整除。师：很好，首先我们来看一下末两位能被4整除的话，里可以填哪些数呢？生：可以填0、4、8。师：对，这样我们就可以确定这个六位数，我们再来探究一下是否满足7的倍数特征（分小组探讨一下，汇报探讨结果）生：只有当=4的时候满足是7的倍数特征。师：很好，这样我们就可以确定每盒办公文具盒344.08元。四、融汇贯通（知识模型的运用）展示例题：例5：小红买了7支铅笔、5支圆珠笔、8本笔记本和12块橡皮，总共用去4元5角。已知铅笔8分一支，圆珠笔3角6分
11、一支。问售货员的账有没有算错？师：在这个实际问题中，为了避免出现小数，我们需要先统一单位，将所有的单位统一为分，要判断售货员有没有算错，需要先做什么呢？生：先计算出买铅笔和圆珠笔用去的钱数。师：嗯，7支铅笔，每支8分钱，5支圆珠笔，每支36分钱，计算可以得到共需要：78+536=236分，而共用去了450分，则我们可以计算得到买笔记本和橡皮的钱数为：450-236=214分，对吗？（对）接下来如何判断呢？生：因为笔记本的本数和橡皮的块数分别是8和12，而这两个数都是4的倍数，可是214却不是4的倍数，所以售货员算错了。展示例题：例6：下面这199位数（其中1和2各有99个）能被13整除，那么中
12、间方格内应填什么数？师：要解决这个问题，我们还是需要先知道能够被13整除的数有什么特点：末三位数与末三位以前的数字所组成的数的差能否被13整除，而这个数的数位这么多，如何去判断呢？有不有简单的判断方法呢？（学生思考，教师引导）师：因为11111113=8547，11111113=8547，也就是说6个1能被13整除，6个2能被13整除，由此，大家可以想到什么呢？生：96个1和96个2所组成的192位数也能被13整除。师：嗯，对，所以原来的199位数可以变成111222这个七位数，现在同学们小组探讨一下，试一试中间的这个数填什么，可以满足被13整除呢？（学生小组探讨，汇报探讨结果）生：当中间方格
13、里填9的时候，可以被13整除。五、创新应用（知识模型的运用）展示例题：例7：用1、2、3、4、5、6、7、8、9（每个数字用一次）组成三个能被9整除的、和尽可能大的三位数，这三个三位数分别是多少？师：我们都知道能被9整除的数的特征是各数位上的数字之和是9的倍数，问题中要使得这三个三位数均能被9整除，通过计算我们可以发现：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，由于每个三位数的各个数位上的数字之和不会超过3个9，所以这三个三位数的每一个数位上数字之和只能分别是9、18、18。那么请同学们认真思考一下，要使这三个三位数尽可能的大，首先我们想一想各个数位上的数字之和是9的最大三位数应该是多少呢？生：621。师：对，要使得这个数尽可能的大，那么最高位百位必须取最大的数字，而十位和个位就只能取最小的数字，所以当十位和个位分别取1和2时，百位就只能取6，这样1+2+6=9，同学们用以上类似的方法能否得到各个数位数字之和为18的三位数呢？同样还是小组间相互探讨一下，告诉老师你们的想法与答案。（学生小组探讨，汇报结果）生：这两个三位数分别为954、873。师：大家说的非常正确，剩下的两个三位数只能由9、8、7、5、4、3组成，显然百位应尽可能大。六、总结 通过这节课的学习，你学到了什么？
