1、 20202020 年中考数学必考经典题讲练案年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】【苏科版】 专题专题 0303 一一元元二次方程的解法与应用二次方程的解法与应用 【方法指导】【方法指导】 1. 一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解 也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根 2.一元二次方程的解法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法 用配方法解一元二次方程的步骤： 把原方程化为 ax 2+bx+c=0（a0）的形式； 方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为 1，并把常数项移到方
2、程右边； 方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； 如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方 程无实数解 3. 一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a0）的根与=b2-4ac 有如下关系： 当0 时，方程有两个不相等的两个实数根； 当=0 时，方程有两个相等的两个实数根； 当0 时，方程无实数根上面的结论反过来也成立 4. x1，x2是一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a0）的两根时， 1212 , bc xxxx aa 5. 列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为 a，十
3、位数是 b，则这个两位数表示为 10b+a （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量100%如：若原数是 a，每次增长的百分率为 x，则第一次 增长后为 a（1+x） ；第二次增长后为 a（1+x） 2，即 原数（1+增长百分率）2=后来数 （3）形积问题：利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长利用三角形、矩形、菱形、 梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程利用相似三角形的对应比例关系， 列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程 （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形， 可运用直角三角形的性
4、质列方程求解 【题型剖析】【题型剖析】 【类型【类型 1 1】一元二次方程的解法一元二次方程的解法 【例 1】 （2019徐州二模）解方程：2x24x60 【分析】先除以 2，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 【解析】2x24x60， x22x30， （x3） （x+1）0， x30，x+10， x13，x21； 【方法小结】 本题考查了解一元二次方程和解不等式组， 能把一元二次方程转化成一元一次方程是解 （1） 的关键，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解（2）的关键 【变式 1-1】 （2019鼓楼区二模）方程 x（x3）0 的解是（ ） A0 B3 C0，3
5、D0，3 【分析】根据已知方程得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解析】x（x3）0， x0，x30， 解得：x0 或 3， 故选：C 【变式 1-2】 （2019怀集县一模）关于 x 的一元二次方程（a1）x2+x+a210 的一个根是 0，则 a 的值为 （ ） A1 B1 C1 或1 D 【分析】根据方程的解的定义，把 x0 代入方程，即可得到关于 a 的方程，再根据一元二次方程的定义 即可求解 【解析】根据题意得：a210 且 a10， 解得：a1 故选：B 【变式 1-3】 （2019路北区二模）用配方法解一元二次方程 x2+4x50，此方程可变形为（ ） A （x+2）29
6、B （x2）29 C （x+2）21 D （x2）21 【分析】移项后配方，再根据完全平方公式求出即可 【解析】x2+4x50， x2+4x5， x2+4x+225+22， （x+2）29， 故选：A 【类型【类型 2 2】 ：】 ：一元二次方程的判别式一元二次方程的判别式 【例 2】 （2019高邮市二模）已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+2n0其中 m、n 是常数 （1）若 mn+3，试判断该一元二次方程根的情况； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，写出一组 m、n 的值，并求此时方程的根 【分析】 （1）计算判别式的值得到m28n，把 mn+3 代入得n22n+9，利用配
