1、数学试题（第 1页 共 6页）准考证号姓名.（在此卷上答题无效）2023 年 5 月福州市高三毕业班质量检测数 学 试 题注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号第卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回第 卷一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，
2、共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的1.已知集合2,3,5,7,8A=，1,5,8,9Ba=，若3,5,8AB=I,则a=A2B3C6D72.在复平面内，复数1z对应的点位于第二象限，则复数z对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3.已知向量b在单位向量a上的投影向量为4 a，则（）abaA3B1C3D54.为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于贷款人的年收入x（单位：万元）的 Logistic 模型
3、：0.96800.9680e()1ekxkxP x已知当贷款人的年收入为 8 万元时，数学试题（第 2页 共 6页）其实际还款比例为 50%若银行希望实际还款比例为 40%，则贷款人的年收入为（精确到0.01 万元，参考数据：ln31.0986，ln20.6931）A4.65 万元B5.63 万元C6.40 万元D10.00 万元5.已知ABC的外接圆半径为1，3A，则coscosACCABBA12B1C32D36.“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一，登舟比赛的划手分为划左桨和划右桨某训练小组有 6 名划手，其中有 2 名只会划左桨，2 名只会划右桨，2 名既会划左桨又会划右桨现从这 6 名
4、划手中选派 4 名参加比赛，其中 2 名划左桨，2 名划右桨，则不同的选派方法共有A15 种B18 种C19 种D36 种7.已知 m，n 为异面直线，m平面，n平面若直线 lm，ln，l，l，则A/，l/B，lC与相交，且交线垂直于 lD与相交，且交线平行于 l8.已知0a，函数()()1ea xf x-=，()()222g xxaxb=-+若()()f xg x，则ba的取值范围是A2(,)e B,1 C1(,)2 D2(,0)e二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多分在每小题给出的四个选项中，有多项符合
5、题目要求全部选对的得项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9.已知互不相同的 9 个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下的 7 个数据与原 9 个数据相比，下列数字特征中不变的是A中位数B平均数C方差D第 40 百分位数10.已知椭圆 C：22pxqyr，其中 p，q，r成公比为 2 的等比数列，则AC 的长轴长为 2BC 的焦距为2 2CC 的离心率为22DC 与圆2231xy有 2 个公共点数学试题（第 3页 共 6页）11.如图，一个半径为3m 的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周已知盛水筒P离水面的最大距离为5.
6、2m，旋转一周需要 60s以P刚浮出水面时开始计算时间，P到水面的距离d(单位：m)(在水面下则d为负数)与时间t(单位：s)之间的关系为sin0,0,22dAtK A，0,60t，下列说法正确的是A2.2K B30C2.2sin3DP离水面的距离不小于3.7m 的时长为 20s12.已知函数()f x定义域为R，满足()()122f xf x+=，当11x-时，()f xx=若函数()yf x=的图象与函数121()(20232023)2xg xx的图象的交点为()()()1122,nnx yxyxyL，（其中 x表示不超过x的最大整数），则A()g x是偶函数B2024n=C10niix=
7、D10121011122niiy-=-第卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上13.已知变量 x 和 y 的统计数据如下表：x678910y3.54566.5若由表中数据得到经验回归直线方程为0.8yxa，则10 x 时的残差为（注：观测值减去预测值称为残差）14.写 出 经 过 抛 物 线28yx的 焦 点 且 和 圆2214xy相 切 的 一 条 直 线 的 方数学试题（第 4页 共 6页）程15.已知圆台上、下底面的圆周都在一个直径为 10 的球面上，其上、下底面半径分
8、别为 4和 5，则该圆台的侧面积为16.不等式1sin46xx+的解集为四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.（10 分）如图，直线12ll，线段DE与12,l l均垂直，垂足分别是,E D，点A在DE上，且1,2AEAD.,C B分别是12l l,上的动点，且满足3BAC设ABDx，ABC面积为 S x（1）写出函数解析式 S x；（2）求 S x的最小值18.（12 分）学校有 A，B 两家餐厅，周同学每天午餐选择其中一家餐厅用餐第 1 天午餐选择 A餐厅的概率是13，如果第 1 天去 A 餐厅，那么第 2 天去 A 餐厅的概率为35；如果
9、第 1 天去B 餐厅，那么第 2 天去 A 餐厅的概率为34（1）记周同学前两天去 A 餐厅的总天数为 X，求 X 的数学期望；（2）如果周同学第 2 天去 B 餐厅，那么第 1 天去哪个餐厅的可能性更大？请说明理由数学试题（第 5页 共 6页）19.（12 分）如图，四边形 A1ABB1是圆柱的轴截面，CC1是母线，点 D在线段 BC 上，直线 A1C/平面 AB1D（1）记三棱锥 B1-ABD 的体积为 V1，三棱锥 B1-ABC 的体积为 V2，证明：212VV；（2）若 CA=2，CB=4，直线 A1C 到平面 AB1D 的距离为43，求直线 CC1与平面 AB1D所成角的正弦值20.
