1、随机信号分析随机信号分析教学教学组组1随机信号分析随机信号分析 随机信号分析随机信号分析教学教学组组2课程内容及安排课程内容及安排 课程地位：学习通信原理、移动通信等专业课的先修课程.主要内容G 随机过程(1011次课)G 平稳随机过程谱分析(34次课)G 随机过程通过线性系统(34次课)G 随机过程通过非线性系统(23次课)学习方法：信号与系统+随机过程 考核形式G 作业 20%G 考试 80%随机信号分析随机信号分析教学教学组组3概概 率率 论论 随机信号分析随机信号分析教学教学组组4经典概率问题经典概率问题一维随机变量一维随机变量二维随机变量二维随机变量随机变量数字特征随机变量数字特征概
2、率分布函数、概率密度函数和一维随机变量函数分布概率分布函数、概率密度函数和二维随机变量函数分布概率空间、全概率公式和贝叶斯公式数学期望、方差和各阶矩极限定理极限定理切比雪夫不等式、弱大数定律、中心极限定理等特征函数特征函数随机过程随机过程主主 要要 内内 容容随机信号分析随机信号分析教学教学组组5主要内容：主要内容：v随机变量的数字特征随机变量的数字特征 v随机变量函数的分布随机变量函数的分布 v随机变量的特征函数随机变量的特征函数 随机信号分析随机信号分析教学教学组组6随机变量数字特征随机变量数字特征 随机信号分析随机信号分析教学教学组组7数数 学学 期期 望望 dxxxfxxPXEx)(离
3、散随机变量连续随机变量随机变量Y=g(X)()gyyP yE Yx f x dx离散随机变量连续随机变量随机信号分析随机信号分析教学教学组组8数数 学学 期期 望望(续续1)注：Y=aX1+bX2Y=X1X2 21aXbEXEYE 21XEXEYEX1和X2相互独立时随机信号分析随机信号分析教学教学组组9数数 学学 期期 望望(续续2)例1-4-20240.10.20.10.40.2随机变量X服从下表分布，求EX和EX204160.10.60.3Y=X2的概率分布为EX=0.8EY=7.2随机信号分析随机信号分析教学教学组组10各阶矩各阶矩(中心矩、原点矩中心矩、原点矩)dxxfxxPxXEk
4、xkk)(原点矩 kE X EX中心矩k=2 2E X E X方差随机信号分析随机信号分析教学教学组组11随机变量函数分布随机变量函数分布 随机信号分析随机信号分析教学教学组组12一维随机变量函数分布一维随机变量函数分布随机变量Y是随机变量X的单调函数，并存在反函数X=h(Y)，则 yhyhfyfXY情况情况1：情况情况2：随机变量Y是随机变量X的多值函数，假设一个Y值对应两个X值，且X1=h1(Y)和X2=h2(Y)，则 yhyhfyhyhfyfXXY2211随机信号分析随机信号分析教学教学组组13一维随机变量函数分布一维随机变量函数分布(例例)例2 设随机变量X服从正态分布N(0,1)，求
5、随机变量Y=X2的概率密度。解：Y=X2YXydydx21 2221xXexf yeyeyfyyY212121212222121yey=随机信号分析随机信号分析教学教学组组14一维随机变量函数分布一维随机变量函数分布(例续例续)0,00,21221yyeyyfyY2分布随机信号分析随机信号分析教学教学组组15二维随机变量函数分布二维随机变量函数分布已知二维随机变量(X1,X2)的概率分布,g(x1,x2)为已知的二元函数，Z=g(X1,X2)求：Z 的概率分布？当(X1,X2)为连续型随机变量时，)()(zZPzFZ),(21zXXgPzDdxdxxxf2121),(),(|),(:2121z
6、xxgxxDz其中随机信号分析随机信号分析教学教学组组16二维随机变量函数分布二维随机变量函数分布(续续)新问题：新问题：已知随机变量已知随机变量X1和和X2的联合概率密度为的联合概率密度为21,21xxfXX求随机变量Y1=g1(X1,X2)和Y2=g2(X1,X2)的联合概率密度?单值变换函数JxxfyyfXXYY2121,2121X1=h1(Y1,Y2)和X2=h2(Y1,Y2)22122111yhyhyhyhJ随机信号分析随机信号分析教学教学组组17例例3 已知(X1,X2)的联合密度函数为其他,00,10,3),(121121xxxxxxfY=X1+X2,求 f Y(y)令221XZ
