1、 20202020 年中考数学必考经典题讲练案年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】【苏科版】 专题专题 1919 有关几何最值存在型压轴问题有关几何最值存在型压轴问题 【方法指导】【方法指导】 本专题原创编写的是几何最值问题，涉及到的有三角形中的几何最值、四边形中的几何最值、圆中的几 何最值.在中考压轴题中，单动点形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和 选择正确的解题方法中考中，此类问题常考的模型和借助的方法有：两点之间线段最短、垂线段最短、 将军饮马、胡不归模型、翻折、对称、点到圆的举例、函数最值等. 【题型剖析】【题型剖析】 【类型【类型 1 1】三角形中的几何最
2、值问题三角形中的几何最值问题 【例 1】如图，在ABC 中，ABC60，BC6，CD 是ABC 的一条高线若 E，F 分别是 CD 和 BC 上的动点，则 BE+EF 的最小值是（ ） A6 B3 C3 D3 【分析】作 B 关于 CD 的对称点 B，过 B作 BFBC 于 F 交 CD 于 E，则 BF 的长度即为 BE+EF 的最小值，根据直角三角形的性质得到 BDCD，根据已知条件得到 BBBC，推出CDBBB F，于是得到 BFCDBC3 【解析】解：作 B 关于 CD 的对称点 B，过 B作 BFBC 于 F 交 CD 于 E， 则 BF 的长度即为 BE+EF 的最小值， ABC6
3、0，CDAB， BCD30， BDCD， BDBB， BBBC， 在CDB 与BFB 中， ， CDBBBF， BFCDBC3 故选：C 【变式 1-1】如图：等腰ABC 的底边 BC 长为 6，面积是 18，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 边 于 E，F 点若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则CDM 周长的最小值为（ ） A6 B8 C9 D10 【分析】连接 AD，AM，由于ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，故 ADBC，再根据三角形 的面积公式求出 AD 的长， 再根据 EF 是线段 AC 的垂直平分线可知， 点 A 关于直线
4、 EF 的对称点为点 C， MAMC，推出 MC+DMMA+DMAD， 故 AD 的长为 BM+MD 的最小值，由此即可得出结论 【解析】解：连接 AD，MA ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点， ADBC， SABCBCAD6AD18，解得 AD6， EF 是线段 AC 的垂直平分线， 点 A 关于直线 EF 的对称点为点 C，MAMC， MC+DMMA+DMAD， AD 的长为 CM+MD 的最小值， CDM 的周长最短（CM+MD）+CDADBC666+39 故选：C 【变式 1-2】如图所示，已知 RtABC 中，B90，AB3，BC4，D，E，F 分别是三边 AB，BC
5、， CA 上的点，则 DE+EF+FD 的最小值为（ ） A B C5 D6 【分析】作 F 关于 AB、BC 的对称点 F、F，作 AC 关于 AB、BC 的对称线段，可以发现 F，F 是一个菱形对边上的关于中心 B 对称的对称点容易发现，FF的最短距离就是菱形对边的距离，也 就是菱形的高根据菱形的性质即可求出 DE+EF+FD 的最小值 【解析】解：作 F 关于 AB、BC 的对称点 F、F 则 FDFD，FEFE DE+EF+FDDE+FD+FE 两点之间线段最短，可知当 F 固定时，DE+FD+FE 的最小值就是线段 FF的长 于是问题转化：F 运动时，FF什么时候最短 F，F是关于
