1、第 1 章 矢 量 分 析主要内容：主要内容：1.1矢量代数 1.2三种坐标系 1.3 散度、旋度 1.4 标量场 1.5 亥姆霍兹定理1.1.1标量场与矢量场标量场与矢量场 标量场（只有大小），如温度场；矢量场（有大小、有方向），如力场，电场，磁场 讨论场必然涉及场点的位置和观察的时刻（时、空），如果场值不随时间变化称该场为稳定场（静态场），否则称时变场（动态场）。例如：时间、质量、长度、温度、电压、电荷、电流、能量例如：时间、质量、长度、温度、电压、电荷、电流、能量例如：力、速度、电流密度、场强等。例如：力、速度、电流密度、场强等。矢量的书写：带箭头矢量的书写：带箭头a模模aaaaea/单
2、位矢量单位矢量aeaa1.1矢量与标量矢量与标量 直角坐标系中的矢量：1.1.2 矢量的乘积P(X,Y,Z)zZyxXYOrazaxayzzyyxxaAaAaAAAAeAeAA矢量的写法：zyxaZaYaXrPO 点积 标量积(是标量)ABBABAcosBcosAB 直角坐标系中的单位矢量有下列关系：P(X,Y,Z)zZyxXYOrazaxay10zzyyxxzyzxyxaaaaaaaaaaaa 直角坐标系中两矢量点积的计算公式：,zzyyxxaAaAaAAzzyyxxaBaBaBBzzyyxxBABABABAP(X,Y,Z)zZyxXYOrazaxay635241654321)6,5,4()
3、3,2,1(QOPOaaaQOaaaPOQPzyxzyxcosABA BA B AAA0A B 物理意义：物理意义：通过标量积运算可通过标量积运算可以了解矢量在某方以了解矢量在某方向上投影的大小，向上投影的大小，或者说该矢量在该或者说该矢量在该方向上分量的大小方向上分量的大小标量积的结标量积的结果是个标量！果是个标量！1.1矢量运算标量积矢量运算标量积 ABC222cosCABAB()()CCC CABAB BACC1.1矢量运算标量积矢量运算标量积 矢量的叉积)sin(ABABBAaBACBAanaBaAOC ABBA(a)(b)直角坐标系中的单位矢量有下列关系：P(X,Y,Z)zZyxXY
4、Orazaxay10zzyyxxzyzxyxaaaaaaaaaaaa 直角坐标系中两矢量叉积的计算公式：zyxzyxzyxzyxzyxzyxBBBAAAeeeBBBAAAaaaBAABBABAsin物理意义：平行四边形的面积物理意义：平行四边形的面积矢量积的矢量积的结果是个矢量！结果是个矢量！“判断平行判断平行”：0BA1.1矢量运算矢量积矢量运算矢量积 求解两矢量所确定平面的法线求解两矢量所确定平面的法线A BBAABBACABACBA)(A BB A()ABCA BA C 交换律：交换律：分配律：分配律：1.1矢量运算矢量积与标量积矢量运算矢量积与标量积 ()()()AB CBCACA B
5、(循环记忆循环记忆)()0AB C（三矢量共面）（三矢量共面）BCBCBxCBCa四边形面积=)sin(BCCBBCBxCBCa底面积=)sin(BCCBAABBCA,高=BCAA,cos（物理意义：平行六面体体积）（物理意义：平行六面体体积）1.1矢量运算矢量三重积矢量运算矢量三重积 B CCBB CCBABCeBCBCe1.2.1直角坐标系zxyz平平面面x平平面面y平平面面zyxzyxzyxBBBAAAaaaBA,zzyyxxaAaAaAAzzyyxxaBaBaBBzzyyxxBABABABAdzedyedxel dzyx微分长度元：微分长度元：1.2直角坐标系微分长度元直角坐标系微分长
6、度元 微分体积元：微分体积元：dxdydzdV dydzeSdxxdzdxeSdyydxdyeSdzz微分面积元：微分面积元：Sd1.1直角坐标系微分体积元、面积元直角坐标系微分体积元、面积元 zzrreAeAeAA),(),(;,(zreeezr柱坐标系柱坐标系1.2柱坐标系坐标系统柱坐标系坐标系统 zzrreAeAeAAz z平平面面r柱柱面面平平面面xyz),(),(;,(zreeezr类似直角坐标系中的类似直角坐标系中的矢量运算有先决条件，即矢量运算有先决条件，即常数rrzzBB eB eB e 1.1柱坐标系矢量运算柱坐标系矢量运算 dzrddrdV)(1.1柱坐标系微分体积元柱坐标
7、系微分体积元 eAeAeAArr)(),(),(;,(eeerr球坐标系球坐标系1.1球坐标系坐标系统球坐标系坐标系统 drdrrddV)sin()(1.1球坐标系微分体积元球坐标系微分体积元 1.3.1散度散度SsdB1.3.1自然现象中的通量自然现象中的通量 cosASSnASAAVsdAVAdivS0limM0AdivM0AdivM0AdivA矢量场AASVsdAdvA)(散度定理散度定理zAyAxAAzyxzzyyxxaAaAaAAzayaxazyx1.3.21.3.2旋度旋度l dACdlaldlCAl dFWC1.3.2 自然现象中的环流自然现象中的环流 ASl dASnArotC
8、Max0limRotation Sn 有方向的面与线的关系 -右手螺旋法则；线的逆时针正对应面的外法线正nPlSCSl dASdA)(zzyyxxaAaAaAAzyxzyxxyzzxyyzxAAAzyxaaaAyAxAaxAzAazAyAaArotM（r）M（rL）方向性导数表示场沿方向性导数表示场沿 方向的空间变化率方向的空间变化率单位长度的变化量单位长度的变化量在场的某一点上，场沿不同方向上变化率的大小（方在场的某一点上，场沿不同方向上变化率的大小（方向性导数）是不同的，必然存在一个变化最大的方向性导数）是不同的，必然存在一个变化最大的方向。定义：场变化最大的方向为标量场梯度的方向，向。定义：场变化最大的方向为标量场梯度的方向，其数值为标量场的梯度值其数值为标量场的梯度值（Gradient）。zuayuaxuauzayaxaulungraduzyxzyx直角系中直角系中|max哈密尔顿算子，微分矢量算子哈密尔顿算子，微分矢量算子小结小结：矢量的基本概念、运算;场论基础（梯度、矢量场的散度和旋度）
