1、 1992 年全国高中数学联赛试卷 第一试 一、选择题(每小题 5 分，共 30 分) 1对于每个自然数 n，抛物线 y=(n2+n)x2(2n+1)x+1 与 x 轴交于 An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点的 距离，则|A1B1|+|A2B2|+|A1992B1992|的值是( ) (A)1991 1992 (B) 1992 1993 (C) 1991 1993 (D) 1993 1992 2已知如图的曲线是以原点为圆心，1 为半径的圆的一部分，则这一曲线的方 程是( ) (A)(x+ 1y2)(y+ 1x2)=0 (B)(x 1y2)(y 1x2)=0 (C)(x+ 1y2)(y 1
2、x2)=0 (D)(x 1y2)(y+ 1x2)=0 3设四面体四个面的面积分别为 S1，S2，S3，S4，它们的最大值为 S，记 =( 4 i=1 Si)/S，则 一定满足( ) (A)21，含 i 的 Sn的子集共有 2n-1个，其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，从而 每个数 i，在奇子集的和与偶子集的和中，i 所占的个数是一样的. 而对于元素 1，只要把 Sn的所有子集按是否含有 3 配对(即在上证中把 1 换成 3 来证)，于是也可知 1 的奇子集与偶子集中占的个数一样，于是可知每个元素都是在奇子集中与偶子集中占的个数一样.所以 Sn 的所有奇子集的容量的和，与所有偶子集的容量的和相
3、等. 由于每个元素在奇子集中都出现 2n -2 次，故奇子集的容量和=(1+2+3+n) 2n -2=n(n+1) 2n-3 A A A A H H H H O M 1 2 3 4 1 2 3 4 M O 1 1 三、(35 分) 在平面直角坐标系中，任取 6 个格点 Pi(xi，yi)(i=1，2，3，4，5，6)满足： |xi|2，|yi|2(i=1，2，3，4，5，6)； 任何三点不在一条直线上 试证明：在以 Pi(i=1，2，3，4，5，6)为顶点的所有三角形中，必有一个三角形的面积不大于 2 证明 如图，满足条件的格点只能是图中 A、B、Y 这 25 个格点中的 6 个把这 25 个
4、格点分成三个矩形：矩形 AEFJ、KOWU、MNYX 若所取的 6 个点中有三个点在上述三个矩形中的某一个中，则此三点即满 足要求 若三个矩形中均无所取 6 点中的 3 点， 则必是每个矩形中有所取的 2 个点 若 E、F、D、G、O、R、W 中有所取的点，则此点与矩形 MNYX 中的 两点满足要求； 若上述 7 点均未取，则 A、B、C、H、I、J 中必有两点，此时若 L、K 中有所取的点，则亦有三点满足要求； 若 L、K 亦未取，则必在 P、Q、V、U 中取了 2 点，矩形 ACHJ 中取了 2 点：此时取 P、Q 两点， 或 Q、V 两点，或 V、U 两点，或 U、P 两点，或 Q、U 两点，则无论 ACHJ 中取任一点，与之组成三角形 面积均满足要求 若取 P、V 两点，则矩形 ACHJ 中必有一点异于 C，取此点与 P、V 满足要求 综上可知，必有满足要求的 3 点存在 YXWVU T I SRQP J N -2 -2 MLK HG F EDCBA 2 2 y xO
