1、 2015 年全国高中数学联合竞赛年全国高中数学联合竞赛一试一试 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 8 分，满分分，满分 64 分分 1设ba,为不相等的实数，若二次函数baxxxf 2 )(满足)()(bfaf，则)2(f 2若实数满足tancos，则 4 cos sin 1 的值为 3已知复数数列 n z满足), 2 , 1(1, 1 11 nnizzz nn ，其中 i 为虚数单位， n z表示 n z的共轭复数，则 2015 z 4在矩形ABCD中，1, 2ADAB，边DC上（包含点 D、C）的动点P与CB延长线 上（包含点 B）的动点Q满足条件B
2、QDP ，则PQPA的最小值为 5在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 6 在平面直角坐标系 xOy 中， 点集 K=0)63)(63(),(yxyxyx所对应的平面 区域的面积为 7设为正实数，若存在实数)2(,baba，使得2sinsinba，则的取 值范围为 8对四位数abcd(9d,0 , 91cba，)，若,dccbba则称abcd为P类数； 若dccbba,，则称abcd为Q类数，用 N(P)和 N(Q)分别表示P类数与Q类数的个 数，则 N(P)-N(Q)的值为 二二、解答题、解答题：本大题共：本大题共 3 小题，满分小题，满分 56 分，解答应写出文字说明、证明过程或演
3、算步骤。分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9 （本题满分 16 分）若实数cba,满足 cbacba 424 ,242，求c的最小值 10 （本题满分 20 分）设 4321 ,aaaa为四个有理数，使得： 3 , 1 , 8 1 , 2 3 , 2,2441jiaa ji ，求 4321 aaaa的值 11 （本题满分 20 分）在平面坐标系 xOy 中， 21,F F分别为椭圆1 2 2 2 y x 的左右焦点， 设不经过焦点 1 F的直线l与椭圆交于两个不同的点BA,，焦点 2 F到直线l的距离为d，如 果 11 , BFlAF的斜率依次成等差数列，求d的取值范围 加试加试（
4、A 卷）卷） 1 （本题满分 40 分）设)2(, 21 naaa n 是实数，证明：可以选取1 , 1, 21 n ， 使得)(1()()( 1 22 1 2 1 n i ii n i i n i i anaa 2 （本题满分 40 分）设, 21n AAAS 其中 n AAA, 21 是n个互不相同的有限集合 )2( n，满足对任意的SAA ji ,，均有SAA ji ，若2min 1 i ni Ak，证明：存在 i n i Ax 1 ，使得x属于 n AAA, 21 中的至少 k n 个集合 3 （本题满分 50 分）如图，ABC内接于圆O，P为BC弧上一 点，点K在AP上，使得BK平分ABC，过CPK,三点的圆 与边AC交于D，连接BD交圆于E，连接PE，延长交AB于 F，证明：FCBABC2 4 （本题满分 50 分）求具有下述性质的所有正整数k：对任意正整数n都有 1)1( 2 nk 不整除 ! )!( n kn
