1、 二五年全国高中数学联合竞赛试题 一、选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分） 本题共有 6 小题，每小题均给出 A，B，C，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确 答案的代表字母填在题后的括号内。 每小题选对得 6 分； 不选、 选错或选出的代表字母超过一个 （不 论是否写在括号内） ，一律得 0 分。 1使关于x的不等式36xxk有解的实数k的最大值是（ ） A63 B3 C63 D6 2空间四点 A、B、C、D 满足,9| ,11| ,7| , 3|DACDBCAB则BDAC的 取值（ ） A只有一个 B有二个 C有四个 D有无穷多个 3ABC内接于单位圆，三个内角 A、B
2、、C 的平分线延长后分别交此圆 于 1 A、 1 B、 1 C。则 CBA C CC B BB A AA sinsinsin 2 cos 2 cos 2 cos 111 的值为（ ） A2 B4 C6 D8 4如图，DCBAABCD为正方体。任作平面与对角线C A 垂直，使得与正方体的每 个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为 S，周长为l.则（ ） AS 为定值，l不为定值 BS 不为定值，l为定值 CS 与l均为定值 DS 与l均不为定值 5.方程1 3cos2cos3sin2sin 22 yx 表示的曲线是（ ） A焦点在x轴上的椭圆 B焦点在x轴上的双曲线 C焦点在y轴上的椭圆
3、 D焦点在y轴上的双曲线 6.记集合,4 , 3 , 2 , 1,| 7777 ,6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 4 4 3 3 2 21 iTa aaaa MT i 将M中的元素按从 大到小的顺序排列，则第 2005 个数是（ ） A 432 7 3 7 6 7 5 7 5 B 432 7 2 7 6 7 5 7 5 C 432 7 4 7 0 7 1 7 1 D 432 7 3 7 0 7 1 7 1 二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 本题共有 6 小题，要求直接将答案写在横线上。 7.将关于x的多项式 201932 1)(xxxxxxf表为关于y的多项
4、式)(yg , 20 20 19 19 2 210 yayayayaa其中. 4 xy则 2010 aaa . 8.已知)(xf是定义在), 0( 上的减函数，若) 143() 12( 22 aafaaf成立，则a的 取值范围是 9.设、满足20，若对于任意)cos()cos(,xxRx , 0)cos(x则 10. 如 图 ， 四 面 体DABC的 体 积 为 6 1 ， 且 满 足 , 3 2 ,45 AC BCADACB则CD . 11.若正方形 ABCD 的一条边在直线172 xy上， 另外两个顶点在抛物线 2 xy 上.则该正方 形面积的最小值为 . 12.如果自然数a的各位数字之和
5、等于 7，那么称a为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排 成一列, 321 aaa若,2005 n a则 n a5 . 三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分） 13.数列 n a满足：., 2 36457 , 1 2 10 Nn aa aa nn n 证明： （1）对任意 n aNn,为正整数；(2)对任意1, 1 nna aNn为完全平方数。 14.将编号为 1,2，9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个 小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要 S.求使 S 达到最小值的放法的概率.（注： 如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合
6、，则认为是相同的放法） 15.过抛物线 2 xy 上的一点 A（1,1）作抛物线的切线，分别交x轴于 D，交y轴于 B.点 C 在 抛物线上，点 E 在线段 AC 上，满足 1 EC AE ;点 F 在线段 BC 上，满足 2 FC BF ，且1 21 ， 线段 CD 与 EF 交于点 P.当点 C 在抛物线上移动时，求点 P 的轨迹方程. 二五年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准 说明： 1 评阅试卷时， 请依据本评分标准。 选择题只设 6 分和 0 分两档， 填空题只设 9 分和 0 分两档； 其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。 2
7、如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准 适当划分档次评分，5 分为一个档次，不要再增加其他中间档次。 一 选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分） 本题共有 6 小题，每小题均给出 A，B，C，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确 答案的代表字母填在题后的括号内。 每小题选对得 6 分； 不选、 选错或选出的代表字母超过一个 （不 论是否写在括号内） ，一律得 0 分。 1使关于x的不等式36xxk有解的实数k的最大值是（ ） A63 B3 C63 D6 解：令36,36,yxxx则 2 (3)(6)2 (3)(6)2(3)yxxxxx