6、B 点对称的 作 AC 关于 AB、BC 的对称线段，可以发现 F，F是一个菱形对边上的关于中心 B 对称的对称点 很容易发现，FF的最短距离就是菱形对边的距离，也就是菱形的高 5x x，高是， 故 DE+EF+FD 的最小值为， 此时 F 在斜边上的高的垂足点，D、E 在 B 点故选：B 【变式 1-3】如图，AOB，点 P 是AOB 内的一定点，点 M、N 分别在 OA、OB 上移动，当PMN 的周长最小时，MPN 的值为（ ） A90+ B90 C180 D1802 【分析】分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P2，连接 P1、P2，交 OA 于 M，交 OB 于 N，PMN
7、 的周长最小值等于 P1P2的长，然后依据等腰OP1P2中，OP1P2+OP2P11802，即可得出 MPNOPM+OPNOP1M+OP2N1802 【解析】解：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P2，连接 P1、P2，交 OA 于 M，交 OB 于 N，则 OP1OPOP2，OP1MMPO，NPONP2O， 根据轴对称的性质可得 MPP1M，PNP2N， PMN 的周长的最小值P1P2， 由轴对称的性质可得P1OP22AOB2， 等腰OP1P2中，OP1P2+OP2P11802， MPNOPM+OPNOP1M+OP2NOP1P2+OP2P11802， 故选：D 【类型【类型 2
8、 2】 ：】 ：四边形中的几何最四边形中的几何最值值 【例 2】如图，在矩形 ABCD 中，AB6，AD3，动点 P 满足 SPABS矩形ABCD，则点 P 到 A、B 两点距 离之和 PA+PB 的最小值为（ ） A2 B2 C3 D 【分析】先由 SPABS矩形ABCD，得出动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上，作 A 关于 直线 l 的对称点 E，连接 AE，BE，则 BE 的长就是所求的最短距离然后在直角三角形 ABE 中，由勾股 定理求得 BE 的值，即可得到 PA+PB 的最小值 【解析】解：设ABP 中 AB 边上的高是 h SPABS矩形ABCD，
9、 ABhABAD， hAD2， 动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上， 如图，作 A 关于直线 l 的对称点 E，连接 AE，BE，则 BE 的长就是所求的最短距离 在 RtABE 中，AB6，AE2+24， BE2， 即 PA+PB 的最小值为 2 故选：A 【变式 2-1】如图，在菱形 ABCD 中，AC6，BD6，E 是 BC 边的中点，P，M 分别是 AC，AB 上的动 点，连接 PE，PM，则 PE+PM 的最小值是（ ） A6 B3 C2 D4.5 【分析】 作点 E 关于 AC 的对称点 E， 过点 E作 EMAB 于点 M， 交 AC 于点 P，
10、由 PE+PMPE +PMEM 知点 P、M 即为使 PE+PM 取得最小值的点，利用 S菱形ABCDACBDABEM 求解可 得答案 【解析】解：如图，作点 E 关于 AC 的对称点 E，过点 E作 EMAB 于点 M，交 AC 于点 P， 则点 P、M 即为使 PE+PM 取得最小值， 其 PE+PMPE+PMEM， 四边形 ABCD 是菱形， 点 E在 CD 上， AC6，BD6， AB3， 由 S菱形ABCDACBDABEM 得663EM， 解得：EM2， 即 PE+PM 的最小值是 2， 故选：C 【变式 2-2】在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 上的一定点，且 BE10，E
11、C14，点 P 是 BD 上的一动点， 则 PE+PC 的最小值是 【分析】要求 PE+PC 的最小值，PE，PC 不能直接求，可考虑通过作辅助线转化 PE，PC 的值，从而找 出其最小值求解 【解析】解：如图： 连接 AE， 则 AE 就是 PE+PC 的最小值， 正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 上的一定点，且 BE10，EC14， AB24， AE26， PE+PC 的最小值是 26 【变式 2-3】如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC6，点 P 是矩形 ABCD 内一动点，且 SPABSPCD，则 PC+PD 的最小值为 【分析】如图，作 PMAD 于 M，作点 D 关于直线