7、方法得到 （n1）2+80，然后根据判别式的意义可判断根的情况； （2）由于m28n0，可令 n0，则 m0，方程变形为 x20，然后解方程即可 【解析】 （1）m242nm28n， 而 mn+3， 所以（n+3）28nn22n+9（n1）2+80， 所以该一元二次方程有两个不相等的实数解； （2）根据题意得m28n0， 令 n0，则 m0， 方程变形为 x20， 所以 x1x20 【方法小结】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关 系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当0 时，方程有两个相等的两个实数根；当 0 时，方程无实数根 【变
8、式 2-1】 （2019洪泽区二模）要关于 x 的一元二次方程 mx2+2x+10 有两个不相等的实数根，那么 m 的 值可以是（ ） A2 B1 C0 D1 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 m0 且224m0，然后求出两个不等式的 公共部分即可 【解析】根据题意得 m0 且224m0， 解得 m1 且 m0 故选：D 【变式 2-2】 （2019常熟市二模）如果方程 x2x+m0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（ ） Am Bm Cm Dm 【分析】关于 x 的方程 x2x+m0 有两个不相等的实数根，即判别式b24ac0，即可得到关于 m 的不等式，从而求得
9、m 的范围 【解析】a1，b1，cm， b24ac（1）241m14m0， 解得：m 故选：C 【变式 2-3】 （2019铜山区二模）关于 x 的一元二次方程（k+1）x22x10 有两个实数根，则 k 的取值 范围是（ ） Ak2 Bk2 Ck2 且 k1 Dk2 且 k1 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k+10 且（2）24（k+1）（1）0， 然后求出两不等式的公共部分即可 【解析】根据题意得 k+10 且（2）24（k+1）（1）0， 解得 k2 且 k1 故选：C 【类型【类型 3 3】 ：】 ：根与系数的关系根与系数的关系 【例 3】 （2019海陵区二模）已
10、知关于 x 的一元二次方程 2x2+（m2）xm0 （1）求证：不论 m 取何值，方程总有实数根； （2）若该方程的两根互为相反数，求 m 的值 【分析】 （1）表示出根的判别式，判断值大于等于 0，即可得证； （2）根据题意表示出两个之和，令其中为 0，求出 m 的值即可 【解析】 （1）（m2）2+8m（m+2）20， 方程总有实数根； （2）由求根公式得 x11，x2， 由题得：10， 解得：m2 【方法小结】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，弄清根与系数的关系是解本题的关键 【变式 3-1】 （2019宿迁模拟）设 ， 是方程 x2x20190 的两个实数根，则 2+ 的值为
11、【分析】根据根与系数的关系即可求出答案 【解析】由题意可知：+1， 且 2+2019， 2+2019 1+2019 2020， 故答案为：2020 【变式 3-2】 （2019建湖县二模）已知关于 x 方程 x26x+m+40 有两个实数根 x1，x2 （1）求 m 的取值范围； （2）若 x12x2，求 m 的值 【分析】 （1）根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得 出 m 的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出 x1+x26，x1x2m+4，结合 x12x2可求出 x1，x2的值，再将其代入 x1x2m+4 中可求出 m 的值 【解析】 （1
12、）关于 x 方程 x26x+m+40 有两个实数根， （6）241（m+4）0， 解得：m5 （2）关于 x 方程 x26x+m+40 有两个实数根 x1，x2， x1+x26，x1x2m+4 又x12x2， x22，x14， 42m+4， 【变式 3-3】 （2019兴化市二模）已知关于 x 的一元二次方程 x2（m+2）x+2m0 （1）求证：不论 m 为何值，该方程总有两个实数根； （2）若直角ABC 的两直角边 AB、AC 的长是该方程的两个实数根，斜边 BC 的长为 3，求 m 的值 【分析】 （1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论； （2）根据勾股定理和一元二次
13、方程根的判别式解方程即可得到结论 【解答】 （1）证明：（m+2）242m（m2）20， 不论 m 为何值，该方程总有两个实数根； （2）解：AB、AC 的长是该方程的两个实数根， AB+ACm+2，ABAC2m， ABC 是直角三角形， AB2+AC2BC2， （AB+AC）22ABACBC2， 即（m+2）222m32， 解得：m， m 的值是 又ABAC2m，m 为正数， m 的值是 【类型【类型 4 4】 ：一元二次方程的应用】 ：一元二次方程的应用 【例 4】 （2019秦淮区二模）某商店第一个月以每件 100 元的价格购进 200 件衬衫，以每件 150 元的价格售 罄由于市场火爆
14、，该商店第二个月再次购进一批衬衫，与第一批衬衫相比，这批衬衫的进价和数量都 有一定的提高，其数量的增长率是进价增长率的 2.5 倍，该批衬衫仍以每件 150 元销售第二个月结束 后，商店对剩余的 50 件衬衫以每件 120 元的价格一次性清仓销售，商店出售这两批衬衫共盈利 17500 元设第二批衬衫进价的增长率为 x （1）第二批衬衫进价为 元，购进的数量为 件 （都用含 x 的代数式表示，不需化简） （2）求 x 的值 【分析】 （1）根据“购进二批衬衫数量的增长率是进价增长率的 2.5 倍”解答； （2）根据销售收入成本利润，即可得出关于 x 的一元一次方程，解方程即可 【解析】 （1）依