7、XXYZXZYX211|1011|J二维随机变量函数分布二维随机变量函数分布(例例)解：解：随机信号分析随机信号分析教学教学组组181),(),(zzyfzyfYZ其他,00,10),y(3zyzzyz其他,010,12),(3zzyzzy2zyy=2zy=z+1y=z11随机信号分析随机信号分析教学教学组组19dzZYfYfYZY),()(其他,021,4123)(310,89)(322122y0yydzzyyydzzyyyy=2z2zyy=z+1随机信号分析随机信号分析教学教学组组20二维随机变量函数分布二维随机变量函数分布(例例)例例4 已知 X1 和X2是两个独立的正态分布随机变量)1
8、,0(1NX)1,0(2NX求求随机变量随机变量Z和和的联合概率密度。的联合概率密度。2221XXZ12arctanXX其中其中解：解：cos1ZXinZXs2|2211xzxxzxJ|cossinsincos|zzz随机信号分析随机信号分析教学教学组组21二维随机变量函数分布二维随机变量函数分布(例例)21,21xxfJzfXXZ222zez222212xxez 20,dzfzfZZ22zze 0,dzzffZ21平面直角坐标上的两个彼此独立分布的正态随机变量，平面直角坐标上的两个彼此独立分布的正态随机变量，经极坐标变换后，其模服从瑞利分布，相位服从均匀分布经极坐标变换后，其模服从瑞利分布，
9、相位服从均匀分布且模和相位两个随机变量是相互独立的且模和相位两个随机变量是相互独立的瑞利分布瑞利分布均匀分布均匀分布随机信号分析随机信号分析教学教学组组22二维随机变量函数分布二维随机变量函数分布(例例)例例5 已知 X1 和X2是两个独立的正态分布随机变量),0(211XNX求随机变量Y1和Y2的联合概率密度。sin-cos211XXY cossin212XXY其中),0(222XNX 021YEYE22222211sincosXXY22222122sincosXXY随机信号分析随机信号分析教学教学组组23二维随机变量函数分布二维随机变量函数分布(例续例续)212121YYYYYYRr212
10、1cossin2221YYXXRYYEsincos211YYXcoss212YinYX1|22122111yhyhyhyhJ随机信号分析随机信号分析教学教学组组24二维随机变量函数分布二维随机变量函数分布(例续例续)2121,2121xxfJyyfXXYY2222212121exp21XXXXxxJ222122212121cossinsincosexp21XXXXyyyy随机信号分析随机信号分析教学教学组组25二维随机变量函数分布二维随机变量函数分布(例续例续)222212212221211212121expYYYYYYYYyyyryr221212121121,YYYYYYryyf 2exp2
11、1121yyYmyKmyKyTf推广至推广至n维高斯随机向量维高斯随机向量随机信号分析随机信号分析教学教学组组26随机变量特征函数随机变量特征函数 随机信号分析随机信号分析教学教学组组27特征函数的定义特征函数的定义定义：定义：ejuX的数学期望定义为随机变量X的特征函数CX(u)X为离散随机变量时，其特征函数为 ijuxjuXXiiCuE eeP XxX为连续随机变量时，其特征函数为 juXjuxXXCuE eefx dx duuCexfXjuxX21随机信号分析随机信号分析教学教学组组28特征函数的定义特征函数的定义(例例)例例6 设随机变量 X服从正态分布N(0,1)，求它的特征函数。d
12、xxfeuCXjuxXdxeexjux2221dxeejuxu22222122ue随机信号分析随机信号分析教学教学组组29特征函数性质特征函数性质 10 XXCuC(1)随机变量X的特征函数CX(u)满足(2)随机变量X的特征函数为CX(u)，则 Y=aX+b的特征函数为 jubYXCueCau(3)独立随机变量X1和X2的特征函数分别为CX1(u)和CX2(u)，则 Z=X1+X2的特征函数为 uCuCuCXXZ21给出一种求独立随机变量和的分布新方法。给出一种求独立随机变量和的分布新方法。duuCezfZjuz21Z随机信号分析随机信号分析教学教学组组30特征函数与概率密度之间的关系特征函
13、数与概率密度之间的关系一维随机变量X的函数Y=g(X)的概率密度 dyyfeuCYjuyY dxxfeeEeEuCXxjugXjugjuYY()juyXefh yhy dy ()YXfyfh yhy随机信号分析随机信号分析教学教学组组31特征函数与概率密度之间的关系特征函数与概率密度之间的关系(例例)2,2例例7 设随机变量 X在之间均匀分布 其他,022,1xxfX求求Y=sin X的概率密度函数 dxxfeeEdyyfeuCXxjuXjuYjuyYsinsinxdxdycosdyydyxdx211cos1随机信号分析随机信号分析教学教学组组32特征函数与概率密度之间的关系特征函数与概率密度
