1、 2020 年丹东市高三总复习质量测试（二） 理科数学 命题： 本试卷共 23 题，共 150 分， 共 5 页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹 清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上 答题无效. 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、
2、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1. 已知集合 2 |20Ax xx，3, 2, 1,0,1,2,3B ，则AB （ ） A. 3, 2 B. 3, 2,3 C. 1,0,1,2 D. 3, 2,2,3 2. “ 22 loglogab”是“ab”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知复数 2 1 1 1 ia za ii 为纯虚数，则实数a（ ） A. 0 B. 1 C. 1 D. -1 4. 天文学家开普勒的行星
3、运动定律可表述为：绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的半长轴a的三次方 跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即 3 2 a k T ， 2 4 GM k ，其中M为中心天体质量，G为引力常 量，已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为 1.5 亿千米，地球的公转周期为 1 年，距离太 阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的半长轴长约为 60 亿千米，取103.1，则冥王星的公 转周期约为（ ） A. 157 年 B. 220 年 C. 248 年 D. 256 年 5. 已知平面向量a，b满足0abab，那么a与b的夹角为（ ） A. 3 B. 2 3 C. 6 D. 5 6
4、 6. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. yx B. 3xy C. 1 yx x D. 3 yx 7. 下图是某圆锥的三视图，其正视图是一个边长为 1 的正三角形，该圆锥表面上的点M，N在正视图上 的对应点分别是A，B.则在此圆锥的侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 2 8. 在ABC中， 1 cossin 5 AA，则tan 4 A （ ） A. 7 B. 1 7 C. 7 D. 1 7 9. 5 名志愿者中有组长和副组长各 1 人，组员 3 人，社区将这 5 人分成两组，一组 2 人，一组 3 人，去两 居民小区进行
5、疫情防控巡查，则组长和副组长不在同一组的概率为（ ） A. 1 10 B. 1 5 C. 2 5 D. 3 5 10. 已知函数 2 ,01 ln ,1 xx f x x x ，若存在实数s，t满足0st ，且 f sf t，则4ts的最小值 为（ ） A. 1 B. 2 1e C. 2ln2 D. 22ln2 11. 已知F为双曲线C： 22 22 10 xy ab ab 的一个焦点，过F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为点 A，l与C的另一条渐近线交于点B，若3ABa，则C的离心率为（ ） A. 2 B. 6 2 C. 2 3 3 D. 15 3 12. 关于函数( )sin(0) 6 f
6、xx ，有下述四个结论： 若 f x在0,内单调递增，则 1 0, 3 . 若 f x在0,内单调递减，则 1 , 3 . 若 f x在0,内有且仅有一个极大值点，则 1 7 , 3 3 . 若 f x在0,内有且仅有一个极小值点，则 1 10 , 3 3 . 其中所有正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 某医院职工总数为 200 人，在 2020 年 1 月份，每人约有 25 次到超市或市场购物，为调查职工带口罩购 物的次数，随机抽取了 40 名职工进行调查，得到这个月职工带口罩购物次数的频率分布直方图，根据该直