10、（12 分）已知数列 na满足12211,1022nnnaaaaan（1）若1nnnbaa，求数列 nb的通项公式；（2）求使na取得最小值时n的值21.（12 分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右顶点为A，O为原点，点(1,1)P在C的渐近线上，PAO的面积为12（1）求C的方程；（2）过点P作直线l交C于,M N两点，过点N作x轴的垂线交直线AM于点G，H为NG的中点，证明：直线AH的斜率为定值22.（12 分）已知aR，函数()()11 exf xxa-=-（1）讨论()f x在(,)b上的单调性；（2）已知点(),P m m（i）若过点P可以作两条直线与曲线()1e1
11、13xyx-=+-相切，求 m 的取值范围；数学试题（第 6页 共 6页）（ii）设函数122e1,11,()ln(1)1,1e1exxh xxx 若曲线()yh x=上恰有三个点iT（1,2,3i=）使得直线iPT与该曲线相切于点iT，写出 m 的取值范围（无需证明）高二数学参考答案（第 1页 共 9页）质量抽测数学参考答案及评分细则评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该
12、部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4只给整数分数。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分1B2C3A4A5D6C7D8C二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分9AD10BC11ABD12BC三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分，共，共 20 分分130.1142x，3460 xy（写其中一条直线方程即可）159 10162,3四、解答题：本
13、大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分17【命题意图】本小题主要考查三角恒等变换、三角函数及其性质等基础知识；考查运算求解能力、数学建模能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养的关注；体现基础性和应用性，满分 10分【解答】（1）由ABDx，则0,3x，1 分因为6CAEx，2 分所以1cos6ACx，3 分2sinABx，4 分高二数学参考答案（第 2页 共 9页）所以13()sin232cossin6S xAC ABxx，0,3x.5 分（2）由（1），3312sincossin22S xxxx6 分331c
14、os2sin222xx 7 分2 32sin 216x8 分因为0,3x，52666x，所以2sin 216x的取值范围是0,1，9 分所以 S x的最小值为2 3，此时6x 10 分18【命题意图】本小题主要考查随机变量的分布列与期望、条件概率与全概率公式等知识；考查数学建模能力、运算求解能力、逻辑思维能力；考查统计与概率思想、分类与整合思想；导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建模、数学抽象、数据分析等核心素养的关注；体现综合性和应用性，满分 12 分【解答】设 Ai=“第 i 天去 A 餐厅用餐”（i=1,2），Bj=“第 j 天去 B 餐厅用餐”（j=1,2），1 分则 A1与 B1对立
15、，A2与 B2对立（1）依题意得，X=0,1,2 2 分 121211310|1(1)346P XP B BP BP BB，3 分 121212121211211)(|P XP ABB AP ABP B AP A P BAP BP AB，所以1313191(1)1353430P X，4 分 121211312|355P XP A AP A P AA，5 分则 X 的分布列为：X012P16193015所以119131012630530E X 6 分（2）由全概率公式，得 2121121|P BP A P BAP BP BB13233(1)(1)353410，8 分高二数学参考答案（第 3页 共