14、之间的关系(例例)其它,01,112yyyfY 11211dyyedyyfeuCjuyYjuyY随机信号分析随机信号分析教学教学组组33特征函数与各阶矩之间的关系特征函数与各阶矩之间的关系 dxxfeuCXjuxX dxxfjxeduudCXjuxX xjEdxxjxfduudCXuX0 0uXduudCjxE随机信号分析随机信号分析教学教学组组34特征函数与各阶矩之间的关系特征函数与各阶矩之间的关系(续续)dxxfexjduuCdXjuxnnnXn nnXnnunXnxEjdxxfxjduuCd0 0unXnnnduuCdjxE随机信号分析随机信号分析教学教学组组35特征函数作用特征函数作用
15、可以简化各阶矩的运算可以简化各阶矩的运算可以简化一维随机变量函数的运算可以简化一维随机变量函数的运算可以简化独立随机变量和的分布的计算可以简化独立随机变量和的分布的计算单单值值函函数数随机信号分析随机信号分析教学教学组组36随机过程随机过程 随机信号分析随机信号分析教学教学组组37本章主要内容：本章主要内容：v随机过程的基本概念随机过程的基本概念 v随机过程的数字特征随机过程的数字特征 v随机过程的微分和积分计算随机过程的微分和积分计算 v随机过程的平稳性和遍历性随机过程的平稳性和遍历性 v随机过程的相关函数及其性质随机过程的相关函数及其性质 v复随机过程复随机过程 v正态过程正态过程 v马尔
16、可夫链马尔可夫链 v泊松过程泊松过程 随机信号分析随机信号分析教学教学组组381.1 随机过程的基本概念及统计特性随机过程的基本概念及统计特性 基本要求：基本要求：深入理解随机过程的定义深入理解随机过程的定义 了解随机过程的几种分类了解随机过程的几种分类 理解随机过程的概率分布理解随机过程的概率分布 掌握随机过程的数字特征计算方法掌握随机过程的数字特征计算方法 了解随机过程的特征函数了解随机过程的特征函数 随机信号分析随机信号分析教学教学组组39一、一、定义定义 对接收机的噪声电压作观察对接收机的噪声电压作观察 随机信号分析随机信号分析教学教学组组401 样本函数：样本函数：，都是，都是时间的
17、函数，称为样本函数。时间的函数，称为样本函数。)(1tx)(2tx)(3tx)(txn2 随机性：随机性：一次试验，随机过程必取一个样一次试验，随机过程必取一个样本函数，但所取的样本函数带有随机性。因本函数，但所取的样本函数带有随机性。因此，随机过程不仅是时间此，随机过程不仅是时间t 的函数，还是可的函数，还是可能结果的函数，记为能结果的函数，记为 ，简写成，简写成 。),(tX)(tX随机信号分析随机信号分析教学教学组组41定义定义2 2：若对于每个特定的时间若对于每个特定的时间 ，都是随机变量，则称都是随机变量，则称 为随机过程，为随机过程，称为随机过程称为随机过程 在在 时刻的状态。时刻
18、的状态。),2,1(iti),(itX),(tX),(itXitt)(tX3.随机过程的定义：随机过程的定义：定义定义1 1：设随机试验设随机试验E E的样本空间的样本空间 ，若对于，若对于每个元素每个元素 ，总有一个确知的时间函数，总有一个确知的时间函数 与它对应，与它对应，。对于所有的对于所有的 ，就可以得，就可以得到到一簇时间一簇时间t的函数的函数，称它为随机过程。簇中的，称它为随机过程。簇中的每一个函数称为样本函数。每一个函数称为样本函数。SSS),(tXTtTt随机信号分析随机信号分析教学教学组组424.定义的理解定义的理解：上面两种随机过程的定义，从两个角度描上面两种随机过程的定义
19、，从两个角度描述了随机过程。述了随机过程。作观测时，作观测时，常用定义常用定义1，通过观测的试验，通过观测的试验样本可得到随机过程的统计特性；样本可得到随机过程的统计特性；理论分析时，理论分析时，常用定义常用定义2，可把随机过程，可把随机过程看成为看成为n 维随机变量，维随机变量，n越大，采样时间越小，越大，采样时间越小，所得到的统计特性越准确。所得到的统计特性越准确。随机信号分析随机信号分析教学教学组组43理解：理解：一个时间函数族一个时间函数族 一个确知的时间函数一个确知的时间函数一个随机变量一个随机变量一个确定值一个确定值t 1 和和 都是变量都是变量t2 2 是变量而是变量而 固定固定
