1、 绝密启用前 焦作市普通高中焦作市普通高中 2019-2020 学年高三年级第四次模拟考试学年高三年级第四次模拟考试 文科数学文科数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指 定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项
2、中，只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的求的. 1.已知集合0,A， 12Bxx ，则AB （ ） A.1,3 B.0, C.1, D., 1 2.设复数 z 满足1 i2 ii z，则z （ ） A.3i B.1 3i C.3 i D.1 3i 3.设等差数列 n a的前 n 项和为 n S， 3 7 2 a ， 6 27S ，则 10 a（ ） A. 27 2 B. 35 2 C.36 D.85 4.“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法，其基本原理是：以一根确定长度的琴弦为基准，取 此琴弦长度的 2 3 得到第二根琴弦， 第二根琴弦长度的 4
3、 3 为第三根琴弦， 第三根琴弦长度的 2 3 为第四根琴弦， 第四根琴弦长度的 4 3 为第五根琴弦.琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到 高分别称为“宫、商、角（ju ） 、微（zh） 、羽”，则“角”和“徵”对应的琴弦长度之比为（ ） A. 3 2 B. 81 64 C. 32 27 D. 9 8 5.函数 2 cos2 2sin xx f x xx 的部分图象大致是（ ） A. B. C. D. 6.执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 7.设，是两个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A.若
4、mn，m，则n B.若mn，m，n，则 C.若m，n，mn，则 D.若n，mn，m，则 8.将函数 1 3sin 2 fxx （ 2 ）的图象向左平移 3 个单位长度得到函数 g x的图象.若 3 32 g ，则（ ） A. 4 B. 3 C. 6 D. 3 9.已知双曲线 22 22 1 xy ab （0a ，0b ）的右焦点为 F，过 F 作 x 轴的垂线，与双曲线的一个交点为 A， 与渐近线的一个交点为 B， 1 2 AFBF，则双曲线的离心率e（ ） A. 4 3 B. 2 3 3 C.3 D.2 10.如图， 四边形ABCD是正方形， 点 E， F 分别在边AD，CD上，BEF是等边
5、三角形， 在正方形ABCD 内随机取一点，则该点取自BEF内的概率为（ ） A.2 33 B.23 C. 1 3 D. 3 3 11.在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC的面积为 4，cosC是方程 2 2530xx 的一个根，则 2 c的最小值为（ ） A.4 2 B. 4 3 3 C.3 D.16 3 3 12.已知函数 2 4 25,0, 33,0. xx f xx xxx 若函数 f xxm 恰有两个不同的零点，则实数 m 的取值范 围是（ ） A.0, B. ,4 35 C. , 24 35, D. 3,24 35, 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4
6、 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.已知向量3, 1a ，4,2ba ，则a b _. 14.已知 4 tan2 3 ，则sincos3cos2_. 15.在长方体 1111 ABCDABC D中，底面ABCD是正方形， 1 2AAAB，E，F，G，H 分别是AD，AB， BC， 1 CC的中点，则异面直线EF与GH的夹角的余弦值为_. 16.已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab （0ab） ，点 A，F 分别是椭圆 C 的左顶点和左焦点，直线AP与以坐标 原点 O 为圆心，b 为半径的圆相切于 P 点，且PFx轴；则 C 的离心率为_. 三、解答题：共三、
7、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个试题考生都题为必考题，每个试题考生都 必须作答必须作答.第第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17.（12 分） 某单位在 2019 年重阳节组织 50 名退休职工（男、女各 25 名）旅游，退休职工可以选择到甲、乙两个景点 其中一个去旅游.他们最终选择的景点的结果如下表： 男性 女性 甲景点 20 10 乙景点 5 15 （）据此资料分析，是否有99.5%的把握认为选择哪个
8、景点与性别有关？ （）按照游览不同景点用分层抽样的方法，在女职工中选取 5 人， 再从这 5 人中随机抽取 2 人进行采访， 求这 2 人游览的景点不同的概率. 附： 2 2 n adbc K abcdacbd ，nabcd . P（ 2 Kk） 0.010 0.005 0.001 k 6.635 7.879 10.828 18.（12 分） 记数列 n a的前 n 项和为 n S，且满足2 nn San（n N）. （）求 n a的通项公式； （）求证：数列 1 1 n nn a a a 的前 n 项和1 n T . 19.（12 分） 如图，在三棱柱 111 ABCABC中，侧棱垂直于底面
