1、 北京市朝阳外国语学校 第二十四章 圆 初中数学教研组 2011级第28章 锐角三角函数281锐角三角函数（1） 正弦【学习目标】经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 能根据正弦概念正确进行计算一、自主复习：1、如图在RtABC中，C=90，A=30，BC=10m，求AB2、如图在RtABC中，C=90，A=30，AB=20m，求BC二、合作交流：问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是30，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？思考
2、1：如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m，那么需要准备多长的水管？ ；结论：直角三角形中，30角的对边与斜边的比值 思考2：在RtABC中，C=90，A=45，A对边与斜边的比值是一个定值吗？如果是，是多少？结论：直角三角形中，45角的对边与斜边的比值 三、探究：结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比 规定：在RtBC中，C=90，A的对边记作 ，B的对边记作 ，C的对边记作 正弦函数概念：在RtBC中，C=90，我们把锐角A 叫做A的正弦，记作 ， sinA 例如，当A=30时，我们有si
3、nA=sin30= ；当A=45时，我们有sinA=sin45= 例1 如图，在RtABC中，C=90，求sinA和sinB的值 随堂练习：1三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin的值是 A B C D2如图，在直角ABC中，C90o，若AB5，AC4，则sinA（ ）A B C D3 在ABC中，C=90，BC=2，sinA=，则边AC的长是( )A B3 C D 42006成都如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D。已知AC=，BC=2，那么sinACD（ ）ABCD五、课堂小结：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，A的对边与斜边的比都是 在RtA
4、BC中，C=90，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的 ， 记作 ，281锐角三角函数（2） 余弦、正切【学习目标】: 感知当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。:逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。EOABCD一、自主复习：1、我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？2、如图，在RtABC中，ACB90，CDAB于点D。已知AC=，BC=2，那么sinACD（ ）ABCD3、如图，已知AB是O的直径，点C、D在O上，且AB5，BC3则sinBAC= ；sinADC= 4、在RtABC中，C=90，当锐角A确定时，A的对边与斜边的比是 ，进一
5、步思考：A的邻边与斜边的比呢？ A的对边与邻边的比呢？ 为什么？二、合作交流：探究：一般地，当A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？如图：RtABC与RtABC，C=C =90o，B=B=，那么与有什么关系？三、学习新知：类似于正弦的情况，如图在RtBC中，C=90，当锐角A的大小确定时，A的邻边与斜边的比、A的对边与邻边的比也分别是确定的我们把A的 叫做A的余弦，记作cosA，即cosA= ；把A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，即tanA= 例如，当A=30时，我们有cosA=cos30= ；当A=45时，我们有tanA=tan45= 重要说明：锐角A的
6、正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数同样地，cosA，tanA也是A的函数例2：如图，在RtABC中，C=90，BC=6，sinA=，求cosA、tanB的值四、随堂练习：1.在中，C90，a，b，c分别是A、B、C的对边，则有（） ABCD 本题主要考查锐解三角函数的定义，同学们只要依据的图形，不难写出，从而可判断C正确.2. 在中，C90，如果cos A=那么的值为（） ABCD分析? 本题主要考查锐解三角函数及三角变换知识。其思路是：依据条件，可求出；再由，可求出，从而，故应选D.3、如图：P是的边OA上
7、一点，且P点的坐标为（3，4）， 则cos_. 五、课堂小结：在RtBC中，C=90，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即sinA= = sinA把A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作 ，即 把A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作 ，即 281锐角三角函数（3） 特殊角三角函数值【学习目标】: 能推导并熟记30、45、60角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数.: 能熟练计算含有30、45、60角的三角函数的运算式一、自主复习：一个直角三角形中，一个锐角正弦是怎么定义的？ 一个锐角余弦是怎么定义的？ 一个锐角正切是怎么定义的？ 二、合作交流：思考：两块三角尺中有几
8、个不同的锐角？ 是多少度？ 你能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值码？三、知识运用：归纳结果304560siaAcosAtanA例3：求下列各式的值 （1）cos260+sin260 （2） - tan45例4：（1）如图（1），在RtABC中，C=90，AB=，BC=，求A的度数 （2）如图（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求a四、随堂练习：（一）、选择题1已知：RtABC中，C=90，cosA=，AB=15，则AC的长是（ ）A3 B6 C9 D122计算2sin30-2cos60+tan45的结果是（ ） A2 B C D13在ABC中，A、B都是锐角，且sin
9、A=，cosB=，则ABC的形状是（ ） A直角三角形 B钝角三角形C锐角三角形 D不能确定4如图RtABC中，ACB=90，CDAB于D，BC=3，AC=4，设BCD=a，则tana的值为（ ）A B C D5若（tanA-3）2+2cosB-=0，则ABC（ ） A是直角三角形 B是等边三角形 C是含有60的任意三角形 D是顶角为钝角的等腰三角形6 求下列各式的值（1）+cos45cos30 （2）2sin60-2cos30sin45281锐角三角函数（4）运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角【学习目标】让学生熟识计算器一些功能键的使用一、自主复习：304560siaAcosA
10、tanA二、求下列各式的值 （1）sin30cos45+cos60; （2）2sin60-2cos30sin45（3）; （4）-sin60（1-sin30） （5）+2sin60= 三、知识运用：用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值(结果保留四个有效数字)1、(1)sin38= cos52= (2)sin40= cos50= (3)cos25.8= sin64.2= (4)cos4137= cos4823=观察结果，猜想结论：2、(1)sin23= cos23= tan23= (2)cos75= sin75= tan75=观察结果，猜想结论：3、(1)sin15= sin30= sin56=