20、3 固定而固定而 是变量是变量 t4 和和 都固定都固定 t随机信号分析随机信号分析教学教学组组44随机变量随机变量 与时间无关与时间无关 随机过程随机过程 与时间相关的一族随机变量与时间相关的一族随机变量 随机信号分析随机信号分析教学教学组组45例例1 设具有随机初始相位的正弦波 0cos,X tAtt 其中A与0是正常数，在0 2，之间服从均匀分布。判断X(t)是否为一随机过程。解：(1)固定时间t，X(t)是随机变量，X tt ，是一族随机变量(2)对随机变量做一次试验得到一个结果，0cosX tAt是随时间变化的函数，即样本函数。X(t)是一随机过程。是一随机过程。随机信号分析随机信号
21、分析教学教学组组46二、二、随机过程分类随机过程分类 1.按随机过程的时间和状态来分类按随机过程的时间和状态来分类(1)连续型随机过程连续型随机过程：时间时间t取值连续，取值连续，且对且对随机过程任一时刻随机过程任一时刻 的取值的取值 都是都是连续型连续型随机变量随机变量。1t)(1tX(2)离散型随机过程：离散型随机过程：时间时间t取值连续，取值连续，且对且对随机过程任一时刻随机过程任一时刻 的取值的取值 都是都是离散型离散型随机变量。随机变量。1t)(1tX随机信号分析随机信号分析教学教学组组47(4)离散随机序列：离散随机序列：随机过程的随机过程的时间时间t只能取只能取某些时刻某些时刻，
22、如，如 ，2 ，.，n ，且这，且这时得到的随机变量时得到的随机变量 是是离散型随机变离散型随机变量量，即时间和状态是离散的。，即时间和状态是离散的。相当于采样相当于采样后再量化后再量化。t t t)(tnX(3)连续随机序列：连续随机序列：随机过程的随机过程的时间时间t只能取只能取某些时刻，某些时刻，如如 ，2 ，.，n ，且这，且这时得到的随机变量时得到的随机变量 是是连续型随机变连续型随机变量量，即时间是离散的。，即时间是离散的。相当于对连续型随相当于对连续型随机过程的采样。机过程的采样。t t t)(tnX 随机信号分析随机信号分析教学教学组组482.按样本函数的形式来分类按样本函数的
23、形式来分类 不确定的随机过程：不确定的随机过程：随机过程的任意样本随机过程的任意样本函数的值不能被预测。例如接收机噪声电压函数的值不能被预测。例如接收机噪声电压波形。波形。确定的随机过程：确定的随机过程：随机过程的任意样本函随机过程的任意样本函数的值能被预测。例如，样本函数为正弦信数的值能被预测。例如，样本函数为正弦信号。号。随机信号分析随机信号分析教学教学组组49例例2 设随机过程定义为：2,1,01,nnTtTnAAtX或其中A与-A等概出现，T为一正常数，(1)画出典型的样本函数图形。(2)将此过程归类。(3)该过程是确定性过程吗？离散型随机过程离散型随机过程不是确定性随机过程不是确定性
24、随机过程随机信号分析随机信号分析教学教学组组50例例3 离散型随机过程的样本函数皆为常数，即X(t)=C=可变常数，其中C为随机变量，其可能值为C1=1，C2=2和C3=3，它们分别已概率0.6、0.3及0.1出现。X(t)是确定性过程吗？X(t)是确定性随机过程是确定性随机过程随机信号分析随机信号分析教学教学组组51 3.按概率结构和特性分类按概率结构和特性分类 按分布函数或概率密度函数：按分布函数或概率密度函数：正态随机过正态随机过程、泊松随机过程等程、泊松随机过程等 按平稳性：按平稳性：平稳随机过程、非平稳随机过程平稳随机过程、非平稳随机过程 按遍历性：按遍历性：遍历随机过程、非遍历随机
25、过程遍历随机过程、非遍历随机过程 按功率谱密度特性：按功率谱密度特性：宽带随机过程、窄带随机宽带随机过程、窄带随机过程等过程等随机信号分析随机信号分析教学教学组组52三、三、随机过程的概率分布随机过程的概率分布 1.一维概率分布一维概率分布 随机过程随机过程X(t)在任意在任意ti T的取值的取值X(ti)是一维随机是一维随机变量。记为变量。记为Fx(xi；ti)=PX(ti)xi为随机过程为随机过程 X(t)的的一维分布函数。一维分布函数。若若 的偏导数存在，则有的偏导数存在，则有(,)(,)XiiXiiiFx tfx tx),(txFX随机信号分析随机信号分析教学教学组组532.二维概率分
