1、2020 届高三届高三数学数学考前冲刺适应性模拟卷考前冲刺适应性模拟卷（理科）参考解答与评分标准（理科）参考解答与评分标准 第第 1 页页 共共 12 页页 泉州数学学科联盟泉州数学学科联盟 2020 届高三届高三考前考前冲刺冲刺适应性适应性模拟卷模拟卷 理科数学试题答案及评分参考理科数学试题答案及评分参考 评分说明：评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制定相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可 视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答
2、应给分数的一半；如果后继部分的 解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题和填空题不给中间分 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1D 2A 3B 4C 5A 6C 7D 8B 9B 10C 11D 12C 1 【解析】由( i) iiab ，得 1iiab ，由复数相等的意义可得 1,1ab ，所以 1 iz ， 故选 D 2 【解析】由 2 0xx，得
3、 1x 或0x ，所以2,3AB ，故选 A 3. 【解法一】设等差数列 n a的公差为d 由已知得 11 11 52227, 62329, adad adad 解得 1 3, 2, a d ，所以 51 51035Sad故选 B 【解法二】设等差数列 n a的公差为d则d 54 (2)aa 63 (2)aa29272， 又 633 23327aaad，所以 3 7a ，则 15 53 5() 535 2 aa Sa 故选 B 4 【解析】2019 年该销售员的月工资由少到多依次排列为 13、19、23、25、35、42、43、 43、56、81、92，中位数为 4.24.3 4.25 2 ，
4、故 A 错； 由图像得，从 5 月份到 6 月份的线段斜率最大，故 6 月份工资增长率最高，B 错； 由图像得，第一季度的月工资比第二季度的月工资波动小，故方差小，C 正确； 2020 届高三届高三数学数学考前冲刺适应性模拟卷考前冲刺适应性模拟卷（理科）参考解答与评分标准（理科）参考解答与评分标准 第第 2 页页 共共 12 页页 第一季度的月工资和为 103，第四季度的月工资和为 118， D 错，故选 C 5 【解析】选项 A 中，由于( )1 bc b cc bb c cb a ba ab a bb ，所以 bccb a ba b成立 选项 B 中， 2 b与ac大小不能确定，故 B 错
5、误； 选项 C 中， 由于()()(1)0 ccc abab abab ， 故 A 错误， 或构造函数( ) c f xx x 在(0,) 单调递增，所以( )( )f af b； 选项 D 中，让1c ，则loglog0 ab cc，故 D 错误故选 A 6 【解析】程序的运行过程为 n 1 2 1 3 2 2 5 2 a 5 2 2 3 2 1 1 2 b 1 ln 2 0 3 ln 2 ln2 5 ln 2 当2n时，1ln2； 5 2 n 时， 15 ln 22 ，此时输出 5 2 n ，故选 C 7 【解析】由条件可得( )f x为奇函数，所以 ( 3)(3)2ff 利用如下特殊情形
6、的图像， 可得 6 ( )f x x 的解集为3,03,故选 D 8 【解法一】由于椭圆的上顶点为(0,2)，直线 2yx也过(0,2)， 所以(0,2)A为直线与椭圆的一个交点 设(,) BB B xy，则 22 ()() BABA ABxxyy 2 1 BA kxx 2 B x=3 2, 所以3 B x ，( 3, 1)B 或(3,5)B（不合，舍去） ， 把( 3, 1)B 代入椭圆方程得： 91 1 4m ，故12m故选 B 【解法二】由 22 2 1 4 yx xy m ， ， 得 2 (4)40m xmx，所以 4 0, 4 AB m xx m ， 又 22 ()() BABA A
7、Bxxyy 2 1 BA kxx 2 B x， 2020 届高三届高三数学数学考前冲刺适应性模拟卷考前冲刺适应性模拟卷（理科）参考解答与评分标准（理科）参考解答与评分标准 第第 3 页页 共共 12 页页 所以 4 2 4 m m =3 2， 因为0m，所以 4 3 4 m m ，12m故选 B 9 【解析】任取, , ,1,2,3,4,5x y z n，则基本事件总数为 4 5625， 当2n时，由费马大定理知等式 nnn xyz不成立， 当2n时，( , , )x y z可取(3,4,5)或(4,3,5)，共2种情况， 当1n 时， 等式即为xyz，( , , )x y z可取(1,1,2