9、，E，F 分别是BC， 11 AC的中点，ABC是边长为 2 的等边三角形， 1 2AAAB. （）求证：EF平面 11 ABB A； （）求点 C 到平面AEF的距离. 20.（12 分） 已知抛物线 C： 2 2ypx（0p ）的准线与 x 轴交于点 A，点2,Mp在抛物线 C 上. （）求 C 的方程； （）过点 M 作直线 l，交抛物线 C 于另一点 N，若AMN的面积为 64 9 ，求直线 l 的方程 21.（12 分） 已知函数 2 ln3f xaxx（aR）. （）求 f x的极值； （）设 2g xxm，若当4a 时， 0f xg x恒成立，求实数 m 的取值范围. （二）选考
10、题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系xOy中，曲线 C 的参数方程为 23cos 1 3sin x y （为参数）.以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为cos2 sin50. （）求曲线 C 的普通方程与直线 l 的直角坐标方程； （）若与 l 平行的直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且在 x 轴上的截距为整数，ABC的面积为2 5， 求直线
11、l 的方程. 23.选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知函数 5352f xxx. （）求不等式 34f xx 的解集； （）若 a，b R， 12 2 ab ，不等式 2 221abf xm恒成立，求实数 m 的取值范围. 焦作市普通高中焦作市普通高中 2019-2020 学年高三年级第四次模拟考试学年高三年级第四次模拟考试 文科数学文科数学 答案答案 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. 1.【答案】C 【命题意图】本题考查集合的概念和运算. 【解析】因为 12Bxx ，所以1,3B ，所以1,AB . 2.【答案】B
12、【命题意图】本题考查复数的基本运算. 【解析】因为1 i2 ii z，所以3 ii z ，所以1 3iz . 3.【答案】B 【命题意图】本题考查等差数列的基本性质. 【解析】由等差数列的性质得 1 1 7 2 2 61527 ad ad ，解得 1 1 2 2 a d ，所以 10 135 10 12 22 a . 4.【答案】C 【命题意图】本题考查学生的数学抽象和计算能力. 【解析】 设基准琴弦的长度为 1， 则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度依次为 2 3 ，8 9 ， 16 27 ，64 81 ， 五根琴弦的长度从大到小依次为 1， 8 9 ， 64 81 ， 2 3 ，
13、16 27 ，所以“角”和“微”对应的琴弦长度分别为 64 81 和 2 3 ， 其长度之比为 32 27 . 5.【答案】A 【命题意图】本题考查函数的性质与图象. 【解析】 因为 2 cos2 2sin xx f x xx （0x ） ， 所以 2 2 cos2 cos2 2sin2sin xx xx fxf x xxxx ， 所以 f x是奇函数， 排除选项 C， D， 因为1x 时，0cos1 1，0sin1 1， 所以 cos1 2 10 2sin1 f ， 排除选项 B. 6.【答案】B 【命题意图】本题考查程序框图的基本逻辑结构. 【解析】第一次循环， 1 1 01 1 S ，1
14、 23n ；第二次循环， 3 1 12 1 S ，3 25n ； 第三次循环， 5 1 23 1 S ，527n ；第四次循环， 7 1 34 1 S ，729n，跳出循 环，输出4S ，故选 B. 7.【答案】D 【命题意图】本题考查空间线面位置关系的判断. 【解析】选项 A，直线 n 可能在平面内，错误；选项 B，如果mn，m，n，那么与平 行或相交， 错误； 选项 C，与相交或平行， 错误； 选项 D，n，nm， 且m， 则必有n， 根据面面垂直的判定定理知，正确. 8.【答案】C 【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质. 【 解 析 】 由 已 知 得 11 3sin3sin 232
15、6 g xxx ， 因 为 3 32 g ， 所 以 3 3sin 32 ， 即 1 s i n 32 ， 所以2 36 k （kZ） 或 5 2 36 k （kZ） ， 因为 2 ，所以 6 . 9.【答案】B 【命题意图】本题考查双曲线的标准方程和几何性质. 【解析】因为AFx轴，所以 2 b AF a ， bc BF a ，又 1 2 AFBF，所以 2 1 2 bbc aa ，即2cb.因 为 222 cab，所以 22 3 4 ac，所以 42 3 33 c e a . 10.【答案】A 【命题意图】本题考查几何概型的计算和应用. 【解析】连接BD交EF于 G，则BDEF，EGFG，