26、布二维概率分布 FX(x1,x2;t1,t2)=P X(t1)x1,X(t2)x2 为了描述为了描述S.P在任意两个时刻在任意两个时刻t1和和t2的状态间的的状态间的内在联系内在联系,可以引入二维随机变量可以引入二维随机变量X(t1),X(t2)的分的分布函数布函数FX(x1,x2;t1,t2)，它是二随机事件，它是二随机事件X(t1)x1和和X(t2)x2同时出现的概率，即同时出现的概率，即称为随机过程称为随机过程X(t)的的二维分布函数。二维分布函数。若若FX(x1,x2;t1,t2)对对x1，x2的二阶混合偏导存在，的二阶混合偏导存在，则则 21212122121),;,(),;,(xx
27、ttxxFttxxfXX为随机过程为随机过程X(t)的的二维概率密度二维概率密度 随机信号分析随机信号分析教学教学组组543.n维概率分布维概率分布 随机过程随机过程 在任意在任意n个时刻个时刻 的取值的取值)(tXnttt,21)(,),(),(21ntXtXtX)(,),(),(21ntXtXtX)(tX)(,)(,)(),;,(22112121nnnnXxtXxtXxtXPtttxxxFnnnXnnnXxxxtttxxxFtttxxxf2121212121),;,(),;,(构成构成n维随机变量维随机变量 即为即为n维空间的随机矢量维空间的随机矢量X。类似的，可以定义。类似的，可以定义随
28、机过程随机过程 的的n维分布函数和维分布函数和n维概率密度函维概率密度函数为数为随机信号分析随机信号分析教学教学组组55四、随机过程的数字特征四、随机过程的数字特征 随机变量随机变量的数字特征通常是的数字特征通常是确定值确定值；随随机过程机过程的数字特征通常是的数字特征通常是确定性函数确定性函数。对随机过程的数字特征的对随机过程的数字特征的计算方法，是计算方法，是先把时间先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法固定，然后用随机变量的分析方法来计算。来计算。随机信号分析随机信号分析教学教学组组561.数学期望数学期望 dxtxxftXEtmX);()()(显然，显然，是某一个平均函数，随机过程是
29、某一个平均函数，随机过程的诸样本在它的附近起伏变化，如图所示：的诸样本在它的附近起伏变化，如图所示：)(tmX物理意义：如果随物理意义：如果随机过程表示接收机机过程表示接收机的输出电压，那么的输出电压，那么它的数学期望就是它的数学期望就是输出电压的瞬时统输出电压的瞬时统计平均值。计平均值。随机信号分析随机信号分析教学教学组组572.均方值和方差均方值和方差 随机过程随机过程 在任一时刻在任一时刻t的取值是一个的取值是一个随机变量随机变量 。我们把。我们把 二阶原点矩称为随二阶原点矩称为随机过程的均方值，把二阶中心矩记作随机过机过程的均方值，把二阶中心矩记作随机过程的方差。即：程的方差。即：)(
30、tX)(tX)(tXdxtxfxtXEtXX);()()(222)()()()()(222tmtXEtXEtXDtXX222)()()(tmtXEtXX且且随机信号分析随机信号分析教学教学组组58 物理意义：如果物理意义：如果 表示噪声电压，则表示噪声电压，则均方值均方值 和方差和方差 分别表示消耗在单分别表示消耗在单位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流位电阻上的瞬时功率统计平均值和瞬时交流功率统计平均值。功率统计平均值。)(tX)(2tXE)(tXD标准差或均方差：标准差或均方差：)()(ttXDX 随机信号分析随机信号分析教学教学组组593.自相关函数自相关函数 先比较具有相同数学期望和
31、方差的两个先比较具有相同数学期望和方差的两个随机过程。随机过程。随机信号分析随机信号分析教学教学组组60 自相关函数用来描述随机过程任意两个时刻的自相关函数用来描述随机过程任意两个时刻的状态之间的内在联系状态之间的内在联系，通常用，通常用 描述。描述。),(21ttRX)()(),(2121tXtXEttRX12121212(,;,)Xx x fx x t t dx dx 随机信号分析随机信号分析教学教学组组614.自协方差函数自协方差函数 若用随机过程的若用随机过程的两个不同时刻之间的二阶两个不同时刻之间的二阶混合中心矩混合中心矩来定义相关函数，我们称之为自协来定义相关函数，我们称之为自协方