8、)，(1,2,3)，(2,1,3)，(2,2,4)，(1,3,4)， (3,1,4)，(1,4,5)，(4,1,5)，(2,3,5)，(3,2,5)，共10种情况， 综上，使等式成立的基本事件个数为12，故等式成立的概率为 12 625 ，选 B 10 【解析】( )2sin() 3 f xx ，由 (0)( )0 3 ff， 可得2sin()2sin2sin() 3333 ，即2 333 k 或2 3 k ， 化简得， 2 2 33 k 或2 3 k ， 由于0 3 x （，），即(,) 33 33 x ， 所以要使( )f x在），（ 3 0 至少有6个极值点，则只需 11 332 ，即
9、35 36 若 2 2 33 k 时，则 min 20 () 33 ，即 min 20 若2 3 k 时，则 min ()7 3 ， min 21 所以的最小值为20故选 C 11 【解析】作OP中点M，则 ,M Q关于原点对称，所以 21 3 2 MFQFc， 由 22 PFOFc， 2 3 2 MFc，易得 2 OPF为正三角形. 1 OPF中， 1 OPOFc， 1 2 3 POF ，易得 1 3PFc。 所以E的离心率 12 222 e3 1 23 cccc aaPFPFcc 故选 D 12 【解析】由 22 1111 ( )ln1,( ) x fxxt fx xxxx ， 2020
10、届高三届高三数学数学考前冲刺适应性模拟卷考前冲刺适应性模拟卷（理科）参考解答与评分标准（理科）参考解答与评分标准 第第 4 页页 共共 12 页页 所以( )fx 在(0,1)递减，(1,)递增 若(1)20ft ，即2t 时，( )(1)0fxf ，此时不符合题意，即错误 若2t 时，(1)0 f ，又 0x时， ( )fx ；x 时，( )fx ， 所以( )fx 有两个零点, a b，不妨ab，则01ab 当(0, )xa时，( )0fx ；当( , )xa b时，( )0fx ；当( ,)xb时，( )0fx 因为0x时，( )f x ；(1)ft；x 时，( )f x ， 所以此时
11、( )f xt 有三个零点，即为 123 ,x x x，不妨设 123 xxx，则 2 1x 因为 3333 (1)n()lftxxtxx，则 333 333333 (1)ln111 (1)ln 1 ) xxttx ft xxxxxt t ， 所以1 3 1 x x ，从而 123 1x x x ，即正确 由上面可知 0 ()( )(1)2f xf bft ，所以正确 故选 C 二二、填空题：本大题共、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分将答案填在答题卡的相应位置分将答案填在答题卡的相应位置 13 2,13 143 158 1627 13 【解析】如图，阴
12、影部分为可行域，解得(0,2), (2,0), (6, 1)ABC， 所以2 2,13zxy ，故z的取值范围为 2,13 14【解析】ab 22 2aba b 2 24bb 2 133b， 所以ab的最小值为3 15 【解析】如图，设ABC的外心为 1 O，外接圆半径为r ABC中，2 3ABAC，4BC ，所以2BD ，2 2AD 1 BDO中，由勾股定理得 2 22 2 22rr，解得 3 2 2 r 2020 届高三届高三数学数学考前冲刺适应性模拟卷考前冲刺适应性模拟卷（理科）参考解答与评分标准（理科）参考解答与评分标准 第第 5 页页 共共 12 页页 因为球O的表面积为36，可求得
13、球O的半径3R ，所以 22 1 3 2 2 OORr 又PB过球心O，因此点P到平面ABC的距离为 1 23 2OO 因为 1 4 2 24 2 2 ABC S ， 所以 11 4 23 28 33 P ABCABC VSh 16.【解析】因为 11 = 1 nn n tSS S t -+ + + ，所以 ()11 = nnnn t SSSS -+ -，即 1 2 nn atan 所以数列 n a是从第二项起，公比为t的等比数列因为 32 4aa，所以 22 4taa， 2 4 1 a t 因此 3 3 52 4 1 t aat t =? - 令 ( ) 3 4 1 t f t t = -
14、，则 ( ) () () () () 232 22 1214423 11 ttttt ft tt - = - ， 所以当 3 0, 2 t 时， 0ft；当 3 2 t ，时， 0ft 故 ( )min 3 27 2 f tf 骣 琪= 琪 桫 ，即 5 a的最小值为27 三三、解答题：共、解答题：共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 生都必须作答第生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分 1