16、 9页）所以 121211222131|435|3910P ABP A P BAP A BP BP B，9 分所以121245|1|199P B BP A B ，10 分所以1212|P A BP B B，11 分所以如果周同学第 2 天去 B 餐厅，那么第 1 天去 B 餐厅的可能性更大12 分解法二：（1）同解法一.6 分（2）12121212()()(|)5315P ABP A P BA，8 分12211121()(|)()436P B BP BB P B，9 分所以1212()()P ABP B B，10 分因为12122()(|)()P ABP ABP B，12122()(|)()P
17、 B BP BBP B，所以1212(|)(|)P ABP BB，11 分所以如果周同学第 2 天去 B 餐厅，那么第 1 天去 B 餐厅的可能性更大12 分19【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识；考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；涉及的核心素养有直观想象、逻辑推理、数学运算等，体现基础性、综合性 满分 12 分【解答】（1）设圆柱的高 BB1=h，连接 A1B 交 AB1于点 E，连接 DE，1 分因为 A1C/平面 AB1D，平面 A1CB平面 AB1D=DE，A1C平面 A1CB，所以 A1C/
18、DE，3 分又因为 E 是 A1B 的中点，所以 D 是 BC 中点 4 分所以12ABDABCSS，所以21112233ABCABDVShShV 5 分（2）如图，分别以CB，CA，1CC 为 x，y，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Cxyz，则(0,2,0)A，(4,0,0)B，(2,0,0)D，1(4,0,)Bh，高二数学参考答案（第 4页 共 9页）所以1(4,2,)ABh，(2,2,0)AD，(2,0,0)CD 6 分设平面 AB1D 的一个法向量为111(,)x y zm，则11111420,220,xyhzxy取12z ，得(,2)h hm，8 分因为 A1C 到平面 AB1D
19、 的距离即点 C 到平面 AB1D 的距离，所以|4|3CDmm，即222434hhh，解得4h，9 分所以(4,4,2)m，因为1(0,0,2)CC ，所以111|2 21|cos,|3|62CCCCCC mmm，11 分所以直线 CC1与平面 AB1D 所成角的正弦值为1312 分解法二：（1）同解法一；5 分（2）如图，分别以CB，CA，1CC 为 x，y，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Cxyz，则(0,2,0)A，(4,0,0)B，(2,0,0)D，1(4,0,)Bh，所以1(4,2,)ABh，(2,2,0)AD，(2,0,0)CD 6 分设平面 AB1D 的一个法向量为111(,
20、)x y zm，则11111420,220,xyhzxy取12z ，得(,2)h hm，8 分因为 A1C 到平面 AB1D 的距离即点 C 到平面 AB1D 的距离，高二数学参考答案（第 5页 共 9页）所以|1|CDmm，即222434hhh，解得4h，9 分因为 CC1/BB1，所以直线 CC1与平面 AB1D 所成角与直线 BB1与平面所成角相等，设为10 分因为 D 是 BC 的中点，所以点 B 到平面 AB1D 的距离d与 C 到平面 AB1D 的距离相等，即43d 所以1413sin43dBB，所以直线 CC1与平面 AB1D 所成角的正弦值为1312 分20【命题意图】本小题主
21、要考查数列的通项、数列的单调性和最值、数列求和等基础知识；考查逻辑思维能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注；体现基础性、综合性和创新性，满分 12 分【解答】（1）依题意，10b，1 分1210nnbbn，2 分于是当2n时，111111210nniiinibbbbi2422101nn21110nn5 分即21110nbnn，又10b 也符合上式，所以21110nbnn 6 分（2）由（1）可知1110nnnbaann，7 分当29n时，0nb，即1nnaa，当11n时，0nb，即1nnaa，10 分当1n 或10时，
22、0nb，即1nnaa，11 分所以na取得最小值时10n 或11 12 分21【命题意图】本小题主要考查双曲线的标准方程和简单几何性质，直线与双曲线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑思维能力，空间想象能力和创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想；导向对发展直观想象，逻辑推理，高二数学参考答案（第 6页 共 9页）数学运算等核心素养的关注；体现综合性与创新性，满分 12 分【解答】（1）因为(1,1)P在C的渐近线byxa上，所以ab，1 分因为(,0)A a，所以PAO的面积为122a，2 分解得1a，所以1b，3 分所以C的方程为221xy.4 分（2）当直线