8、 (6)6.x06,yk 实数的最大值为6。选 D。 2空间四点 A、B、C、D 满足,9| ,11| ,7| , 3|DACDBCAB则BDAC的 取值（ ） A只有一个 B有二个 C有四个 D有无穷多个 解：注意到,971130113 2222 由于, 0 DACDBCAB则 2 2 DADA = 22222 )(2)(ABABCDCDBCBCABCDBCABCDBCAB ABCDBCABABCDCDBCBCABBCCDBC(2)(2 222 2 22 ),()CDBCBC即BDACCDABBCADBDAC, 02 2222 只有一个值得 0，故选 A。 3ABC内接于单位圆，三个内角 A
9、、B、C 的平分线延长后分别交此圆 于 1 A、 1 B、 1 C。则 CBA C CC B BB A AA sinsinsin 2 cos 2 cos 2 cos 111 的值为（ ） A2 B4 C6 D8 解：如图，连 1 BA，则 1 2sin()2sin() 2222 AABCBC AAB 2cos(). 22 BC 1 1111 1 cos2cos()coscoscoscos()cos() 22222222 sinsin,cossinsin,cossinsin,cos 222 2(sinsinsin) coscos2(sinsinsin), 22sinsinsin ABCAABCA
10、CB AACB BCA CBBBAC CCABAABB BCABC CCABC ABC 同理 原式2A选 4如图，DCBAABCD为正方体。任作平面与对角线C A 垂 直， 使得与正方体的每个面都有公共点， 记这样得到的截面多边形的面积 为 S，周长为l.则（ ） AS 为定值，l不为定值 BS 不为定值，l为定值 CS 与l均为定值 DS 与l均不为定值 解：将正方体切去两个正三棱锥AA BD与CDBC 后，得到一个以 平行平面A BDD B C 与为上、下底面的几何体 V，V 的每 个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形 W 的每一条边分别 与 V 的底面上的一条边平行，将 V 的侧面沿棱B
11、A剪开， 展平在一张平面上，得到一个 11A BBA，而多边形 W 的周界展开后便成为一条与 1 A A 平行的线段（如图中 1 E E ） ，显然 11 AAEE，故l为定值。 当 E 位于BA中点时，多边形 W 为正六边形，而当 E 移至 A 处时，W 为正三角形，易知周 长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为 2 24 3 l与 2 36 3 l，故 S 不为定值。选 B。 5.方程1 3cos2cos3sin2sin 22 yx 表示的曲线是（ ） A焦点在x轴上的椭圆 B焦点在x轴上的双曲线 C焦点在y轴上的椭圆 D焦点在y轴上的双曲线 解：), 2 3cos()2 2 cos(,
12、 22 32 2 0,32 即 . 3sin2sin 又, 03cos2cos, 03cos, 02cos,3 2 , 2 20 方程表示的曲 线是椭圆。 )() 42 32 sin( 2 32 sin22)3cos2(cos)3sin2(sin . 0)(, 0) 42 32 sin( . 42 32 4 3 , 4 3 2 32 2 , 0 2 32 sin, 0 2 32 2 式 即. 3cos2cos3sin2sin曲线表示焦点在y轴上的椭圆，选 C。 6.记集合,4 , 3 , 2 , 1,| 7777 ,6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 4 4 3 3 2 21
13、iTa aaaa MT i 将M中的元素按从 大到小的顺序排列，则第 2005 个数是（ ） A 432 7 3 7 6 7 5 7 5 B 432 7 2 7 6 7 5 7 5 C 432 7 4 7 0 7 1 7 1 D 432 7 3 7 0 7 1 7 1 解：用 pk aaa 21 表示 k 位 p 进制数，将集合 M 中的每个数乘以 4 7，得 32 12341234 7 777|,1,2,3,4 |,1,2,3,4. ii MaaaaaT ia a a aaT i M 中的最大数为 107 24006666。 在十进制数中，从 2400 起从大到小顺序排列的第 2005 个数
14、是 2400-2004=396。而 10 396 7 1104将此数除以 4 7，便得 M 中的数. 7 4 7 0 7 1 7 1 432 故选 C。 二、填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分） 本题共有 6 小题，要求直接将答案写在横线上。 7.将关于x的多项式 201932 1)(xxxxxxf表为关于y的多项式)(yg , 20 20 19 19 2 210 yayayayaa其中. 4 xy则 2010 aaa 6 1521 . 解：由题设知，)(xf和式中的各项构成首项为 1，公比为x的等比数列，由等比数列的求和 公式，得：. 1 1 1 1)( )( 2121 x x x
15、x xf令, 4 yx得, 5 1)4( )( 21 y y yg取, 1y 有. 6 15 ) 1 ( 21 20210 gaaaa 8.已知)(xf是定义在), 0( 上的减函数，若) 143() 12( 22 aafaaf成立，则a的 取值范围是. 51 3 1 0aa或 解：)(xf在), 0( 上定义，又) 13(143 ; 0 8 7 ) 4 1 (212 222 aaaaaa ),1( a仅当1a或 3 1 a时，).(0143 2 aa )(xf在), 0( 上是减函数，, 50, 05, 14312 222 aaaaaaa结合 （）知 3 1 0 a或. 51 a 9.设、满