12、PM 的对称点 E，连接 PE，EC设 AMx由 PM 垂直平分线段 DE，推出 PDPE，推出 PC+PDPC+PEEC，利用勾股定理求出 EC 的值即可 【解析】解：如图，作 PMAD 于 M，作点 D 关于直线 PM 的对称点 E，连接 PE，EC设 AMx 四边形 ABC 都是矩形， ABCD，ABCD4，BCAD6， SPABSPCD， 4x4（6x） ， x2， AM2，DMEM4， 在 RtECD 中，EC4， PM 垂直平分线段 DE， PDPE， PC+PDPC+PEEC， PD+PC4， PD+PC 的最小值为 4 【类型【类型 3 3】 ：】 ：圆中的几何最值问题圆中的几
13、何最值问题 【例 3】如图，在ABC 中，AB5，AC4，BC3，经过点 C 且与边 AB 相切的动圆与 AC、CB 分别相 交于点 P，Q，则线段 PQ 长度的最小值是 2.4 【分析】利用勾股定理的逆定理，由三角形的三边长可得ABC 为 Rt，根据 90的圆周角所对的弦为 直径得出 PQ 为圆的直径，又圆与 AB 相切，设切点为 D，可知当 CDAB 时，根据点到直线的垂线段最 短可得 CD 最短，此时 PQ 亦最小，由三角形 ABC 为直角三角形，根据直角三角形的三边长，利用面积 法即可求出 CD 的长，即为 PQ 的最小值 【解析】解：结合题意得，AB2AC2+BC2， ABC 为 R
14、T，即C90，可知 PQ 为圆的直径， 设圆与 AB 的切点为 D，连接 CD， 当 CDAB，即 CD 是圆的直径的时候，PQ 长度最小， 则 PQ 的最小值是2.4 故答案为：2.4 【变式 3-1】如图，在ABC 中，AB6，AC4，点 E 为 AC 边上的一点（不与点 A 重合） ，过 B，C，E 三点的圆与 AB 边交于点 D，连接 BE设ABC 的面积为 S，BDE 的面积为 S1 （1）当 BD2AD 时，求的值； （2）设 ADx，y； 求 y 与 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围； 求函数 y 的最大值 【分析】 （1）由于 BD2AD，于是得到 S12SADE
15、，由圆内接四边形的性质得到ADEC，推出 ADEACB，根据相似三角形的性质得到，求得 ADAB2，得到 SBCESABESADE， 即可得到结论； （2）根据已知条件得到 S1SADE，求得 SABESADE，根据相似三角形的性质得到， 求得 AEx，CE4x，于是得到，求出 SSABE+SBCESADE，即可得 到结论；把二次函数的解析式化为顶点式即可得到结论 【解析】解： （1）BD2AD， S12SADE， 过 B，C，E 三点的圆与 AB 边交于点 D， ADEC， AA， ADEACB， ， AB6，AC4， ADAB2， ， AE3，CE1， SBCESABESADE， S4SA
16、DE， ； （2）ADx， BD6x， S1SADE， SABESADE， 由（1）知ADEACB， ， AEx， CE4x， ， SBCESABESADE， SSABE+SBCESADE， yx2x（0x） ， yx2x（x3）2， 对称轴 x3， 3， x时，y 有最大值 【类型【类型 4 4】 ：】 ：一次函数与几何最值问题一次函数与几何最值问题 【例 4】如图，在 RtABO 中，OBA90，A（4，4） ，点 C 在边 AB 上，且，点 D 为 OB 的中 点，点 P 为边 OA 上的动点，当点 P 在 OA 上移动时，使四边形 PDBC 周长最小的点 P 的坐标为（ ） A （2，