23、l的斜率不存在时，不符合题意，舍去；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为1(1)yk x，11(,)M x y，22(,)N xy，由221(1),1,yk xxy 得222(1)2(1)220kxkk xkk，5 分22224(1)4(1)(22)88kkkkkk，由210,0,k 得1k 且1k ，则1221kxxk，2122221kkx xk6 分直线AM的方程为11(1)1yyxx，令2xx，得1221(1)(,)1y xG xx，7 分因为H为NG的中点，所以12212(1)1(,)2y xyxH x，所以122112212(1)1121211AHy xyxyykxxx，8 分因为
24、1212121212(1)1(1)1112111111yyk xk xkxxxxxx，9 分又1212121221111()1xxxxx xxx10 分22221222111kkkkkkk22k，11 分所以1AHk，所以直线AH的斜率为定值12 分22.【命题意图】本小题主要考查导数及其应用、函数的单调性、零点等基础知识；考查运算求解能力、逻辑思维能力、空间想象能力和创新能力等；考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想；导向对发展数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注；体现综合性与创新性，满分 12 分高二数学参考答案（第 7页 共 9页）【解答】解法
25、一：（1）由1()()e,xfxxaxb，1 分当ab时，()0fx，故()f x在(,)b上单调递减；2 分当ab时，令()0fx，得xa=，故当(,)xa-时，()0fx，则()f x在(,)a-上单调递减；当(,)xa b时，()0fx，则()f x在(,)a b上单调递增4 分综上所述，当ab时，()f x在(,)a-上单调递减，在(,)a b上单调递增；当ab时，()f x在(,)b上单调递减（2）设切点为()11,Q x y，因为1exy，所以切线的斜率为11ex-；则切线方程为()1111exyyxx-=-，5 分因为切线经过(,)P m m，所以()11111(e1)exxmm
26、x-+=-，即()1111(1)e10 13xxmmx-+-=-，若过点P可以作两条直线与曲线()1e113xyx-=+-相切，则上述关于1x的方程至少有两个不等的实根令()1(1)e1xG xxmm-=-+-，13x，6 分由（1）取3b 可得，当3m时，()G x在(1,3)-上单调递减，故()G x在(1,3)-至多 1 个零点，不合题意，舍去；7 分当13m-+-解得2222e22e1e1e1m+-，此时过点P可以作两条直线与曲线()1e113xyx-=+-相切；9 分当1m-时，()G x在(1,3)-上单调递增，故()G x在(1,3)-至多 1 个零点，不合题意，舍去高二数学参考
27、答案（第 8页 共 9页）综上所述，m 的取值范围是2222e2 2e1,e1e1+-10 分（ii）m 的取值范围是2222e2 2e1,e1e1+-12 分解法二解法二：（1）同解法一；4 分（2）设切点为()11,Q x y，因为1exy，所以切线的斜率为11ex-；则切线方程为()1111exyyxx-=-，5 分因为切线经过(,)P m m，所以()11111(e1)e xxmmx-+=-，即()1111(1)e10 13xxmmx-+-=-，若过点P可以作两条直线与曲线()1e113xyx-=+-=，所以当(1,1)(1,3)x-U时，()0G x，所以()G x在(1,1)-单调递增，在(1,3)单调递增，8 分()G x图象如下图所示：因为e1(0)e1G，222e1(3)e1G，(0)(3)GG，高二数学参考答案（第 9页 共 9页）22e2(1)e1G，(2)1G，(1)(2)GG，所以当2222e22e1e1e1m+-时，关于x的方程()11e111exxxm-+=-在(1,1)(1,3)-U上有两个不等的实数根，此时过点P可以作两条直线与曲线()1e113xyx-=+-相切，所以 m 的取值范围是2222e2 2e1,e1e1+-10 分（ii）m 的取值范围是2222e2 2e1,e1e1+-12 分