16、足20，若对于任意)cos()cos(,xxRx , 0)cos(x则. 3 4 解：设),cos()cos()cos()(xxxxf由Rx，0)(xf知， , 0)(, 0)(, 0)(fff即)cos(, 1)cos()cos( )cos()cos()cos(. 1)cos()cos(, 1)cos( , 3 4 , 3 2 ,20. 2 1 又, . 只有. 3 4 . 3 2 另一方面，当, 3 2 有, 3 4 , 3 2 Rx 记x，由于 三 点), 3 4 (cos(), 3 2 sin(), 3 2 (cos(),sin,(cos ) 3 4 sin( 构 成 单 位 圆 1
17、22 yx上 正 三 角 形 的 三 个 顶 点 . 其 中 心 位 于 原 点 ， 显 然 有 . 0) 3 4 cos() 3 2 cos(cos 即. 0)cos()cos()cos(xxx 10. 如 图 ， 四 面 体DABC的 体 积 为 6 1 ， 且 满 足 , 3 2 ,45 AC BCADACB则CD3. 解：, 6 1 )45sin 2 1 ( 3 1 DABC VACBCAD 即. 1 2 AC BCAD又, 3 22 3 3 AC BCAD AC BCAD 等号当且仅当1 2 AC BCAD时成立，这时ADAB, 1面 ABC，3DC. 11.若正方形 ABCD 的一
18、条边在直线172 xy上， 另外两个顶点在抛物线 2 xy 上.则该正方 形面积的最小值为 80 . 解：设正方形的边 AB 在直线172 xy上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为),( 11 yxC、 ),( 22 yxD，则 CD 所在直线l的方程,2bxy将直线l的方程与抛物线方程联立，得 . 112 2, 1 2 bxbxx 令正方形边长为, a则).1(20)(5)()( 2 21 2 21 2 21 2 bxxyyxxa 在172 xy上任取一点（6，,5） ，它到直线bxy 2的距离为 5 |17| , b aa . 、联立解得,80.63, 3 2 21 abb或.80.1280
19、 2 min 2 aa 12.如果自然数a的各位数字之和等于 7，那么称a为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排 成一列, 321 aaa若,2005 n a则 n a55200. 解：方程mxxx k 21 的非负整数解的个数为 m km C 1 .而使)2(0, 1 1 ixx i 的整 数解个数为 1 2 m km C.现取7m，可知，k位“吉祥数”的个数为.)( 6 5 k CkP 2005 是形如abc2的数中最小的一个“吉祥数” ，且, 7)2(, 1) 1 ( 6 7 6 6 CPCP ,28)3( 6 8 CP对于四位“吉祥数”abc1，其个数为满足6cba的非负整数解个数，
20、即 28 6 136 C个。 2005 是第 1+7+28+28+165 个“吉祥数” ，即.2005 65 a从而.3255 ,65nn 又,210)5(,84)4( 6 10 6 9 CPCP而 5 1 .330)( k kP 从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000，61000,60100,60010,60001,52000.第 325 个“吉祥数”是 52000，即.52000 5 n a 三、解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分） 13.数列 n a满足：., 2 36457 , 1 2 10 Nn aa aa nn n 证明： （1）对任意 n aNn,为正整数；(
21、2)对任意1, 1 nna aNn为完全平方数。 证明： （1）由题设得, 5 1 a且 n a严格单调递增.将条件式变形得,364572 2 1 nnn aaa 两边平方整理得097 2 1 2 1 nnnn aaaa 097 2 11 2 nnnn aaaa -得 1111111 ()(7)0,70 nnnnnnnnnn aaaaaaaaaa .7 11 bnn aaa 由式及5, 1 10 aa可知，对任意 n aNn,为正整数.10 分 （2）将两边配方，得.) 3 (1),1(9)( 21 11 2 1 nn nnnnnn aa aaaaaa 由 11 9() nnnnn aaaaa
22、 1 () mod3 nn aa 1nn aa 10 ( 1)naa0（mod3） 1 3 nn aa 为正整数 式成立. 1 1 nna a是完全平方数.20 分 14.将编号为 1,2，9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个 小球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要 S.求使 S 达到最小值的放法的概率.（注： 如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法） 解：九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上 的一个圆形排列，故共有8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有 2 ! 8 种.