32、差。用方差。用 表示，它反映了任意两个时表示，它反映了任意两个时刻的起伏值之间相关程度。刻的起伏值之间相关程度。),(21ttKX),(21ttKX1122()()()()XXE X tmtX tmt112212()()()()XXX tmtX tmtdx dx 随机信号分析随机信号分析教学教学组组62比较自协方差和自相关函数的关系比较自协方差和自相关函数的关系 比较自协方差和方差的关系比较自协方差和方差的关系)()(),(),(221tmtXEttKttKXXX)()(2ttXDXttt21令令则则)()(),(2121tmtmttRXXX121122(,)()()()()XXXKt tEX
33、 tmtX tmt12122112()()()()()()()()XXXXE X t X tm t E X tm t E X tm t m t随机信号分析随机信号分析教学教学组组63例例4：求随机相位正弦波求随机相位正弦波 的数学期的数学期望，方差，自相关函数及一维概率密度。式中，望，方差，自相关函数及一维概率密度。式中，为常数，是区间为常数，是区间0，上均匀分布的随机变量。上均匀分布的随机变量。0()sin()X tt02解：由题可知：解：由题可知：000()()sin()sincoscossin XmtE X tEtEtt（1）0000sincos cossin sincos cossin
34、 EtEtt Et E22001cos cos()cos02Efddsin 0E同理同理()0Xmt随机信号分析随机信号分析教学教学组组64（2）方差）方差22222()()()()()XXXXttmttE Xt 200011sin()1 cos(22)1 cos(22)22EtEtEt0011cos(2)cos2 sin2sin2 2EtEt0011 cos2cos2 sin2sin2 2t Et E可知可知 sin2 cos2 0EE21()2Xt随机信号分析随机信号分析教学教学组组65（3）自相关函数）自相关函数0 20 101211cos()cos()22tttt12(,)XRt t1
35、2()()E X t X t0 10 2sin()sin()Ett0 10 20 20 11cos(2)cos()2Etttt随机信号分析随机信号分析教学教学组组66（4）一维概率密度）一维概率密度在在0,2范围内，范围内，每个每个X(t)=sin(0t+)对应两个值：0-22t0322t和和 xfxftxf2211,所以由于 10arcsinxxt 20arcsinxxt 22111xxx其它,01,11,2xxtxf随机信号分析随机信号分析教学教学组组67例例5：设随机过程设随机过程X(t)=A+Bt，其中，其中A和和B是相是相互独立的正态分布互独立的正态分布N(0,1)随机变量，求随机变
36、量，求X(t)的的数学期望、方差、自相关函数、协方差函数、数学期望、方差、自相关函数、协方差函数、一维和二维概率密度函数。一维和二维概率密度函数。0（1）数学期望）数学期望 BtAEtXEtmX BtEAE0（2）方差）方差 tXEtXEtX2222BtAE2222tBABtAE2222BEtABtEAE21 t随机信号分析随机信号分析教学教学组组68（3）自相关函数）自相关函数 2121,tXtXEttRX21BABAttE2212BEt tAE211t t2121211,t tttRttKXX（4）自协方差函数）自协方差函数随机信号分析随机信号分析教学教学组组69（5）一维概率密度函数）一
37、维概率密度函数因因A和和B都是正态分布随机变量，都是正态分布随机变量，所以，给定时间所以，给定时间t，X(t)也是正态分布随机变量，且也是正态分布随机变量，且 0tmX 221 ttX22212-exp121,txttxfX随机信号分析随机信号分析教学教学组组70（6）二维概率密度函数）二维概率密度函数给定时间给定时间t1和和t2，021tmtmXX 21121 ttXX(t1)和和X(t2)是两个是两个正态分布随机变量，且正态分布随机变量，且 22221 ttX 22212121111,2121ttt tttRrtXtXXtXtX 2222222111221221212121exptxtxt