15、题意得： 第二批衬衫进价为 100（1+x）元，购进的数量为 200（1+2.5x）件 故答案是：100（1+x） ，200（1+2.5x） ； （2）根据题意，得 200（150100）+150100（1+x）200（1+2.5x）50+50120100（1+x）17500 化简，得 50x25x10 解这个方程，得 x1，x2（不合题意，舍去） 所以 x 的值是 20% 【方法小结】考查了一元二次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出 合适的等量关系，列出方程，再求解 【变式 4-1】 （2019丹阳市一模）随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加据
16、统计， 某小区 2016 年底拥有家庭轿车 640 辆，2018 年底家庭轿车的拥有量达到 1000 辆若该小区 2016 年底 到 2019 年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到 2019 年底家庭轿车将达到多少辆？ 【分析】设家庭轿车拥有量的年平均增长率为 x，则增长 2 次以后的车辆数是 640（1+x）2，列出一元二 次方程的解题即可 【解析】设家庭轿车拥有量的年平均增长率为 x， 则 640（1+x）21000 解得 x0.2525%，或 x2.25（不合题意，舍去） 1000（1+25%）1250 答：该小区到 2019 年底家庭轿车将达到 1250 辆 【方法小结】
17、本题考查了一元二次方程的应用增长率问题：若原数是 a，每次增长的百分率为 x，则第 一次增长后为 a（1+x） ；第二次增长后为 a（1+x）2，即 原数（1+增长百分率）2后来数 【变式 4-2】 （2019泰州一模）某市特产大闸蟹，2016 年的销售额是 50 亿元，因优质生态，销售额是逐年 增加，2018 年的销售额达 98 亿元，若 2017、2018 年每年销售额增加的百分率都相同 （1）求平均每年销售额增加的百分率； （2）某市这 3 年大闸蟹的总销售额是多少亿元？ 【分析】 （1）增长率问题，一般用增长后的量增长前的量（1+增长率） ，参照本题，如果设平均增长 率为 x，根据“2
18、018 年的销售额达 98 亿元” ，即可得出方程 （2） 利用 （1） 中求得的增长率得到： 2017 年的销售额是： 50 （1+0.4） 70， 所以 3 年总销售额为： 50+70+98 218 【解析】 （1）设平均每年增加的百分率为 x， 根据题意得：50（1+x）298， 解得：x10.4，x22.4（不符合题意，舍去） ， 答：平均每年销售额增加的百分率为 40% （2）2017 年的销售额是：50（1+0.4）70 所以 3 年总销售额为：50+70+98218（亿元） 答：某市这 3 年大闸蟹的总销售额是 218 亿元 【方法小结】本题考查一元二次方程的应用关于平均增长率问
19、题，可设变化前的量为 a，变化后的量 为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x）2b 【变式 4-3】 （2019台安县一模）某商店经销甲、乙两种商品现有如下信息： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的零售单价分别为 元和 元 （直接写出答案） （2）该商店平均每天卖出甲商品 500 件和乙商品 1200 件经调查发现，甲种商品零售单价每降 0.1 元， 甲种商品每天可多销售 100 件为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲种商品的零售单价下降 m（m 0）元在不考虑其他因素的条件下，当 m 定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的 利润共
20、1700 元？ 【分析】 （1）根据图上信息可以得出甲乙商品之间价格之间的等量关系，即可得出方程组求出即可； （2）根据降价后甲每天卖出： （500100）件，每件降价后每件利润为： （1m）元；即可得出总 利润，利用一元二次方程解法求出即可 【解析】 （1）假设甲、乙两种商品的进货单价各为 x，y 元， 根据题意得：， 解得：， 甲、乙零售单价分别为 2 元和 3 元； 故答案为：2，3； （2）根据题意得出： 即 2m2m0， 解得 m0.5 或 m0（舍去） ， 答：当 m 定为 0.5 元才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共 1700 元 【变式 4-4】 （2019宿迁三模）
21、如图，在矩形 ABCD 中，AB6cm，BC12cm，点 P 从点 B 出发沿线段 BC、 CD 以 2cm/s 的速度向终点 D 运动；同时，点 Q 从点 C 出发沿线段 CD、DA 以 1cm/s 的速度向终点 A 运 动（P、Q 两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止） （1）运动停止后，哪一点先到终点？另一点离终点还有多远？ （2）在运动过程中，APQ 的面积能否等于 22cm2？若能，需运动多长时间？若不能，请说明理由 【分析】 （1）根据题意可以分别计算出两个点运动到终点的时间，从而可以解答本题； （2）先判断，然后计算出相应的时间即可解答本题 【解析】 （1）点 P 从