7、 方图估计，2020 年 1 月份，该院职工带口罩购物次数不低于 15 次的职工人数约为_. 14. ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 222 2cabab， 3 sin 3 C ，则B _. 15. 经过抛物线C： 2 20ypx p的焦点F，倾斜角为30的直线l与C交于A，B两点，若线段AB 的中点M的横坐标为 7，那么p _. 16. 已知球O在正方体 1111 ABCDABC D内，且与该正方体的六个面都相切，E为底面正方形ABCD的 中心， 1 AE与球O表面相交于点F，若2AB ，则EF的长为_. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第
8、1721 题为必考题，每个试题考生都 必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 在数列 n a中， 1 1 2 a ， 1 (42)(21) nn nana . （1）设 21 n n a b n ，证明： n b是等比数列，并求 n a的通项公式； （2）设 n S为数列 n a的前n项和，证明：3 n S . 18. 如图，在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，四边形ABCD是菱形，点E在线段PC上. （1）证明：平面EBD 平面PAC； （2）若60ABC，二面角BPCD的余弦值为 4 5 ，求 AB PA 的值. 19. 201
9、9 年 10 月，工信部颁发了国内首个5G无线电通信设备进网许可证，标志着5G基站设备将正式接入 公用电信商用网络.某4G手机生产商拟升级设备生产5G手机， 有两种方案可供选择， 方案 1： 直接引进5G 手机生产设备；方案 2：对已有的4G手机生产设备进行技术改造，升级到5G手机生产设备.该生产商对未 来5G手机销售市场行情及回报率进行大数据模拟，得到如下统计表： 市场销售状态 畅销 平销 滞销 市场销售状态概率 2p 1 3p p 预期年利润数值 （单位：亿元） 方案 1 70 40 -40 方案 2 60 30 -10 （1）以预期年利润的期望值为依据，就p的取值范围，讨论该生产商应该选
10、择哪种方案进行设备升级？ （2） 设该生产商升级设备后生产的5G手机年产量为x万部， 通过大数据模拟核算， 选择方案 1 所生产的5G 手机年度总成本 2 1 0.00020.250yxx（亿元） ，选择方案 2 所生产的5G手机年度总成为 2 2 0.00010.160yxx（亿元）.已知0.2p ，当所生产的5G手机市场行情为畅销、平销和滞销时， 每部手机销售单价分别为 0.8 万元，0.8 0.001x（万元） ，0.8 0.002x（万元） ，根据（1）的决策，求 该生产商所生产的5G手机年利润期望的最大值？并判断这个年利润期望的最大值能否达到预期年利润数 值. 20. 设函数 ln
11、x f xeaxa. （1）设1x 是 f x的极值点，求a，并讨论 f x的单调性； （2）若0ae，证明：在区间,1 a e 内， f x存在唯一的极小值点 0 x，且 0 0f x. 21. 已知椭圆C： 22 22 10 xy ab ab 经过点 1 3, 2 P ，两个焦点为 1 3,0F ， 2 3,0F. （1）求C的方程； （2）设圆D： 222 xyrbra，若直线l与椭圆C，圆D都相切，切点分别为A和B，求AB的 最大值. （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直
12、角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 13 3 xt yt （t为参数）.以O为极点，以x轴正半轴为 极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程 22 1 sin2. （1）求曲线 1 C的极坐标方程； （2）设A，B为曲线 2 C上位于x轴上方的两点，且OAOB，射线OA，OB分别与 1 C相交于点D和 点C，当AOB面积取最小值时，求四边形ABCD的面积. 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 11f xxa xxxa. （1）若0a，求不等式 0f x 的解集； （2）当0x时， 0f x ，求实数a的取值范围. 2020 年丹东市高三总复习质量测试（二） 理科数学答案 一
13、、选择题 1-5：BACCB 6-10：DDADD 11-12：CA 二、填空题 13. 60 14. 6 15. 2 16. 2 6 3 三、解答题： 17. 解： （1）因为 1 1 21 n n a b n ，所以 11 (21)1 (21)2 nn nn bna bna . 又 1 1b ，所以 n b是首项为 1 2 ，公比为 1 2 的等比数列. 于是 1 1 11 212 22 n n n n a b n ，故 21 2 n n n a . （2） 23 13521 2222 n n n S . 两边同乘以 1 2 得 2341 113521 22222 n n n S . 以上