17、2） B （ ， ） C （ ， ） D （3，3） 【分析】根据已知条件得到 ABOB4，AOB45，求得 BC3，ODBD2，得到 D（0，2） ， C（4，3） ，作 D 关于直线 OA 的对称点 E，连接 EC 交 OA 于 P，则此时，四边形 PDBC 周长最小，E（0， 2） ，求得直线 EC 的解析式为 yx+2，解方程组即可得到结论 【解析】解：在 RtABO 中，OBA90，A（4，4） ， ABOB4，AOB45， ，点 D 为 OB 的中点， BC3，ODBD2， D（2，0） ，C（4，3） ， 作 D 关于直线 OA 的对称点 E，连接 EC 交 OA 于 P， 则此
18、时，四边形 PDBC 周长最小，E（0，2） ， 直线 OA 的解析式为 yx， 设直线 EC 的解析式为 ykx+b， ， 解得：， 直线 EC 的解析式为 yx+2， 解得， P（ ， ） ， 故选：C 【变式 4-1】如图，在平面直角坐标系中，点 A 坐标为（10，12） ，点 B 在 x 轴上，AOAB，点 C 在线段 OB 上，且 OC3BC，在线段 AB 的垂直平分线 MN 上有一动点 D，则BCD 周长的最小值为（ ） A B13 C D18 【分析】过 A 作 AHOB 于 H，连接 AD，根据 MN 垂直平分 AB，即可得到 ADBD，当 A，D，C 在 同一直线上时，BCD
19、 周长的最小值为 AC+BC 的长，根据勾股定理求得 AC 的长，即可得到BCD 周 长的最小值为 13+518 【解析】解：如图，过 A 作 AHOB 于 H，连接 AD， 点 A 坐标为（10，12） ，AOAB， OHBH10，AH12， 又OC3BC， BC5，CO15， CH15105， MN 垂直平分 AB， ADBD， BD+CDAD+CD， 当 A，D，C 在同一直线上时，BCD 周长的最小值为 AC+BC 的长， 此时，RtACH 中，AC13， BCD 周长的最小值13+518， 故选：D 【变式 4-2】如图，四边形 ABCD 中，ADCD，DABACB90，过点 D 作
20、 DEAC，垂足为 F， DE 与 AB 相交于点 E （1）求证：ABAFCBCD； （2）已知 AB15cm，BC9cm，P 是线段 DE 上的动点设 DPx cm，梯形 BCDP 的面积为 ycm2 求 y 关于 x 的函数关系式 y 是否存在最大值？若有求出这个最大值，若不存在请说明理由 【分析】 （1）先根据 ADCD，DEAC 判断出 DE 垂直平分 AC，再由线段垂直平分线的性质及直角三 角形的性质可得出DCFDAFB，在 RtDCF 和 RtABC 中，DFCACB90，DCF B 可知DCFABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出答案； （2）先根据勾股定理求出 AC 的长
21、，再由梯形的面积公式即可得出 x、y 之间的函数关系式； 由 EFBC，得AEFABC，由相似三角形的对应边成比例可求出 AB、EF 的长，进而可得出 AEFDEA 及 DF 的长，根据 DEDF+FE 可求出 DE 的长，由中的函数关系式即可得出结论 【解析】证明： （1）ADCD，DEAC， DE 垂直平分 AC， AFCF，DFADFC90，DAFDCF DABDAF+CAB90，CAB+B90， DCFDAFB 在 RtDCF 和 RtABC 中，DFCACB90，DCFB， DCFABC ，即， ABAFCBCD； （2）解：连接 PB， AB15，BC9，ACB90， AC12，
22、CFAF6 y（x+9）63x+27； 由 EFBC，得AEFABC AEBEAB，EF 由EADAFE90，AEFDEA，得AEFDEA RtADF 中，ADCD10，AF6， DF8 DEDF+FE8 y3x+27（0x） ，函数值 y 随着 x 的增大而增大， 当 x时，y 有最大值，此时 y 【类型【类型 5 5】 ：】 ：利用二次函数解决线段最值问题利用二次函数解决线段最值问题 【例【例 5】综合与探究 如图，抛物线 yx2x与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，直 线 l 经过 B、C 两点，点 M 从点 A 出发以每秒 1 个单位长度的