16、所以15ABE.设等边三角形BEF的边长 为2， 所以2cos15AB， 所以正方形ABCD的面积为 2 2 1 cos30 2cos154cos 15423 2 ， 等边三角形BEF的面积为 13 2 23 22 ，故所求的概率 3 2 33 23 P . 11.【答案】D 【命题意图】本题考查解三角形与不等式综合问题. 【解析】由 2 2530xx得 1 2 x 或3x .因为 cos1,1C ，所以 1 cos 2 C ，所以 3 sin 2 C . 由余弦定理得 222 cababab（当且仅当ab时，等号成立）.因为ABC的面积为 4，所以 sin8abC，所以 8 sin ab C
17、 ，所以 16 3 3 ab ，所以 2 c的最小值为16 3 3 . 12.【答案】D 【命题意图】本题考查函数与方程、函数零点个数的判断. 【解析】令 g xf xx，由题意 2 4 35,0, 23,0. xx g xx xxx 画出 g x的图象如图，函数 f xxm 恰有两个不同的零点，即函数 g x的图象与直线ym有两个不同的交点.因为0x 时， 4 354 35x x ，0x时 2 2 23122xxx ，所以4 35m或32m ，故 选 D. 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.【答案】4 【命题意图】本题考
18、查平面向量的坐标运算. 【解析】由已知可得1,1b ，所以 3, 11,14a b . 14.【答案】 11 5 【命题意图】本题考查三角恒等变换的应用. 【解析】因为 4 tan2 3 ，所以 4 sin2cos2 3 ，所以 111 sincos3cos2sin23cos2cos2 23 .因为 2 2 1 1tan 2 cos 2 ， 所以 3 cos2 5 ， 所以 11 sincos3cos2 5 . 15.【答案】 10 10 【命题意图】本题考查异面直线所成角的计算. 【解析】如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，取 1 DD的中点 N，连接EN，FN.因为 E，F，G
19、，H 分别 是AD，AB，BC， 1 CC的中点，由长方体的性质可知GHEN，所以FEN（或其补角）为异面直 线EF与GH所 成 的 角 . 因 为 1 2A AA B， 设 正 方 形ABCD的 边 长 为 a ， 所 以 1 2AAa， 22 2 2 EFAEAFa， 22 5 2 ENDEDNa， 222 3 2 FNADAFDNa.在EFN 中，由余弦定理得 22 2 222 523 222 10 cos 21052 2 22 aaa ENEFFN FEN EN EF aa ，所以异面 直线EF与GH的夹角的余弦值为 10 10 . 16.【答案】 51 2 【命题意图】本题考查椭圆的
20、标准方程和几何性质. 【解析】设椭圆的半焦距为 c.如图，因为AP与圆 O 相切于 P，所以PAOP.因为OFc，OAa， PFx轴 ， 所 以 22 PFbc， 2 PFOFAFc ac， 所 以 22 bcc ac. 因 为 222 abc，所以 22 0aacc，因为 c e a ，所以 2 10ee ，因为 0,1e ，所以 51 2 e . 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.【命题意图】本题考查独立性检验、古典概型的概率计算. 【解析】 （）根据2 2列联表可得， 2 2 50 20 15
21、10 525 8.333 30 20 25 253 K ， 由于8.3337.879，所以有99.5%的把握认为选择哪个景点与性别有关. （）游览甲景点的女职工有 10 人，游览乙景点的女职工有 15 人， 用分层抽样方法抽取 5 人，则游览甲景点的女职工应抽取 2 人，记为 a，b，游览乙景点的女职工应抽取 3 人，记为 A，B，C. 从 5 人中随机抽取 2 人，所有的可能情况有 10 种：ab，aA，aB，aC，bA，bB，bC，AB，AC， BC， 这 2 人游览的景点不同的情况有 6 种：aA，aB，aC，bA，bB，bC. 设接受采访的这 2 人游览的景点不同为事件 A，则 63
22、105 P A . 18.【命题意图】本题考查阶差法求数列通项、裂项相消法求和. 【解析】 （）2 nn San， 当2n时， 11 21 nn San ， 两式相减得 1 21 nn aa ，即 1 121 nn aa . 当1n 时，由 111 21Saa，得 1 1a . 1 n a是以 1 12a 为首项，2 为公比的等比数列，12n n a . 21 n n a. （） 1 1 11 1 2121 1211 212121 2121 21 nn n n nn nnnn nn a a a . 122311 1111111 11 21212121212121 n nnn T . 19.【命
23、题意图】本题考查空间几何体线面关系证明以及点到平面距离的求法. 【解析】 （）如图，取AB的中点 D，连接DE， 1 AD. 因为 E 是BC的中点， 所以DEAC，且 1 2 DEAC. 由三棱柱的性质知 11 ACAC. 因为 F 是 11 AC的中点， 所以 1 AFAC，且 1 1 2 AFAC， 所以 1 AFDE，且 1 AFDE， 所以四边形 1 DEFA是平行四边形. 所以 1 EFDA. 因为EF 平面 11 ABB A， 1 DA 平面 11 ABB A， 所以EF平面 11 ABB A. （）由题可得 2 1 11132 3 42 33243 FACEACE VAAS .
