1、 2014 年全国高中数学联合竞赛一试（年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）卷） 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 8 分，共计分，共计 64 分分 1.若正数ba,满足)(loglog3log2 432 baba，则 ba 11 的值为 2.设集合 21 | 3 bab a 中的最大元素与最小元素分别为mM,，则mM 的值为 3.若函数| 1|)( 2 xaxxf在, 0上单调递增，则实数a的取值范围是 4.数列 n a满足),( 1 )2(2 , 2 11 Nna n n aa nn 则 201321 2014 aaa a 5.正四棱锥ABCDP中，侧
2、面是边长为 1 的正三角形，NM,分别是边BCAB,的中点，则异面直线MN 与PC之间的距离是 6.设椭圆的两个焦点是 21,F F，过点 1 F的直线与交于点QP,.若| 212 FFPF 且|4|3 11 QFPF ,则 椭圆的短轴与长轴的比值为 7.设等边三角形ABC的内切圆半径为 2,圆心为I.若点P满足1PI,则APB与APC的面积之比的最 大值为 8.设DCBA,是空间四个不共面的点,以 2 1 的概率在每对点之间的连一条边,任意两对点之间是否连边是相 互独立的,则BA,可用(一条边或者若干条边组成的)空间折线连接的概率为 二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分。解答应写出文
3、字说明、证明过程或演算步骤。 9.（本题满分 16 分）平面直角坐标系xoy中，P是不在x轴上的一个动点，满足条件：过P可作抛物线 xy4 2 的两条切线，两切点连线 p l与PO垂直。设直线 p l与直线PO，x轴的交点分别为RQ,。 （1）证明R是一个定点； （2）求 | | QR PQ 的最小值。 10.（本题满分 20 分）数列 n a满足).)(arctan(sec, 6 11 Nnaaa nn .求正整数m,使得 . 100 1 sinsinsin 21 n aaa 11.（本题满分 20 分）确定所有的复数c,使得对任意复数),. 1| |,(|, 212121 zzzzzz均有
4、 2 2 21 2 1 )()(zcczzccz 加加 试试 一、 （本题满分 40 分）设实数cba,满足1cba，0abc，求证：. 4 1 2 abc cabcab 二、（本题满分 40 分）如图，在锐角三角形ABC中，,60BAC过点CB,分别作三角形ABC的外接 圆的切线CEBD,， 且满足BCCEBD， 直线DE与ACAB,的延长线分别交于点GF,。 设CF与BD 交于点M，CE与BG交于点N。证明：.ANAM 三、（本题满分 50 分）设100, 2 , 1S,求最大的整数k,使得S有k个互不相同的非空子集,具有性质: 对这k个子集中任意两个不同子集,若它们的交非空,则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素 均不相同. 四、（本题满分 50 分）设整数 201421 ,xxx模 2014 互不同余,整数 201421 ,yyy模 2014 也互不同余.证 明:可将 201421 ,yyy重新排列为 201421 ,zzz,使得 201420142211 ,zxzxzx模 4028 互不同余.