23、速度向终点 B 运动，连接 CM，将线段 MC 绕点 M 顺时针旋转 90得到线段 MD，连接 CD、BD设点 M 运动的时间为 t（t0） ，请解答下列问题： （1）求点 A 的坐标与直线 l 的表达式； （2）请直接写出点 D 的坐标（用含 t 的式子表示） ，并求点 D 落在直线 l 上时 t 的值； 求点 M 运动的过程中线段 CD 长度的最小值 【分析】 （1）解方程求出点 A、点 B 的坐标，根据二次函数的性质求出点 C 的坐标，利用待定系数法求 出直线 l 的表达式； （2）分点 M 在 AO 上运动、点 M 在 OB 上运动两种情况，DNx 轴于 N，证明MCODMN，根 据全
24、等三角形的性质得到 MNOC，DNOM3t，得到点 D 的坐标，根据一次函数图象上点的 坐标特征求出 t； 根据等腰直角三角形的性质、垂线段最短解答 【解析】解： （1）当 y0 时， 解得 x11，x23， 点 A 在点 B 的左侧， A（3，0） ，B（1，0） ， 当 x0 时，y，即 C（0，） ， 设直线 l 的表达式为 ykx+b， 将 B，C 两点坐标代入得， 解得， 则直线 l 的表达式为 yx； （2）如图 1，当点 M 在 AO 上运动时，过点 D 作 DNx 轴于 N， 由题意可知，AMt，OM3t，MCMD， 则DMN+CMO90，CMO+MCO90， MCODMN，
25、在MCO 与DMN 中， ， MCODMN（AAS） ， MNOC，DNOM3t， D（t3，t3） ； 同理，如图 2，当点 M 在 OB 上运动时， 点 D 的坐标为：D（3+t，t3） 将 D 点坐标代入直线 BC 的解析式 yx得，t3（3+t）， t62，即点 D 落在直线 l 上时，t62； COD 是等腰直角三角形， CMMD， 线段 CM 最小时，线段 CD 长度的最小， M 在 AB 上运动， 当 CMAB 时，CM 最短，CD 最短，即 CMCO， 根据勾股定理得，CD 的最小值为 【变式 5-1】已知经过原点的 抛物线 yax2+bx 与 x 轴正半轴交于点 A，点 P
26、是抛物线在第一象限上的一个 动点 （1）如图 1，若 a1，点 P 的坐标为 求 b 的值； 若点 Q 是 y 上的一点，且满足QPOPOA，求点 Q 的坐标； （3）如图 2，过点 P 的直线 BC 分别交 y 轴的半轴、x 轴的正半轴于点 B、C过点 C 作 CDx 轴交射 线 OP 于点 D设点 P 的纵坐标为 yP，若 OBCD6，试求 yP的最大值 【分析】 （ 1）把 a1 和点 P 的坐标代入 yax2+bx 中其出 b 就即可得到抛物线解析式； 讨论：当点 Q 在 y 轴的正半轴时，利用QPOPOA 得到 PQOA，从而得到此时 Q 点的坐标； 当点 Q 在 y 轴的负半轴时，
27、设 PQ 交 x 轴于点 E，利用QPOPOA 得到 OEPE，设 OEPEt， 作 PTx 轴于点 H，利用勾股定理得到 t2（ ）2+（t）2，解方程求出 t 得到 E（，0） ，然后利用 待定系数法求一次函数解析式，再计算自变量为 0 时的函数值即可得到此时 Q 点坐标； （ 2）如图 2，作 PTx 轴于点 H，利用平行线分线段成比例定理得到，利 用+得1， 变形得到 yp， 根据完全平方公式得到 OB+CD2， 即 OB+CD 2（当且仅当 OBCD 时取等号） ，从而得到 yP的最大值 【解析】解： （ 1）点 P是抛物线上的一个动点，且 a1， b，解得 b2； 当点 Q 在 y
28、 轴的正半轴时， QPOPOA， PQOA， Q（0， ） ； 当点 Q 在 y 轴的负半轴时，设 PQ 交 x 轴于点 E， QPOPOA， OEPE， 设 OEPEt，作 PTx 轴于点 H，则 PH，EHt， 在 RtPEH 中，PE2PH2+EH2， t2（ ）2+（t）2，解得 t， E（，0） ， 由 P（ ， ） ，E（，0）可求出直线 PE 的解析式为 yx， Q（0，） ； 综上所述，点 Q 的坐标为 Q（0， ）或（0，） ； （ 2）如图 2，作 PTx 轴于点 H， CDx 轴，OBx 轴， OBPTCD， ， +得1， ， yp， OB+CD2，即 OB+CD2（当且