24、 在AEF中，3AE ，17AF ，17EF ， AE边上的高为 2 365 17 22 ， 所以 165195 3 224 AEF S . 设点 C 到平面AEF的距离为 h， 则 12 3 33 C AEFAEF VhS ， 解得 8 65 65 h . 20.【命题意图】本题考查抛物线方程的求法以及直线与抛物线的位置关系. 【解析】 （）因为点2,Mp在抛物线 C： 2 2ypx上， 所以 2 4pp，所以4p 或0p （舍去） ， 所以抛物线 C 的方程为 2 8yx. （）由（）知抛物线 C 的方程为 2 8yx，2,4M，2,0A ， 所以直线MA的方程为20xy，且4 2MA .
25、 所以点 N 到直线MA的距离 216 2 9 AMN S d MA . 设 N 点的坐标为 2 0 0 , 8 y y ， 则 2 0 0 2 816 2 92 y y d . 解得 0 28 3 y 或 0 4 3 y . 即 N 点的坐标为 98 28 , 93 或 24 , 93 . 若取 98 28 , 93 N ，则 28 4 3 3 98 5 2 9 MN k ， 直线 l 的方程为 3 42 5 yx，即35140xy. 若取 24 , 93 N ，则 4 4 3 3 2 2 9 MN k ， 直线 l 的方程为432yx，即320xy. 所以直线 l 的方程为35140xy或
26、320xy 21.【命题意图】本题考查函数极值的求法、利用导数研究函数性质以及不等式证明综合问题. 【解析】 （）由条件得 f x的定义域为0,， 2 6 6 axa fxx xx （0x ）. 当0a时、 0fx，所以 f x在0,上单调递增. 当0a时，令 2 60xa，得 6 a x （负值舍去） ， 因为当0 6 a x时 0fx，当 6 a x 时， 0fx， 所以 f x在0, 6 a 上单调递减，在, 6 a 上单调递增. 综上，当0a时， f x无极值； 当0a时， f x有极小值 1 lnln6 6222 aaa faa ，无极大值. （）当4a 时， 2 4ln3f xxx
27、. 设 2 4ln32h xf xg xxxxm（0x ）. 则 2 32224624 62 xxxx h xx xxx （0x ）. 令 0h x，得1x ， 因为当01x时， 0h x，当1x 时 0h x， 所以 h x的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,， 所以 h x的极小值也是最小值为 11hm 因为 0f xg x在0,上恒成立， 所以10m，即1m， 故实数 m 的取值范围为1, . 22.【命题意图】本题考查参数方程、极坐标方程等转化问题，直线与圆的位置关系. 【解析】 （）曲线 C 的参数方程 23cos 1 3sin x y ，化为普通方程为 22 219xy. 由
28、cos2 sin50，cosx，siny可得， 直线 l 的直角坐标方程为250xy. （）由（）知 l 的直角坐标方程为250xy，2,1C . 设直线 l ：20xym，由题知mZ. 所以 C 到直线 l 的距离 224 55 mm d ， 所以 2 4 2 9 5 m AB ， 所以 2 441 2 92 5 255 mm ， 整理得 22 44545000mm，所以 2 420m或 2 425m， 因为mZ，所以1m或9m. 所以直线 l 的方程为210xy 或290xy. 23.【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式的应用 【解析】 （）由题意得 2 1, 5 23 105, 55 3 1,. 5 x f xxx x 所以不等式 3 4f xx 可化为 2 5 134 x x 或 23 55 10534 x xx 或 3 5 134 x x 解得1x . 所以不等式 34f xx 的解集为1,. （） 5352532 51f xxxxx . 因为 a，b R， 12 2 ab ， 所以 1121414 224424 222 aba b abab abbaba . 当且仅当 4ab ba ，即1a ，2b时取等号. 因为 2 221abf xm恒成立， 所以 2 4121m ，解得11m ， 所以实数 m 的取值范围是1,1.