14、两式相减得 21 1111121 222222 n nn n S 1 111 121 222 1 22 1 2 n n n . 故 23 33 2 n n n S . 18. 解法 1： （1）因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD.因为PA 平面ABCD，所以PABD. 因为PAACA，所以BD 平面PAC.因为BD 平面EBD，所以平面EBD 平面PAC. （2）因为PA 底面ABCD，四边形ABCD菱形，所以PBPD，PBCPDC，取点E满足 BEPC，则DEPC，所以BED是二面角BPCD的平面角. 设2AB ，PAt，因为60ABC，所以2AC ，2 3BD ，则 2 4PBPDPC
15、t. 所以等腰PBC面积为 2 1 3 2 t，所以 2 11 3 22 PC BEt， 2 2 3 4 t DEBE t . 2222 2 212 cos 2412 BEDEBDt BED BE DEt ，由 2 2 2124 4125 t t 得 2 2t ，2t . 于是2 AB PA . 解法 2： （1）同解法 1. （2）因为BDAC，设BDACO，分别以OB，OC为x轴，y轴，以平行于PA的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 设2AB ，PAt，则 3,0,0B，0,1,0C， 3,0,0D ，0, 1,Pt， 3, 1,0CB ， 3, 1,0CD ，0, 2
16、,CPt. 设平面PBC的一个法向量为 111 ,mx y z， 则 0 0 m CB m CP ， 即 11 11 30 20 xy ytz ， 可取 , 3 ,2 3mtt. 设平面PDC的一个法向量为 222 ,nxy z，则 0 0 n CD n CP ，即 22 22 30 20 xy ytz 可取 , 3 ,2 3ntt . 2 2 212 cos, 412 t m n t ，因为 4 cos, 5 m n，所以 2 2t ，2t . 于是2 AB PA . 19. 解： （1）由 021 01 31 01 p p p ，可得p的取值范围为 1 0 3 p. 方案 1 的预期平均年
17、利润期望值为 1 270(1 3 ) 40( 40)4020Epppp . 方案 2 的预期平均年利润期望值为 2 260(1 3 ) 30( 10)3020Epppp . 当 1 0 4 p时， 12 EE，该手机生产商应该选择方案 1； 当 1 4 p 时， 12 EE，该手机生产商可以选择方案 1，也可以以选择方案 2； 当 11 43 p时， 12 EE，该手机生产商应该选择方案 2； （2）因为 1 0.20, 4 p ，该手机生产商将选择方案 1，此时生产的5G手机的年度总成本为 2 1 0.00020.250yxx（亿元）. 设市场行情为畅销、平销和滞销时的年销售额分别为 1 X
18、， 2 X， 3 X（万元） ， 那么 1 0.8Xx， 2 2 0.80.001Xxx， 2 3 0.80.002Xxx. 因为0.2p ，所以手机生产商年利润X的分布列为 X 0.8x 2 0.80.001xx 2 0.80.002xx P 0.4 0.4 0.2 所以 22 ()0.4 0.80.40.80.0010.20.80.002E Xxxxxx 2 0.00080.8xx . 年利润期望值 2 1 ( )()0.0010.650f xE Xyxx （亿元）. 当300x时，年利润期望 f x取得最大值 40 亿元. 方案 1 的预期平均年利润期望值为40 20 0.236（亿元）
19、. 因为4036，因此这个年利润期望的最大值可以达到预期年利润数值. 20. 解法 1： （1） f x定义域为0,， x a efx x . 由题设 10f，所以ae. 此时( ) x e fxe x ，当01x时， 0fx ， f x单调递减，当1x 时， 0fx ， f x单调 递增，所以1x 是 f x的极小值点. 综上，ae， f x在单调区间是0,1，在单调递增区间是1,. （2）因为0ae，所以 x a efx x 在,1 a e 内单调递增. 因为0 e a a fee e ，(1)0fea，所以存在 0 ,1 a x e ，使得 0 0fx. 当 0 , a xx e 时，
20、0fx ，当 0,1 xx时， 0fx ，所以 f x在 0 , a x e 上单调递减，在 0,1 x 上单调递增，所以 f x在区间,1 a e 内有唯一的极小值点 0 x，没有极大值点. 由 0 0fx得 0 0 x ax e，于是 0 0000 1ln x f xexxx. 因为当 0 1 a x e 时， 000 1ln0xxx，所以 0 0f x. 综上， f x在区间,1 a e 内有唯一的极小值点 0 x，没有极大值点，且极小值为正. 解法 2： （1）同解法 1. （2）因为0ae，所以 x a efx x 在,1 a e 内单调递增. 因为0 e a a fee e ，(1