38、xrtxrXXXtXtXXtXtX 221212121121,tXtXXXrttttxxf随机信号分析随机信号分析教学教学组组71例例6(课堂练习课堂练习)：设随机过程设随机过程X(t)=Acos0t，其中，其中 0为常为常数，数，A为在(0,1)之间均匀分布的随机变量，之间均匀分布的随机变量，(1)画出过程画出过程X(t)的几个样本函数图形；的几个样本函数图形；(2)试求试求t=0、/(4 0)和和3/(4 0)时，时，X(t)的的一维概率密度函一维概率密度函数。数。(3)求求X(t)的均值、相关函数、协方差函数和方差函数的均值、相关函数、协方差函数和方差函数随机信号分析随机信号分析教学教学
39、组组72例例6(课堂练习课堂练习)：设随机过程设随机过程X(t)=Acosw0t，其中，其中w0为常为常数，数，A为在(0,1)之间均匀分布的随机变量，之间均匀分布的随机变量，(1)画出过程画出过程X(t)的几个样本函数图形；的几个样本函数图形；(2)试求试求t=0、/(4w0)和和3/(4w0)时，时，X(t)的的一维概率密度函一维概率密度函数。数。(3)求求X(t)的均值、相关函数、协方差函数和方差函数的均值、相关函数、协方差函数和方差函数解：t=0X1=X(t=0)=At=/(4w0)X2=X(t=/(4w0)=Acos(/4)其它,0210,2)(2xxfXt=3/(4w0)X3=X(
40、t=3/(4w0)=Acos(3/4)其它,0021,2)(3xxfX2A2-A随机信号分析随机信号分析教学教学组组73 tXEtmXtwAE0cos AtEw0costw0cos21 2121,tXtXEttRX2010coscostwAtwAE22010coscosAEtwtw2010coscos31twtw 212121,tmtmttRttKXXXX20102010coscos41coscos31twtwtwtw2010coscos121twtw ttKtXY,2tw02cos121随机信号分析随机信号分析教学教学组组74五、五、随机过程的特征函数随机过程的特征函数1.一维特征函数一维特
41、征函数 随机过程随机过程 在任一特定时刻在任一特定时刻t的取值是的取值是一维随机变量，其特征函数为一维随机变量，其特征函数为:)(tX dxtxfeeEtuCXjuxtjuXX);()();()(其反变换为：其反变换为：duetuCtxfjuxXX);(21);(0(;)()(;)()nnnnXXnuCu tE Xtx fx t dxju n阶矩阶矩随机信号分析随机信号分析教学教学组组752.二维特征函数二维特征函数 12121122(,;,)exp()()xC u u t tEju x tju x t 212121)(),;,(2211dxdxttxxfeXxuxuj()1 12 21212
42、12121221(,;,)(,;,)(2)j u xu xXxfx x t tC u u t t edu du其反变换为：其反变换为：1212121212(,)(,;,)XXRt tx x fx x t t dx dx 0212121221),;,(uuXuuttuuC随机信号分析随机信号分析教学教学组组763.n维特征函数维特征函数 nnnXxuxujdxdxttxxfenn111)(),;,(11)()(exp(),;,(1111nnnnXtXjutXjuEttuuC),;,(11nnXttxxfnxuxujnnXnduduettuuCnn1)(1111),;,()2(1随机信号分析随机信
43、号分析教学教学组组771.1 小结小结 随机过程随机过程X(t,)：随时间变化的一族随机变量 随机过程分类随机过程分类 随机过程统计特性描述随机过程统计特性描述 本章的重点内容之一本章的重点内容之一 v一维、二维联合概率密度 v数学期望()()(;)XXmtE X txfx t dxdxtxfxtXEtXX);()()(222222)()()(tmtXEtXXv均方值v方差v自相关函数1212()()()XRttE X t X t，)()()()(,221121tmtXtmtXEttKXXXv自协方差函数随机信号分析随机信号分析教学教学组组781.2 连续时间随机过程的微分和积分连续时间随机过
44、程的微分和积分基本要求：基本要求：G G 理解随机过程连续的概念理解随机过程连续的概念G 理解随机过程微分的概念，掌握随机过程理解随机过程微分的概念，掌握随机过程导数的数字特征求解导数的数字特征求解G G 理解随机过程积分的概念，掌握随机过程理解随机过程积分的概念，掌握随机过程三种积分方式及对应数字特征求解三种积分方式及对应数字特征求解随机信号分析随机信号分析教学教学组组791.2 连续时间连续时间随机过程的微分和积分随机过程的微分和积分 一、一、随机过程的连续性随机过程的连续性 1.预备知识：预备知识：对于确定性函数对于确定性函数 ，若若)(xf000lim()()0 xf xxf x 则则