29、仅当 OBCD 时取等号） ， yp，即 yp， yP的最大值为 【变式 5-2】如图，对称轴为直线 x1 的抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴相交于 A，B 两点，其中点 A 的坐标 为（3，0） ，点 C 为抛物线与 y 轴的交点 （1）求函数的解析式； （2）若点 P 在抛物线上，且 SPOC4SBOC，求点 P 的坐标； （3）设点 Q 为线段 AC 上的动点，作 QDx 轴交抛物线于点 D，求线段 QD 长度的最大值 【分析】 （1）由抛物线 yx2+bx+c 的对称轴为直线 x1，交 x 轴于 A、B 两点，其中 A 点的坐标为（ 3，0） ，根据二次函数的对称性，即可求得 B
30、点的坐标； （2）a1 时，先由对称轴为直线 x1，求出 b 的值，再将 B（1，0）代入，求出二次函数的解析式 为 yx2+2x3，得到 C 点坐标，然后设 P 点坐标为（x，x2+2x3） ，根据 SPOC4SBOC列出关于 x 的方程，解方程求出 x 的值，进而得到点 P 的坐标； （3）先运用待定系数法求出直线 AC 的解析式为 yx3，再设 Q 点坐标为（x，x3） ，则 D 点坐 标为（x，x2+2x3） ，然后用含 x 的代数式表示 QD，根据二次函数的性质即可求出线段 QD 长度的最大 值 【解析】解： （1）对称轴为直线 x1 的抛物线 yx2+bx+c（a0）与 x 轴相交
31、于 A、B 两点， A、B 两点关于直线 x1 对称， 点 A 的坐标为（3，0） ， 点 B 的坐标为（1，0） ； （2）抛物线 yx2+bx+c 的对称轴为直线 x1， 1，解得 b2 将 B（1，0）代入 yx2+2x+c， 得 1+2+c0，解得 c3 则二次函数的解析式为 yx2+2x3， 抛物线与 y 轴的交点 C 的坐标为（0，3） ，OC3 设 P 点坐标为（x，x2+2x3） ， SPOC4SBOC， 3|x|431， |x|4，x4 当 x4 时，x2+2x316+8321； 当 x4 时，x2+2x316835 点 P 的坐标为（4，21）或（4，5） ； （3）设直线
32、 AC 的解析式为 ykx+t （k0）将 A（3，0） ，C（0，3）代入， 得 ，解得 ， 即直线 AC 的解析式为 yx3 设 Q 点坐标为（x，x3） （3x0） ，则 D 点坐标为（x，x2+2x3） ， QD（x3）（x2+2x3）x23x（x）2， 当 x时，QD 有最大值 【达标检测】【达标检测】 1.如图，AOB60，点 P 是AOB 内的定点且 OP，若点 M、N 分别是射线 OA、OB 上异于点 O 的动点，则PMN 周长的最小值是（ ） A B C6 D3 【分析】作 P 点分别关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD 分别交 OA、OB 于 M、N，如图，利用轴
33、 对称的性质得 MPMC， NPND， OPODOC， BOPBOD， AOPAOC， 所以COD 2AOB120，利用两点之间线段最短判断此时PMN 周长最小，作 OHCD 于 H，则 CHDH， 然后利用含 30 度的直角三角形三边的关系计算出 CD 即可 【解析】解：作 P 点分别关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD 分别交 OA、OB 于 M、N，如图， 则 MPMC，NPND，OPODOC，BOPBOD，AOPAOC， PN+PM+MNND+MN+MCDC，CODBOP+BOD+AOP+AOC2AOB120， 此时PMN 周长最小， 作 OHCD 于 H，则 CHDH， O