15、7 【命题意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，查 函数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 12 分 解： （1）ABC中， 222 2cosACABBCAB BCABC， 1 分 化简得 2 5240ABAB，解得3AB或8AB （舍去） ； . 3 分 D O1 O P CB A 2020 届高三届高三数学数学考前冲刺适应性模拟卷考前冲刺适应性模拟卷（理科）参考解答与评分标准（理科）参考解答与评分标准 第第 6 页页 共共 12 页页 所以ABC的面积 1 sin 2 SBA BCABC 13 3 5 22 15
16、3 4 . 5 分 （2）ABC中， sinsin BCAC BACABC ，所以 sin5 3 sin 14 BCABC BAC AC ， 7 分 11 cos 14 BAC 8 分 coscos 3 BADBAC 13 cossin 22 BACBAC 11135 3 214214 13 14 10 分 BAD 中， 222 2cosBDABADAB ADBAD 22 13 372 3 7 14 19， 所以19BD 12 分 18 【命题意图】本小题考查面面垂直的判定、二面角的求解等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理 及运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，体现基础性、综
17、合性与应用 性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注满分 12 分 解： （1）设ACBEOI，连结PO 在正六边形ABCDEF中，易得ACBE，AOCO 2 分 又因为PAPC，所以ACPO 3 分 又BEPOO ，所以AC 平面PBE 4 分 又AC 平面PAC，所以平面PAC 平面PBE 5 分 （2）在正六边形ABCDEF中，4ABBC，所以2 3AOCO，2BO 又因为2 7PAPC，所以4PO 6 分 因为2 5PB ，所以 222 PBBOPO，即POBO， 所以AC、BE、PO两两互相垂直 7 分 以AC、BE、PO所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标
18、 系Oxyz（如图所示） 则( 2 3,0,0)A ，(0, 2,0)B，( 2 3,4,0)F ，(0,0,4)P， (2 3, 2,0)AB ，(2 3,0,4)AP ，(0,4,0)AF .8 分 设平面ABP的一个法向量为 111 ()mx ,y ,z 由 0, 0, AB m AP m 得 11 11 2 320, 2 340, xy xz 令 1 2x，解得 1 2 3y ， 1 3z z y x O P F E DC B A 2020 届高三届高三数学数学考前冲刺适应性模拟卷考前冲刺适应性模拟卷（理科）参考解答与评分标准（理科）参考解答与评分标准 第第 7 页页 共共 12 页页
19、 所以(2,2 3,3)m 9 分 设平面APF的一个法向量为 222 ()nx ,y ,z 由 0, 0, AF n AP n 得 2 22 40, 2 340, y xz 令 2 2x ，解得 2 3z 所以(2,0,3)n 10 分 因此 7133 cos, 19197 m n m n m n 11 分 因为二面角BPAF的平面角为钝角， 故二面角BPAF的余弦值为 133 19 12 分 19 【命题意图】本小题主要考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质，直线与圆、直线与抛物线的 位置关系等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力；考查数形结合思想，函数与 方程思想，化归与转化思想等
20、；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现 基础性，综合性与创新性满分 12 分 解： （1）设AB的中点为T，, ,A B T在l上的射影分别为 111 ,A B T， 则 111 1 2 TTAABB 1 2 AFBF 2 分 1 5 2 AB， 所以T到y轴的距离 1 14dTT 故 2 2 2CDTCd . 4 分 2 2 2 2 AB d 22 2 54 6 5 分 （2）当直线AB斜率为 0 时，不满足题意 设直线:AB1xmy， 1122 ,A x yB x y，1,Pt 由 2 4 , 1, yx xmy 得 2 440ymy， . 6 分 所以 12 12 4 , 4