11、sin89= (2)cos5= cos30= cos60= cos88= (3)tan3= tan30= tan45= tan89=观察结果，猜想结论：练习：下列各式中不正确的是（ ） Asin260+cos260=1 Bsin30+cos30=1 Csin35=cos55 Dtan45sin454已知A为锐角，且cosA，那么（ ） A0A60B60A90 C0A30D30A60时，cosa的值（ ） A小于 B大于 C大于 D大于18已知，等腰ABC的腰长为4，底为30，则底边上的高为_，周长为_9在RtABC中，C=90，已知tanB=，则cosA=_10已知梯形ABCD中，腰BC长为2
12、，梯形对角线BD垂直平分AC，若梯形的高是，则CAB等于（ ） A30 B60 C45 D以上都不对11sin272+sin218的值是（ ） A1 B0 C D12设、均为锐角，且sin-cos=0，则+=_13已知：cos= ，则锐角的取值范围是（ ） A030 B4560 C3045 D609014（2006年潜江市）当45cossin Bsincostan Ctansincos Dcotsincos281锐角三角函数（5）【学习目标】灵活运用锐角三角函数解决问题.一、自主复习：304560siaAcosAtanA二、运用知识：例1在ABC中，C=90 （1）若sinA=，则A= （2）
13、 若，则= （3）若cosA=，则tanB=_;（4）若cosA=，则tanB=_例2在ABC中，C为直角，AC=，BC=，求A的度数 例3 在RtABC中，C=90，B=30，BC=8, 求A的度数 , AC的长练习 .1在RtABC中，C=90，A=45，AB=8, 求AC的长。2在RtABC中，C=90，A=60， BC = ，求B的度数，AB的长例3（1）如图，在RtABC中，C=90，AD是BAC的平分线， CAB=60，CD=，BD=2，求AC，AB的长（2）（2005年黑龙江省）“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC，有人已经测出A=30，AC=40米，BC=25米，你能求出这块
14、花园的面积吗？三、随堂检测：1.在RtABC中，C=90，a = 1 , c = 4 , 则sinA的值是 ( )A、 B、 C、 D、2在A ABC中，已知C=90，sinB=，则cosA的值是 ( ) A B C D3. 在RtABC中,C=900,则下列等式中不正确的是( )（A）a=csinA；（B）a=bcotB；（C）b=csinB；（D）c=.4（2010哈尔滨）在RtABC中，C90，B35，AB7，则BC的长为（ ） （A） 7sin35 （B） （C）7cos35 （D）7tan355. 在中，则为（ ） A B C D7. （2010年怀化市）在RtABC中，C=90，s
15、inA=，则A= 8. 计算：+2sin60= 9（2010年金华）计算：281 锐角三角函数（6）【学习目标】灵活运用锐角三角函数解决问题.一、运用知识：构造直角三角形解决问题.例1在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（ ）ABCD例2. （2010山东济南）图所示，ABC中，C=90，B=30，AD是ABC的角平分线，若AC=求线段AD的长例3.某片绿地形状如图所示，其中ABBC，CDAD，A=60，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长三、随堂练习：1、若, 求B、C两点间的距离.2、已知，在ABC中，A= 45，AC= ，AB= +1，则边BC的长为 3、在RtABC中，
16、C=90，AC=2，BC=1，则tanB= ，sinA= .4、如图，已知RtABC中，斜边BC上的高AD=4，cosB=，则AC=_ 5、计算：6RtABC中，若sinA=，AB=10，那么BC=_，tanB=_7在ABC中，C=90，AC=6，BC=8，那么sinA=_8在ABC中，C=90，sinA=，则cosA的值是（ ） A B C282解直角三角形（1）【学习目标】: 理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形: 通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力:
17、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯一、自主复习：1在三角形中共有几个元素？ 2直角三角形ABC中，C=90，a、b、c、A、B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.(2)三边之间关系 (3)锐角之间关系A+B=90a2 +b2 =c2 (勾股定理) 以上三点正是解直角三角形的依据二、合作交流：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m的梯子，问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的
18、角等于多少(精确到1o)这时人是否能够安全使用这个梯子三、知识运用：例1在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b=，a=，解这个三角形例2在RtABC中， B =35o，b=20，解这个三角形四、随堂练习：1根据直角三角形的_元素（至少有一个边），求出_其它所有元素的过程，即解直角三角形2、在RtABC中，a=104.0，b=20.49，解这个三角形3、在ABC中，C为直角，AC=6，的平分线AD=4，解此直角三角形。 4、RtABC中，若sinA=，AB=10，那么BC=_，tanB=_5、在ABC中，C=90，AC=6，BC=8，那么sinA=_6、在ABC中，C=9
19、0，sinA=，则cosA的值是（ ） A B C282解直角三角形（2）【学习目标】: 了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题: 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力: 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识一、自主复习：1解直角三角形指什么？2解直角三角形主要依据什么？(1) 勾股定理： (2)锐角之间的关系： (3)边角之间的关系： 二、合作交流：仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角三、知识运用：例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变
20、轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?282解直角三角形（3）【学习目标】: 使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角: 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法: 巩固用三角函数有关知识解决问题
21、，学会解决方位角问题一、知识准备：坡度与坡角 坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面与水平面的夹角叫做坡角结合图形思考，坡度i与坡角之间具有什么关系？ 这一关系在实际问题中经常用到。二、知识运用：例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？例6同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=13，斜坡CD的坡度i=12.5，求斜坡AB的坡面角，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)四、随堂练习： (1)一段坡面的坡角为60，则坡度i=_；_，坡角_度2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为11.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：横断面(等腰梯形)ABCD的面积；修一条长为100米的渠道要挖去的土方数五、课堂小结：23
