1、微积分学的创始人微积分学的创始人:德国数学家德国数学家 Leibniz 微分学微分学导数导数描述函数变化快慢描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度描述函数变化程度都是描述物质运动的工具都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国导数思想最早由法国数学家数学家Ferma在研究在研究极值问题中提出极值问题中提出.英国数学家英国数学家 Newton3.1.2 3.1.2 导数的概念导数的概念温故知新温故知新问题问题1 1：回顾上节课所学内容：回顾上节课所学内容yx00y=f(x),+x xx请说出函数在的平均变化率公式。问题问题2 2：00()()f x
2、xf xx00vv+v气球在，内的平均膨胀率如何表示呢？公式应用：公式应用：=rv00()()r vvr vv 高台跳水（观看视频）高台跳水（观看视频）在高台跳水运动中在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度 h(单单位位:m)与起跳后的时间与起跳后的时间 t(单位单位:s)存在函数关系存在函数关系105.69.4)(2ttth 计算运动员在计算运动员在 这段时间里的平均速度？这段时间里的平均速度？49650 t探究探究:(1)运动员在这段时间里是静止的吗运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述可以准确反映运动员的你认为用平均速度描述可以准确反映运动员的运
3、动状态吗运动状态吗?平均速度与瞬时速度平均速度与瞬时速度物理学中我们把运动物体在某一时刻的速度物理学中我们把运动物体在某一时刻的速度称为称为瞬时速度瞬时速度.怎样求出怎样求出2时的时的瞬时速度？瞬时速度？在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为度为h（单位：（单位：m）与起跳后的时间）与起跳后的时间t(单位：单位：s)存在函数关系存在函数关系h=-4.9t2+6.5t+10想一想：想一想：h to2我们先考察我们先考察2附近附近的情况。的情况。任取一个时刻任取一个时刻2，是时间改变量，可以是正值，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为也可以是负值
4、，但不为0.当当0时，在时，在2之前；之前；当当0时，在时，在2之后。之后。0时时20时时2t=0.1时时,当当t=0.1时时,t=0.01时，时，当当t=0.01时时,t=0.001时，时，当当t=0.001时时,t=0.0001时时,t=0.0001时时,填表填表v v v v v v v v 思考：当思考：当t趋于趋于0时，平均速度有怎时，平均速度有怎样的变化趋势？样的变化趋势？2()4.96.510h ttt 2()4.96.510h ttt(2)(2)hhthvtt12.6113.05113.095113.0995113.5913.14913.104913.10049(2)(2)ht
5、hvt 4.913.1t 224.9(2)6.5(2)104.9 26.5 2 10ttt 24 4.94.96.5tttt 归纳整理归纳整理 022,lim13.12,0,13.1.ththtttv 为了表述方便 我们用表示 当趋近于 时 平均速度 趋近于确定值 当当 t 趋近于趋近于0时时,即无论即无论 t 从小于从小于2的一边的一边,还是从大于还是从大于2的一边趋近于的一边趋近于2时时,平均速度都趋近与一个确定的值平均速度都趋近与一个确定的值 13.1.从物理的角度看从物理的角度看,时间间隔时间间隔|t|无限变小时无限变小时,平均速度平均速度就无限趋近于就无限趋近于 t=2时的瞬时速度时
6、的瞬时速度.因此因此,运动员在运动员在 t=2 时时的瞬时速度是的瞬时速度是 13.1.想一想6.56.59.8t9.8t6.5)6.5)9.8t9.8t4.94.9t t(limlimt t6.5)6.5)t t(9.8t(9.8t4.9(4.9(t)t)limlimt t)h(th(tt)t)h(th(tlimlim0 00 00 0t t0 02 20 0t t0 00 00 0t t00000t(t)+(+)-()ttth tt h ttt 以上分析表明，当0时，函数h在 到之间的平均变化率趋近于一个常数，我们把这个常数称为 时刻的瞬时速度。0?运动员在某一时刻时的瞬时速度如何表示想一
7、想0气球在体积v 时的瞬时膨胀率如何表示？0()?f xxx函数在处的瞬时变化率怎样表示00()()r vvr vrvv气球平均膨胀率定义定义:函数函数 y=f(x)在在 x=x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是 0000()()limlim xxf xxf xyxx 称为函数称为函数 y=f(x)在在 x=x0 处的处的导数导数,记作记作.)()(lim)(0000 xxfxxfxfx)(0 xf 或或 ,即即0|xxy0001.()fxxx与 的值有关，不同的 其导数值一般也不相同；02.()fxx与的具体取值无关；3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。这时又称函数这时又称函数 y=
8、f(x)在在 x=x0 处是可导的处是可导的概念形成如果如果f(x)在在 开区间（开区间（a,b）内的每一点）内的每一点x都是可导都是可导的的，则称，则称f(x)在区间（在区间（a,b）可导。）可导。提示提示本书中，如果不特别指明求某一点的导本书中，如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数数，那么求导数指的就是求导函数)(0 xf 对对对开区间（对开区间（a,b）内每个值）内每个值 ，都对应一个确定的，都对应一个确定的导数导数 并构成一个新的函数，我们把这个函并构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数数称为函数y=f(x)的的导函数，导函数，简称为简称为导数导数 。0 x例例1
9、：一差、二比、三极限一差、二比、三极限变式训练变式训练1：求求y=2xy=2x2 2+4x+4x在点在点x=2x=2和和x=ax=a处的导数处的导数例例2 火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到100m/s,试问：试问：1）熄火后多长时间火箭向上的速度为）熄火后多长时间火箭向上的速度为0？2）火箭在熄火后第）火箭在熄火后第5秒和第秒和第12秒的瞬时速度时多秒的瞬时速度时多少？并说明它们的意义少？并说明它们的意义.解：解：火箭的运动方程为火箭的运动方程为21(t)=100t-2hgt2211100t+t-(t+t)-100-h(t+t)-h(t)22=tgt
10、gthtt （）1=100-2gtg t2(10/)gm s10100-100-2tgtg tgt 当时，趋近于可见，可见，t时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度()100h tgt()100=0t=10(s)h tgt令，解得所以，火箭熄火后所以，火箭熄火后10s向上速度为向上速度为0(2)(5)h、(12)h100 10 550(/)m s100 10 1220(/)m s 变式训练22 22已知一个物体运动的位移已知一个物体运动的位移S(m)与时间与时间t(s)满满足关系足关系S（t）-2 +5t（1）求物体第）求物体第5秒的瞬时速度秒的瞬时速度（2）求物体在）求物体在t时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度.2 2t t小结小结l1、瞬时速度的概念、瞬时速度的概念l2、导数的概念、导数的概念l3、求导数的方法：、求导数的方法：l4、思想方法：思想方法：“以已知探求未知以已知探求未知”、逼、逼近、类比、从特殊到一般。近、类比、从特殊到一般。课后作业：课后作业：2.2.补充题：补充题：1.1.必做题：必做题：P10 AP10 A组组2 2、3 3、4 4 选做题：选做题：P10 BP10 B组组1 1.yxy已知，求