21、)0fea，所以存在 0 ,1 a x e ，使得 0 0fx. 当 0 , a xx e 时， 0fx ，当 0,1 xx时， 0fx ，所以 f x在 0 , a x e 上单调递减，在 0,1 x 上单调递增，所以 f x在区间,1 a e 内有唯一的极小值点 0 x，没有极大值点. 由 0 0fx得 0 0 x a e x ，进一步 00 lnlnxax. 从而 0 000 0 lnln x a f xeaxaaxaaa x 0 0 2ln(1 ln )0 a axaaaaa x . 综上， f x在区间,1 a e 内有唯一的极小值点 0 x，没有极大值点，且极小值为正. 21. 解
22、法 1： （1）由题意3c ，所以 22 3ab，C的方程可化为 22 22 1(0) 3 xy b bb . 因为C的经过点 1 3, 2 ，所以 22 31 1 34bb ，解得 2 1b ，或 2 3 4 b （舍去）. 于是C的方程为 2 2 1 4 x y. （2）设l：ykxm，代入 2 2 1 4 x y得 222 418440kxkmxm. 由 22 16 410km ，得 22 14mk . 设 00 ,A x y，则 0 2 44 41 kmk x km ， 00 1 ykxm m . 因为l与圆D相切，所以圆心D到l距离 2 1 m r k ，即 222 1mrk. 由得
23、 2 2 2 3 4 r m r ， 2 2 2 1 4 r k r . 所以圆D的切线长 22 2222 00 41k xyrr mm AB 2 2 4 5r r . 因为 22 22 44 24rr rr ，当2r 时取等号，因为21,2r ，所以AB的最大值为 1. 解法 2： （1）由椭圆定义得 12 2aAFAF 22 22 11 ( 33)0( 33)0 22 4. 所以2a，因为3c ，所以 222 1bac，于是C的方程为 2 2 1 4 x y. （2）设l：ykxm，代入 2 2 1 4 x y得 222 418440kxkmxm. 由 22 16 410km ，得 22
24、14mk . 设 11 ,A x y，则 1 2 44 41 kmk x km . 将ykxm代入 222 xyr得 2222 120kxkmxmr. 由 2222 40r krm ，得 222 1mrk. 由得 2 2 2 1 4 r k r . 设 22 ,B x y，则 2 2 2 1 kmkr x km . 22 22222 2 12 22 144 1 kkrkr kx mr ABx 2 2 4 5r r . 因为 22 22 44 24rr rr ，当2r 时取等号，因为21,2r ，所以AB的最大值为 1. 22. 解法 1： （1）消去 13 3 xt yt 中的参数t得34xy
25、. 将cosx，siny代入得 1 C的极坐标方程为sin2 6 . （2）不妨设 1, A ， 2, 2 B ， 3, D ， 4, 2 C ， 则 1 2 2 1 sin ， 2 2 2 1 cos . AOB面积为 12 2 112 231 2sin 2 4 ， 4 时，AOB面积取最小值为 2 3 . 此时 3sin 2 46 ， 4cos 2 46 ， 34 55 sincos4 1212 ，可得 34 16 ，COD面 积为 34 1 8 2 ，因此四边形ABCD的面积为 222 8 33 . 解法 2： （1）同解法 1 . （2）不妨设 1, A ， 2, 2 B ， 3, D
26、 ， 4, 2 C ， 则 2 1 2 2 1 sin ， 2 2 2 2 1cos ，于是 22 12 113 2 . 因为 22 1212 112 ，所以 12 4 3 ，AOB面积为 12 12 23 ，当 12 ， 4 时取等号， 所以AOB面积最小值为 2 3 . 此时 3sin 2 46 ， 4cos 2 46 ， 34 55 sincos4 1212 ，可得 34 16 ，COD面 积为 34 1 8 2 ，因此四边形ABCD的面积为 222 8 33 . 23. 解： （1）当0a时， 11f xx xxx，不等式 0f x 的解集是以下三个不等式组解集的并集： 2 1 20 x x 或 01 20 x x 或 2 0 20 x x . 解得不等式 0f x 的解集为|0x x . （2）由（1）可知当0a时，满足题意. 当0a时，若0ax ， 110f xxaxxxaxa. 当0a时，若0x， 1120f xxaxxxax xa. 综上，当0x时， 0f x ，则实数a的取值范围为,0.