21、. yym y y . 7 分 2020 届高三届高三数学数学考前冲刺适应性模拟卷考前冲刺适应性模拟卷（理科）参考解答与评分标准（理科）参考解答与评分标准 第第 8 页页 共共 12 页页 直线:PA 1 1 1 1 yt yxt x ， 令1x ，得 1 1 2 1 yt yt x 1 1 2 2 yt t my 1 1 2 2 mt y my ，即 1 1 2 1, 2 mt y M my 8 分 同理可得： 2 2 2 1, 2 mt y M my 9 分 要证=MFNF，即证 12 12 22 22 mt ymt y mymy ， 又 22 1212 121212 2224 2 0 2
22、21111 mt ymt ymty ymt mymyxxxx ， 即证 12 12 22 22 mt ymt y mymy ， . 10 分 即证 12 12 22 yy mymy ， 即证 1221 22y myymy， 即证 1212 220my yyy（） ， 11 分 又因为 12 12 4 , 4, yym y y 所以（）式显然成立，故=MFNF，命题得证 12 分 20 【命题意图】本小题主要考查二项分布的概率、期望等基础知识；考查抽象概括能力数据处理能力、 运算求解能力、推理论证能力、创新意识；考查统计与概率思想、化归与转化思想；考查 数学运算素养、数学建模素养、 数据分析素养
23、，体现基础性、综合性、创新性与应用性满 分 12 分 解： （1）依题意得： 4 66 10 C1ppfp ，. 1 分 则 433 65656 1010 C61460111Cpppppfppp ， 2 分 当 3 0,0 5 pfp 时 ；当 3 ,1 5 p 时， 0fp， 3 分 故 fp在 3 5 p 时取得最大值，所以 3 5 p . 4 分 2020 届高三届高三数学数学考前冲刺适应性模拟卷考前冲刺适应性模拟卷（理科）参考解答与评分标准（理科）参考解答与评分标准 第第 9 页页 共共 12 页页 （2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y， 当180y 元时，有90%80%yxy恒成
24、立， 6 分 即98yxy恒成立，所以 min 20 9 y x ，故x的最大值为 20 元 8 分 （3）若参加活动一，顾客可得减负金额为3603602090%54元 9 分 若参加活动二，顾客可抽奖三次设 X 表示顾客在三次抽奖中中奖的次数， 由于顾客每次抽奖的结果相互独立，则 3 3, 5 XB ， . 10 分 所以 3 31.8 5 E Xnp 由于顾客每中一次可获得 20 元现金奖励， 因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为1.8 2036元， 11 分 又因为3654，所以顾客应该选择活动一 . 12 分 21 【命题意图】本题以三角函数作为问题背景，考查导数与函数单调性
25、的关系、函数的零点、函数的极 值等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思 想、化归与转化思想、分类与整合思想等思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等 核心素养，体现综合性、应用性与创新性满分 12 分 解法一： （1）( )cos x fxxe，则 ( )fx 在 3 ,2 2 上单调递增， . 1 分 又 3 ()0,(2 )0 2 ff ， 所以 ( )fx 在 3 (,2 ) 2 有唯一的零点t 2 分 当 3 (, ) 2 xt 时，( )0fx； 0 (,2 )xx时，( )0fx . 3 分 又 3 2 2 3 ()10(2 ) 2 fefe ，
26、 所以 ( )f x在 3 ,2 2 的最大值为 2 e . 4 分 （2）证法一： 1 ( )cos 2 x g xxe， 则当(0,) 2 x 时，( )g x单调递增，又 42 121 ()0,()0 42222 gege ， 所以 ( )g x 在(0,) 2 x 有唯一的零点 0 (,) 4 2 x ， 此时， 0 (0,)xx 时， ( )0g x ； 0 (,) 2 xx 时，( )0g x， 2020 届高三届高三数学数学考前冲刺适应性模拟卷考前冲刺适应性模拟卷（理科）参考解答与评分标准（理科）参考解答与评分标准 第第 10 页页 共共 12 页页 所以 0 x是极小值点，不妨
27、让 01 xx 6 分 当 3 (,) 22 x 时，cos0x ，所以 2 111 ( )cos0 222 xx g xxeee ； 7 分 当 3 (,2 ) 2 x ，( )sin( ) x g xxef x 由（1）知， ( )gx 有唯一的零点 1 3 (,2 ) 2 t ， 则 1 3 (, ) 2 xt 时，( )0gx，即( )g x单调递减； 1 ( ,2 )xt时，( )0g x，即( )g x单调递增 又 7 2 4 37121 ()0,()0,(2 )0 24222 ggege ， 所以 ( )g x 在 3 (,2 ) 2 x 有唯一的零点 3 37 (,) 24 x