34、CH30， OHOC， CHOH， CD2CH3 故选：D 2.如图，在锐角三角形 ABC 中，BC4，ABC60，BD 平分ABC，交 AC 于点 D，M，N 分别是 BD， BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值是（ ） A B2 C2 D4 【分析】从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的 最小值 【解析】解：如图，在 BA 上截取 BEBN， 因为ABC 的平分线交 AC 于点 D， 所以EBMNBM， 在BME 与BMN 中， 所以BMEBMN（SAS） ， 所以 MEMN 所以 CM+MNCM+MECE 因为 CM+MN 有最小值 当 C
35、E 是点 C 到直线 AB 的距离时，即 C 到直线 AB 的垂线段时，CE 取最小值为：4sin60 故选：C 3如图，在锐角ABC 中，BAC45，AB2，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是（ ） A1 B1.5 C D 【分析】 作 BHAC， 垂足为 H， 交 AD 于 M点， 过 M点作 MNAB， 垂足为 N， 则 BM+M N为所求的最小值，再根据 AD 是BAC 的平分线可知 MHMN，再由锐角三角函数的定义即 可得出结论 【解析】解：如图，作 BHAC，垂足为 H，交 AD 于 M点，过 M点作 MNAB，
36、垂足为 N， 则 BM+MN为所求的最小值 AD 是BAC 的平分线， MHMN， BH 是点 B 到直线 AC 的最短距离（垂线段最短） ， AB2，BAC45， BHABsin452 BM+MN 的最小值是 BM+MNBM+MHBH 故选：C 4如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D 是 AB 边的中点，过 D 作 DEBC 于点 E，点 P 是边 BC 上 的一个动点，AP 与 CD 相交于点 Q当 AP+PD 的值最小时，AQ 与 PQ 之间的数量关系是（ ） AAQPQ BAQ3PQ CAQPQ DAQ4PQ 【分析】如图，作点 A 关于 BC 的对称点 A，连接 AD 交 B
37、C 于点 P，此时 PA+PD 最小作 DMBC 交 AC 于 M，交 PA 于 N，利用平行线的性质，证明 ANPN，利用全等三角形证明 NQPQ，即可解决 问题 【解析】解：如图，作点 A 关于 BC 的对称点 A，连接 AD 交 BC 于点 P，此时 PA+PD 最小作 DM BC 交 AC 于 M，交 PA 于 N ACBDEB90， DEAC， ADDB， CEEB， DEACCA， DECA， ， DMBC，ADDB， AMMC，ANNP， DMBCCEEB，MNPC， MNPE，NDPC， 在DNQ 和CPQ 中， ， DNQCPQ， NQPQ， ANNP， AQ3PQ 故选：B
38、 5如图，在ABC 中，ABAC，AB3，BC5，EF 垂直平分 BC，点 P 为直线 EF 上的任意一点，则 ABP 周长的最小值是（ ） A8 B7 C6 D4 【分析】根据题意知点 B 关于直线 EF 的对称点为点 C，故当点 P 与点 D 重合时，AP+BP 的最小值，求 出 AC 长度即可得到ABP 周长的最小值 【解析】解：EF 垂直平分 BC， B、C 关于 EF 对称， 设 AC 交 EF 于 D， 当 P 和 D 重合时，AP+BP 的值最小，最小值等于 AC 的长， 由勾股定理得：AC4， ABP 周长的最小值是 AB+AC3+47 故选：B 6如图，在等腰三角形 ABC
39、中，ABAC13，BC10，D 是 BC 边上的中点，AD12，M，N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是（ ） A10 B C12 D 【分析】 作 BHAC， 垂足为 H， 交 AD 于 M点， 过 M点作 MNAB， 垂足为 N， 则 BM+M N为所求的最小值，根据勾股定理求出 AD，再根据面积不变求出 BH 即可 【解析】解：如图，作 BHAC，垂足为 H，交 AD 于 M点，过 M点作 MNAB，垂足为 N， 则 BM+MN为所求的最小值 ABAC，D 是 BC 边上的中点， AD 是BAC 的平分线， MHMN， BH 是点 B 到直线 AC 的最短距离