45、 在在 处连续。处连续。)(xf0 x随机信号分析随机信号分析教学教学组组802.随机过程随机过程 连续性定义连续性定义)(tX如果随机过程如果随机过程 满足满足)(tX0)()(lim20tXttXEt则称则称 依均方收敛意义下在依均方收敛意义下在t点连续，简点连续，简称随机过程称随机过程 在在t t点均方连续，记为：点均方连续，记为：)(tX)(tX)()(0tXttXl.i.mt随机信号分析随机信号分析教学教学组组813.随机过程随机过程 的相关函数连续，则的相关函数连续，则 连续连续)(tX)(tX)()(2tXttXE),(),(),(),(ttRtttRtttRttttRXXXX
46、因此，如果对因此，如果对 时刻，函数时刻，函数 在在 点上连续，则随机过程点上连续，则随机过程 必在点必在点t 上连续。上连续。21,tt),(21ttRXttt21)(tX证：随机信号分析随机信号分析教学教学组组824.随机过程随机过程 均方连续，则其数学期望连续均方连续，则其数学期望连续)(tX证证：2222YEYEYEY22()()()()E X ttX tEX ttX t 由均方连续的定义，由均方连续的定义，则不等式左端趋，则不等式左端趋于于0，那么不等式的右端也必趋于，那么不等式的右端也必趋于0（均值的（均值的平方不可能小于平方不可能小于0）0 t)()(tXttXY设设随机信号分析
47、随机信号分析教学教学组组83即：即：0)()()()(tXEttXEtXttXE 注意注意 为确定性函数，由预备知识，可为确定性函数，由预备知识，可知连续。知连续。)(tXE)(lim)(lim00ttXEttXEtt可将此结果写成可将此结果写成求极限和求数学期望的次序可以交换求极限和求数学期望的次序可以交换随机信号分析随机信号分析教学教学组组84二、二、随机过程的导数随机过程的导数 预备知识：预备知识：对于一般确定性函数，高等数学给出的对于一般确定性函数，高等数学给出的可导定义如下：可导定义如下：一阶可导：一阶可导：如果如果 存在，则存在，则 在在t处处可导，记为可导，记为 。ttfttft
48、 )()(lim0)(tf)(tf 随机信号分析随机信号分析教学教学组组85二阶可导：二阶可导：hktsfktsfthsfkthsfkh),(),(),(),(lim00 存在，则存在，则 二阶可导，记为二阶可导，记为),(tsftstsf ),(2若若随机信号分析随机信号分析教学教学组组861.随机过程可导的定义随机过程可导的定义 通常意义下的导数通常意义下的导数随机过程X(t)的导数可定义为极限ttXttXdttdXtXt)()(lim)()(0如果该极限对过程X(t)的任意一个样本函数任意一个样本函数都存在，则)(tX具有导数的通常意义。如果极限在均方意义下存在，则X(t)具有均方意义下
49、的导数。随机信号分析随机信号分析教学教学组组87如果随机过程如果随机过程 满足满足)(tX0)()()(lim20tXttXttXEt则称则称 在在t时刻具有均方导数时刻具有均方导数 ，表示为，表示为 )(tX)(tXttXttXmi ldttdXtXt)()(.)()(0 均方意义下的导数均方意义下的导数随机信号分析随机信号分析教学教学组组882.判别方法判别方法 0)()()()(lim2222211110,21 ttXttXttXttXEtt)()()()(222221111ttXttXttXttXE ),(),(),(),(1),(),(),(),(1),(),(),(),(12212
50、11212211212222222222222211111111111121tttRtttRttRttttRtttttRtttRttRttttRttttRtttRttRttttRtXXXXXXXXXXXX 判断一个随机过程是否均方可微的方判断一个随机过程是否均方可微的方法是采用柯西准则法是采用柯西准则,即即 而而随机信号分析随机信号分析教学教学组组89若存在混合偏导若存在混合偏导，则，则t1 1=t2 2时有时有)()()()(lim2222211110,21ttXttXttXttXEtt =可见，随机过程可见，随机过程X(t)在在t处均方可微的充分条处均方可微的充分条件为：相关函数在它的自变
