1、空间向量在立体几何中的应用一、 基本知识点直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为（若只涉及一个平面，则用表示其法向量）并在下面都不考虑线线重合、面面重合及线在面内的情况。10 / 101、平行问题（结合图象，直观感觉）1）线线平行2）线面平行3）面面平行2、垂直问题（结合图象，直观感觉）1）线线垂直2）线面垂直3）面面垂直3、夹角问题1）异面直线所成的角（范围： ） 2）线面角（范围：）， 3）二面角（范围：） 4、距离问题 1）点A到点B的距离：2）点A到线l的距离在直线上任取点， ，3）点A到面的距离在平面上任取点4）异面直线间间的距离在直线上任取点，在直线上任取点向量与异面直线的方向向
2、量都垂直5）直线到平面的距离 在直线上任取一点，转化为点A到面的距离6）平面到平面的距离在平面上任取一点，转化为点A到面的距离二、 典例训练例1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AD、AB的中点。1）求异面直线与所成角的余弦值；（）2）求证：异面直线与垂直；3）求直线与面所成角的余弦值。（）例2、已知四棱锥的底面为直角梯形，AB/CD，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点。1）证明：平面PAD平面PCD 2）求AC与PB所成的角余弦值的大小 （） 3）求平面AMC与平面BMC所成二面角余弦值的大小（） 例3、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E
3、是棱BC的中点。（1）在棱上是否存在一点M，使平面，为什么？（不存在）（2）在正方体表面上是否存在点N，使平面，为什么？（存在，为中点）例4、如图所示，在直三棱柱中， （1）求三棱柱的体积；（）（2）求证 （3）若是的中点，在棱上是否存在一点，使，证明你的结论 （存在）例5、已知棱长为1的正方体E，F分别是和中点.（1）求证：E、F、B、D共面；（2）求点到平面BDFE的距离；（1）（3）求直线到平面BDFE所成的角. （）例6、如图，是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）求点C到平面的距离；（）（3）求平面与平面ABC所成二面角（锐角）的大小. （）例7、在
4、如图所示的几何体中，平面，平面，且，是的中点（I）求证：；（II）求与平面所成的角（）例8、如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。（）求证：AE/平面DCF；（）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为？（）例9、如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点，（I）设是的中点，证明：平面；（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离（）例10、【2012高考真题福建理18】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点.（）求证：B1EAD1；（）在棱AA1上是否存在一点P，使得D
5、P平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由.（）（）若二面角A-B1EA1的大小为30，求AB的长. （）例11、2011湖北卷 如图14，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合(1)当CF1时，求证：EFA1C；(2)设二面角CAFE的大小为，求tan的最小值（）例12、2011福建卷 如图17，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD.四边形ABCD中，ABAD，ABAD4，CD，CDA45.(1)求证：平面PAB平面PAD；(2)设ABAP.若直线PB与平面PCD所成的角为30，求线段AB的长；（）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到P、B、C、D的距离都相等？说明理由（不存在）