22、开始到运动停止用的时间为： （12+6）29s， 点 Q 从开始到运动停止用的时间为： （6+12）118s， 918，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止， 点 P 先到终点，此时点 Q 离终点的距离是： （6+12）199cm， 答：点 P 先到终点，此时点 Q 离终点的距离是 9cm； （2）在运动过程中，APQ 的面积能等于 22cm2， 当 P 从点 B 运动到点 C 的过程中，设点 P 运动时间为 as， APQ 的面积能否等于 22cm2， 12622， 解得，此方程无解； 当点 P 从 C 到 D 的过程中，设点 P 运动的时间为（b+6）s， APQ 的面积能否等于 22
23、cm2， 12622， 解得，b11，b214（舍去） ， 即需运动 6+17s，APQ 的面积能等于 22cm2 【方法小结】本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程 的知识解答，注意要巧设未知数，这样可以使问题简单化 【达标检测】【达标检测】 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1 （2019南通）用配方法解方程 x2+8x+90，变形后的结果正确的是（ ） A （x+4）29 B （x+4）27 C （x+4）225 D （x+4）27 【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果 【解答】解：方程 x2+8x+90，整理得：x2+8
24、x9， 配方得：x2+8x+167，即（x+4）27， 故选：D 2 （2019淮安）若关于 x 的一元二次方程 x2+2xk0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ） Ak1 Bk1 Ck1 Dk1 【分析】直接利用根的判别式进而得出 k 的取值范围 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+2xk0 有两个不相等的实数根， b24ac441（k） 4+4k0， k1 故选：B 3 （2019泰州）方程 2x2+6x10 的两根为 x1、x2，则 x1+x2等于（ ） A6 B6 C3 D3 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案 【解答】解：由于0， x1+x23， 故选：C
25、4 （2019威海）已知 a，b 是方程 x2+x30 的两个实数根，则 a2b+2019 的值是（ ） A2023 B2021 C2020 D2019 【分析】 根据题意可知 b3b2， a+b1， ab3， 所求式子化为 a2b+2019a23+b2+2019 （a+b） 22ab+2016 即可求解； 【解答】解：a，b 是方程 x2+x30 的两个实数根， b3b2，a+b1，ab3， a2b+2019a23+b2+2019（a+b）22ab+20161+6+20162023； 故选：A 5 （2019宜宾）一元二次方程 x22x+b0 的两根分别为 x1和 x2，则 x1+x2为（
26、） A2 Bb C2 Db 【分析】根据“一元二次方程 x22x+b0 的两根分别为 x1和 x2” ，结合根与系数的关系，即可得到答 案 【解答】解：根据题意得： x1+x22， 故选：C 6 （2019盐城）关于 x 的一元二次方程 x2+kx20（k 为实数）根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D不能确定 【分析】利用一元二次方程的根的判别式即可求 【解答】解： 由根的判别式得，b24ack2+80 故有两个不相等的实数根 故选：A 7 （2019滨州）用配方法解一元二次方程 x24x+10 时，下列变形正确的是（ ） A （x2）21 B （x
27、2）25 C （x+2）23 D （x2）23 【分析】移项，配方，即可得出选项 【解答】解：x24x+10， x24x1， x24x+41+4， （x2）23， 故选：D 8 （2019金华）用配方法解方程 x26x80 时，配方结果正确的是（ ） A （x3）217 B （x3）214 C （x6）244 D （x3）21 【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果 【解答】解：用配方法解方程 x26x80 时，配方结果为（x3）217， 故选：A 二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题） 9若关于 x 的一元二次方程 ax28x+40 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是 a
28、4 且 a0 【分析】根据根的判别式即可求出答案 【解答】解：由题意可知：6416a0， a4， a0， a4 且 a0， 故答案为：a4 且 a0 10 （2019青海） 某种药品原价每盒 60 元， 由于医疗政策改革， 价格经过两次下调后现在售价每盒 48.6 元， 则平均每次下调的百分率为 【分析】设平均每次降价的百分比是 x，则第一次降价后的价格为 60（1x）元，第二次降价后的价 格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为 60（1x）（1x）元，从而列出方程，然后求解即 可 【解答】解：设平均每次降价的百分比是 x，根据题意得： 60（1x）248.6， 解得：x10.110%，x2
29、1.9（不合题意，舍去） ， 答：平均每次降价的百分比是 10%； 故答案为：10% 11 （2019镇江）若关于 x 的方程 x22x+m0 有两个相等的实数根，则实数 m 的值等于 【分析】利用判别式的意义得到（2）24m0，然后解关于 m 的方程即可 【解答】解：根据题意得（2）24m0， 解得 m1 故答案为 1 12 （2019泰州）若关于 x 的方程 x2+2x+m0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 【分析】利用判别式的意义得到224m0，然后解关于 m 的不等式即可 【解答】解：根据题意得224m0， 解得 m1 故答案为 m1 13 （2019江西）设 x1，x2是