28、 ， 此时 3 3 (,) 2 xx 时，( )0g x； 3 (,2 )xx时，( )0g x，所以 3 x是极大值点，即 32 xx， 所以 ( )g x在(0,2 ) 有两个极值点 12 ,x x，其中 1 (,) 4 2 x ， 2 37 (,) 24 x ， 9 分 且 1 2 1 2 1 cos 2 1 cos 2 x x xe xe ，由于 12 xx ee ，所以 122 coscoscos(2)xxx 因为 1 (,) 4 2 x ， 2 2(,) 4 2 x ， 所以 12 2xx，即 12 2xx 10 分 又 1 (,) 4 2 x ，所以 111 sincos2sin
29、()2 4 xxx ，同理 222 sincos2sin()0 4 xxx ， 所以 12 121122 11 ()()sinsin 22 xx g xg xxxexxe 12 分 121122 11 ()(sincos)(sincos)121 22 xxxxxx 12 分 解法二： （1）同解法一 （2）前面同证法一 由 1 2 1 12 2 11 cos 35 22 (,),(,) 113 223 cos 22 x x ex xx ex 10 分 1 11111 11 ( )sinsin 22 x g xxxexx 令 1 ( )sin ,(,) 23 2 t xxx x ，则 1 ( )
30、cos0 2 t xx， 所以 1 111111 113 ( )sinsin( )() 22362 x g xxxexxt xt ， 11 分 2 222222 111 ()sinsincos 222 x g xxxexxx 2020 届高三届高三数学数学考前冲刺适应性模拟卷考前冲刺适应性模拟卷（理科）参考解答与评分标准（理科）参考解答与评分标准 第第 11 页页 共共 12 页页 令 1135 ( )sincos ,(,) 2223 h xxxx x ， 则 1115 ( )cossinsinsin0 2223 h xxxx 所以 22 553 ()()() 362 g xh xh， 所以
31、12 3531 ( )() 62622 g xg x 12 分 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22选修44：坐标系与参数方程 【命题意图】 本小题主要考查直角坐标方程和极坐标方程， 极坐标方程和直角坐标方程的互化， 极径、 极角以及应用极坐标下曲线方程来解决问题的方法； 考查推理论证能力， 运算求解能力； 考查化归与转化思想，函数与方程思想，数形结合思想；体现基础性与综合性，导向对 发展逻辑推理，直观想象，数学运算核心素养的关注满分 10 分 解：
32、（1）由 cossinxy， ，得 22 cossin 1 164 ， 1 分 整理得 1 C的极坐标方程为 2 2 16 13sin ， 3 分 由3cossin两边同时乘以，得 2 3 cossin， 故 2 C的直角坐标方程为 22 30xyxy 5 分 （2）依题意可知点Q为圆 2 C的圆心，故MN为圆 2 C的直径，故 90oAOB， 6 分 不妨设点A的极坐标为 1, ，点B的极坐标为 2, 90o ， 7 分 则 2 1 2 16 13sin ， 2 2 2 2 1616 13cos13sin90o ， 8 分 所以 22 2222 12 111113sin13cos5 |161
33、616OAOB 为定值 10 分 23选修45：不等式选讲 【命题意图】本小题主要考查绝对值不等式、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，推理论证 能力；考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想；体现基 础性和综合性；导向对发展数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注满分 10 分 2020 届高三届高三数学数学考前冲刺适应性模拟卷考前冲刺适应性模拟卷（理科）参考解答与评分标准（理科）参考解答与评分标准 第第 12 页页 共共 12 页页 解： （1）由题意得，原不等式等价于 2 14xxx， 当 1x 时，原不等式可化为 2 14xxx ，即 2 230xx ， 1 分 解得 1x或3x ，故 3x ； 2 分 当 1x 时，原不等式可化为 2 1 4xxx ，即 2 5x ， 3 分 解得5x或5x，故5x； 4 分 综上所述不等式 f xg x的解集为, 35, 5 分 （2）因为 118g xgxk xx11828k xxk ， 6 分 由题意 14g xgx ，可得 3k ， 7 分 222 f af bf caabbcc 222 1113abcabc 8 分 又因为 2 12aa ， 2 12bb ， 2 12cc ， 9 分 故 33