40、（垂线段最短） ， ABAC13，BC10，D 是 BC 边上的中点， ADBC， AD12， SABCACBHBCAD， 13BH1012， 解得：BH， 故选：D 7如图，等边ABC 中，AB4，P 是ABC 中的任意一点，连接 PA、PB、PC，则 PA+PB+PC 的最小值 为 【分析】如图将ABP 绕点 A 顺时针旋转 60得到AEF，连接 EB，先说明 PA+PB+PC 的最小值就是 EC 的长，根据 EC2EO 即可即可解决问题 【解析】解：如图，将ABP 绕点 A 顺时针旋转 60得到AEF，连接 EB，则AEB、APF 是等边 三角形， 此时 PA+PB+PCPC+PF+EF
41、，所以当 E、F、P、C 共线时，PA+PB+PC 最小，这个最小值就是 EC 的长 设 EC 交 AB 于点 O，AEB，ABC 都是边长为 4 的等边三角形， EC2EO244 故答案为 4 8 如图， 在正方形 ABCD 中， AB8， AC 与 BD 交于点 O， N 是 AO 的中点， 点 M 在 BC 边上， 且 BM6 P 为对角线 BD 上一点，则 PMPN 的最大值为 2 【分析】作以 BD 为对称轴作 N 的对称点 N，连接 PN，MN，依据 PMPNPMPNMN，可得当 P，M，N三点共线时，取“” ，再求得，即可得出 PMABCD，CMN90，再 根据NCM 为等腰直角
42、三角形，即可得到 CMMN2 【解析】解：如图所示，作以 BD 为对称轴作 N 的对称点 N，连接 PN，MN， 根据轴对称性质可知，PNPN， PMPNPMPNMN， 当 P，M，N三点共线时，取“” ， 正方形边长为 8， ACAB， O 为 AC 中点， AOOC， N 为 OA 中点， ON， ONCN， AN， BM6， CMABBM862， PMABCD，CMN90， NCM45， NCM 为等腰直角三角形， CMMN2， 即 PMPN 的最大值为 2， 故答案为：2 9如图，在边长为 1 的菱形 ABCD 中，ABC60，将ABD 沿射线 BD 的方向平移得到ABD，分 别连接
43、AC，AD，BC，则 AC+BC 的最小值为 【分析】根据菱形的性质得到 AB1，ABD30，根据平移的性质得到 ABAB1，AB AB，推出四边形 ABCD 是平行四边形，得到 ADBC，于是得到 AC+BC 的最小值AC+A D 的最小值，根据平移的性质得到点 A在过点 A 且平行于 BD 的定直线上，作点 D 关于定直线的对称 点 E，连接 CE 交定直线于 A，则 CE 的长度即为 AC+BC 的最小值，求得 DECD，得到EDCE 30，于是得到结论 【解析】解：在边长为 1 的菱形 ABCD 中，ABC60， ABCD1，ABD30， 将ABD 沿射线 BD 的方向平移得到ABD，
44、 ABAB1，ABAB， 四边形 ABCD 是菱形， ABCD，ABCD， BAD120， ABCD，ABCD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC， AC+BC 的最小值AC+AD 的最小值， 点 A在过点 A 且平行于 BD 的定直线上， 作点 D 关于定直线的对称点 E，连接 CE 交定直线于 A， 则 CE 的长度即为 AC+BC 的最小值， AADADB30，AD1， ADE60，DHEHAD， DE1， DECD， CDEEDB+CDB90+30120， EDCE30， CE2CD 故答案为： 10如图 1，ACBAED90，ACBC，AEDE （1）若 D 为 AC 的中点，求的值； （2）将图 1 中的ADE 绕点 A 顺时针旋转，使点 D 落任 AB 上，如图 2，F 为 DB 的中点 画出DEF 关于点 F 成中心对称的图形， 求的值； （3）如图 3，将ADE 绕点 A 顺时针旋转，F 为 BD 的中点，当 AC6，AD4 时，则 CF 的最大值为 32 （直接写出结果