30、一元二次方程 x2x10 的两根，则 x1+x2+x1x2 【分析】直接根据根与系数的关系求解 【解答】解：x1、x2是方程 x2x10 的两根， x1+x21，x1x21， x1+x2+x1x2110 14 （2019南京）已知 2是关于 x 的方程 x24x+m0 的一个根，则 m 【分析】把 x2代入方程得到关于 m 的方程，然后解关于 m 的方程即可 【解答】解：把 x2代入方程得（2）24（2）+m0， 解得 m1 故答案为 1 15 （2019盐城）设 x1、x2是方程 x23x+20 的两个根，则 x1+x2x1x2 【分析】由韦达定理可知 x1+x23，x1x22，代入计算即可
31、； 【解答】解：x1、x2是方程 x23x+20 的两个根， x1+x23，x1x22， x1+x2x1x2321； 故答案为 1； 16（2019连云港） 已知关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+2c0 有两个相等的实数根， 则c 的值等于 【分析】根据“关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+2c0 有两个相等的实数根” ，结合根的判别式公式， 得到关于 a 和 c 的等式，整理后即可得到的答案 【解答】解：根据题意得： 44a（2c）0， 整理得：4ac8a4， 4a（c2）4， 方程 ax2+2x+2c0 是一元二次方程， a0， 等式两边同时除以 4a 得：c2， 则c2， 故答
32、案为：2 17 （2019泰安）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k1）x+k2+30 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得（2k1）24（k2+3）0，求出 k 的取值范围； 【解答】解：原方程有两个不相等的实数根， （2k1）24（k2+3）4k+1120， 解得 k； 故答案为：k 18 （2019扬州）一元二次方程 x（x2）x2 的根是 【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解：x（x2）x2， x（x2）（x2）0， （x2） （x1）0， x20，x10， x12，x21， 故答案为：x
33、12，x21 三解答题（共三解答题（共 6 小题）小题） 19 （2019衡阳）关于 x 的一元二次方程 x23x+k0 有实数根 （1）求 k 的取值范围； （2）如果 k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m1）x2+x+m30 与方程 x23x+k0 有一 个相同的根，求此时 m 的值 【分析】 （1）利用判别式的意义得到（3）24k0，然后解不等式即可； （2）利用（1）中的结论得到 k 的最大整数为 2，解方程 x23x+20 解得 x11，x22，把 x1 和 x 2 分别代入一元二次方程（m1）x2+x+m30 求出对应的 m，同时满足 m10 【解答】解： （1）根据题意得
34、（3）24k0， 解得 k； （2）k 的最大整数为 2， 方程 x23x+k0 变形为 x23x+20，解得 x11，x22， 一元二次方程（m1）x2+x+m30 与方程 x23x+k0 有一个相同的根， 当 x1 时，m1+1+m30，解得 m； 当 x2 时，4（m1）+2+m30，解得 m1， 而 m10， m 的值为 20 （2019徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长 30cm，宽 20cm在其四角各剪去一个同样的正方形，然后 将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的 侧面积为 200cm2？ 【分析】设剪去正方形的边长为 xcm，则做
35、成无盖长方体盒子的底面长为（302x）cm，宽为（202x） cm，高为 xcm，根据长方体盒子的侧面积为 200cm2，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较小值 即可得出结论 【解答】解：设剪去正方形的边长为 xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（302x）cm，宽为（20 2x）cm，高为 xcm， 依题意，得：2（302x）+（202x）x200， 整理，得：2x225x+500， 解得：x1，x210 当 x10 时，202x0，不合题意，舍去 答：当剪去正方形的边长为 cm 时，所得长方体盒子的侧面积为 200cm2 21 （2019南京）某地计划对矩形广场进行扩建改造如图
36、，原广场长 50m，宽 40m，要求扩充后的矩形 广场长与宽的比为 3：2扩充区域的扩建费用每平方米 30 元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖， 铺设地砖费用每平方米 100 元如果计划总费用 642000 元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？ 【分析】设扩充后广场的长为 3xm，宽为 2xm，根据矩形的面积公式和总价单价数量列出方程并解 答 【解答】解：设扩充后广场的长为 3xm，宽为 2xm， 依题意得：3x2x100+30（3x2x5040）642000 解得 x130，x230（舍去） 所以 3x90，2x60， 答：扩充后广场的长为 90m，宽为 60m 22 （2019广州）