23、 5分 下求使 S 达到最小值的放法数：在圆周上，从 1 到 9 有优弧与劣弧两条路径，对其中任一条路径， 设 k xxx, 21 是依次排列于这段弧上的小球号码，则 . 8|91| )9()()1 ( |9|1| 211211 kk xxxxxxxx上 式 取 等号当且仅当91 21 k xxx，即每一弧段上的小球编号都是由 1 到 9 递增排列. 因此1682 最小 S.10 分 由上知，当每个弧段上的球号9 , 1 21k xxx确定之后，达到最小值的排序方案便唯一确定. 在 1,2，9 中，除 1 与 9 外，剩下 7 个球号 2,3，8，将它们分为两个子集，元素较少的 一个子集共有
24、63 7 2 7 1 7 0 7 2CCCC种情况， 每种情况对应着圆周上使 S 值达到最小的唯一排法， 即有利事件总数是 6 2种，故所求概率. 315 1 2 ! 8 26 P20 分 15.过抛物线 2 xy 上的一点 A（1,1）作抛物线的切线，分别交x轴于 D，交y轴于 B.点 C 在 抛物线上，点 E 在线段 AC 上，满足 1 EC AE ;点 F 在线段 BC 上，满足 2 FC BF ，且1 21 ， 线段 CD 与 EF 交于点 P.当点 C 在抛物线上移动时，求点 P 的轨迹方程. 解一：过抛物线上点 A 的切线斜率为： , 2|2 1x xy切线 AB 的方程为DBxy
25、、. 12 的坐标为DDB),0 , 2 1 (),1, 0(是线段 AB 的中点. 5 分 设),(yxP、),( 2 00 xxC、),( 11 yxE、),( 22 yxF，则由 1 EC AE 知， ; 1 1 , 1 1 1 2 01 1 1 01 1 x y x x, 2 FC BE 得. 1 1 , 1 2 2 02 2 2 02 2 x y x x EF 所在直线方程为：, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 01 2 02 1 01 1 2 01 2 2 02 1 2 01 xx x x xx x y 化 简 得.13)()1 ()( 2 020 2 012201
26、2 xxxxyx 10 分 当 2 1 0 x时，直线 CD 的方程为： 12 2 0 2 0 2 0 x xxx y 联立、解得 0 2 0 1 3 3 x x x y ，消去 0 x，得 P 点轨迹方程为：.) 13( 3 1 2 xy15 分 当 2 1 0 x时，EF 方程为：CDxy, 4 1 2 3 )3 4 1 4 1 ( 2 3 212 方程为： 2 1 x，联立解 得 . 12 1 , 2 1 y x 也在 P 点轨迹上.因 C 与 A 不能重合，. 3 2 , 1 0 xx 所求轨迹方程为). 3 2 () 13( 3 1 2 xxy20 分 解二：由解一知，AB 的方程为
27、),0 , 2 1 (),1, 0(, 12DBxy故 D 是 AB 的中点. 5 分 令,1,1, 2211 CF CB t CE CA t CP CD 则. 3 21 tt因为 CD 为ABC的中线， .22 CBDCADCAB SSS 而, 2 3 , 2 3 2 ) 11 ( 2 1 22 1 2121 21 2121 tttt tt ttS S S S S S CBCA CFCE tt CBD CFP CAD CEP CAB CEF P 是ABC的重心. 10 分 设),(),( 2 00 xxCyxP因点 C 异于 A，则, 1 0 x故重心 P 的坐标为 , 33 11 ), 3 2 ( , 3 1 3 10 2 0 2 000 xx yx xx x 消去, 0 x得.) 13( 3 1 2 xy 故所求轨迹方程为). 3 2 () 13( 3 1 2 xxy20 分