37、 随着粤港澳大湾区建设的加速推进， 广东省正加速布局以 5G 等为代表的战略性新兴产业， 据统计， 目前广东 5G 基站的数量约 1.5 万座， 计划到 2020 年底， 全省 5G 基站数是目前的 4 倍， 到 2022 年底，全省 5G 基站数量将达到 17.34 万座 （1）计划到 2020 年底，全省 5G 基站的数量是多少万座？ （2）按照计划，求 2020 年底到 2022 年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率 【分析】 （1）2020 年全省 5G 基站的数量目前广东 5G 基站的数量4，即可求出结论； （2）设 2020 年底到 2022 年底，全省 5G 基站数量的年平均
38、增长率为 x，根据 2020 年底及 2022 年底全 省 5G 基站数量，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【解答】解： （1）1.546（万座） 答：计划到 2020 年底，全省 5G 基站的数量是 6 万座 （2）设 2020 年底到 2022 年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率为 x， 依题意，得：6（1+x）217.34， 解得：x10.770%，x22.7（舍去） 答：2020 年底到 2022 年底，全省 5G 基站数量的年平均增长率为 70% 23（2019秦淮区二模） 某商店第一个月以每件 100 元的价格购进 200 件衬衫， 以每件 150
39、 元的价格售罄 由 于市场火爆，该商店第二个月再次购进一批衬衫，与第一批衬衫相比，这批衬衫的进价和数量都有一定 的提高，其数量的增长率是进价增长率的 2.5 倍，该批衬衫仍以每件 150 元销售第二个月结束后，商 店对剩余的 50 件衬衫以每件 120 元的价格一次性清仓销售，商店出售这两批衬衫共盈利 17500 元设第 二批衬衫进价的增长率为 x （1）第二批衬衫进价为 100（1+x） 元，购进的数量为 200（1+2.5x） 件 （都用含 x 的代数式表 示，不需化简） （2）求 x 的值 【分析】 （1）根据“购进二批衬衫数量的增长率是进价增长率的 2.5 倍”解答； （2）根据销售收
40、入成本利润，即可得出关于 x 的一元一次方程，解方程即可 【解答】解： （1）依题意得： 第二批衬衫进价为 100（1+x）元，购进的数量为 200（1+2.5x）件 故答案是：100（1+x） ，200（1+2.5x） ； （2）根据题意，得 200（150100）+150100（1+x）200（1+2.5x）50+50120100（1+x）17500 化简，得 50x25x10 解这个方程，得 x1，x2（不合题意，舍去） 所以 x 的值是 20% 24 （2019南昌一模）淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活 动甲网店销售的 A 商品的成本为 30 元
41、/件，网上标价为 80 元/件 （1） “双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售 A 商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多 少时，才能使 A 商品的售价为 39.2 元/件？ （2） 据媒体爆料， 有一些淘宝商家在 “双十一” 购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动， 存在欺诈行为 “双十一”活动之前，乙网店销售 A 商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出 1000 件 A 商品在“双十一”购物活动当天，乙网店先将 A 商品的网上标价提高 a%，再推出五折促销 活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的 A 商品数量相比原来一周增加了 2a%， “双十一
42、”活动当天乙网店的利润达到了 3 万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价 【分析】 （1）设平均每次降价率为 x，才能使这件 A 商品的售价为 39.2 元，根据原标价及经过两次降价 后的价格，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据总利润每件的利润销售数量，即可得出关于 a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出 a 的值，再将其代入 80（1+a%）中即可求出结论 【解答】解： （1）设平均每次降价率为 x，才能使这件 A 商品的售价为 39.2 元， 根据题意得：80（1x）239.2， 解得：x10.330%，x21.7（不合题意，舍去） 答：平均每次降价率为 30%，才能使这件 A 商品的售价为 39.2 元 （2）根据题意得：0.580（1+a%）301000（1+2a%）30000， 整理得：a2+75a25000， 解得：a125，a2100（不合题意，舍去） ， 80（1+a%）80（1+25%）100 答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为 100 元
