1、赣州市高三适应性数学（理科）试卷第 1页（共 4页）赣州市高三适应性数学（理科）试卷第 2页（共 4页）赣州市 2023 年高三适应性考试理科数学试卷2023 年 5 月本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟第第卷卷一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合|1218,xPxxZ，2|41Qy yxx，则PQ A|03xxB2|0log 18xxC1,2,3,4D1,2,32等差数列na满足21214,4aa ，则23aA.5B.7C.9D.113已知复数z满足|i
2、|1z （i为虚数单位），则|i|z的最大值为A.1B.2C.3D.44给出下列四个结论：曲线22yx的焦点为1(,0)2；“若0 x是函数()f x的极值点，则0()0fx”的逆命题为真命题；若命题:021xpx，则:021xpx；若命题p：0 xR，20010 xx，则p：x R，210 xx 其中正确的个数为A0B1C2D35设实数xy，满足约束条件2202110380 xyxyxy，则2269zxyy的最小值为A5B52C5D2546已知数列na的前n项和为nS，满足111,32nnaaS，则9a A1B2C4D87已知曲线ex my在2x 处的切线与坐标轴围成的面积为e2，则m A1
3、B2C3D48把正整数集合排列成如图所示的三角阵，在第3列与第5列中各任取一个数，则取到的两个数之积是6的倍数的概率为A25B1945C49D7159 九章算术是中国古代数学专著，承先秦数学发展的源流，进入汉朝后又经许多学者的删补才最后成书.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在三棱锥PABC中，PA 面ABC，ABC是以AC为斜边的直角三角形，过点A作PC的垂面分别交,PB PC于,D E，则在,P A B C D E中任选四点，能构成鳖臑的有A.4种B.3种C.2种D1.种10若函数()2sin()(0,0)f xx 在2,123上单调，且满足()()36ff()3f，
4、则A12B4C512D71211 在棱长为4的正方体1111ABCDABC D中，点P满足14AAAP，,E F分别为棱,BC CD的中点，点Q在正方体1111ABCDABC D的表面上运动，满足1AQ面EFP，则点Q的轨迹所构成的周长为A5 373B2 37C7 373D8 37312已知函数()f x的图像既关于点(1,1)对称，又关于直线yx对称，且当 1,0 x 时，2()f xx，则17()4fA194B92C72D174第第卷卷二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13下表是甲同学在某学期前四次考试中某科的的考试成绩x与其所在班级该科平均分y的情况:x8785
5、9197y77747984已知y与x呈线性相关，若甲同学在第五次考试中该科的考试成绩为90，根据回归分析，预计其所在班级该科平均分为_（用数字作答）.14已知为锐角，满足223sinsincos3cos5，则tan_.15在平行四边形ABCD中，点E F,分别满足24DCDEEF，2BCBG ，若AFAEAG ，则_.16已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab的左右焦点分别为12,F F，点P在E上，满足12FPF为直角三角形，作1OMPF于点M（其中O为坐标原点），且有12PMMF ，则E的离心率为_.赣州市高三适应性数学（理科）试卷第 3页（共 4页）赣州市高三适应性数学（理科）试
6、卷第 4页（共 4页）三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.17（本小题满分 12 分）设ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，且3 cos3 cosbCacB（1）求tantanBC的值；（2）若10cos10A，且ABC 的面积为2，求 a 的值18（本小题满分 12 分）在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，PAB 是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，且平面 PAB平面 ABCD，2AB，ADDC，二面角DPBA的正切值为22（1）证明：平面
7、 PBC平面 PAD；（2）求直线 CD 与平面 PBD 所成角的正弦值3D 打印即快速成型技术的一种，又称增材制造，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术中国的 3D 打印技术在飞机上的应用已达到规模化、工程化，处于世界领先位置我国某企业利用 3D 打印技术生产飞机的某种零件，8 月 1 日质检组从当天生产的零件中抽取了部分零件作为样本，检测每个零件的某项质量指标，得到下面的检测结果19（本小题满分 12 分）公众号：网课来了：质量指标6,7)7,8)8,9)9,10)10,11)11,12)频率0.020.090.220.330.
8、240.0812,130.02（1）根据频率分布表，估计 8 月 1 日生产的该种零件的质量指标的平均值x和方差2s（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由频率分布表可以认为，该种零件的质量指标 X2(,)N，其中近似为样本平均数 若()0.9772P Xa，求a的值；若 8 月 1 日该企业共生产了 500 件该种零件，问这 500 件零件中质量指标不少于 7.0 x，2近似为样本方差s2公众号：网课来了6的件数最有可能是多少？附参考数据：62.44，若 X2(,)N，则()0.6827PX，(22)0.9544PX，(33)0.9973PX已知函数12()elnxf xbxxax
9、20（本小题满分 12 分）公众号：网课来了（1）当1,1ba 时，讨论()()f xg xx的单调性；（2）当1b 时，是否存在实数 a，使()1f xax 恒成立？若存在，求 a 的值；若不存在，说明理由21（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系xOy中，12(1,0),(1,0)FF，点 P 为平面内的动点，且满足122FPF，212|cos2PFPF（1）求12|PFPF的值，并求出点 P 的轨迹 E 的方程；（2）过1F作直线l与 E 交于 A、B 两点，B 关于原点 O 的对称点为点 C，直线2AF与直线1CF的交点为 T当直线l的斜率和直线 OT 的斜率的倒数之和的绝对值取得值
10、最小值时，求直线l的方程请请考考生生在在第第 22、23 题题中中任任选选一一题题作作答答.如如果果多多做做，则则按按所所做做的的第第一一题题计计分分.22（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：cos(1sinxy 为参数，且0)以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系（1）求 C 的普通方程和极坐标方程；（2）设点 P 是 C 上一动点，点 M 在射线 OP 上，且满足|4OPOM，求点 M 的轨迹方程23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲设函数()|1|2|5|f xxx（1）求函数()f x的最小值；（2）若|3a，|3b，
11、求证：|()ababf x赣州市 2023 年高三适应性考试理科数学参考答案 1赣州市 2023 年高三年级适应性考试数学(理科)参考答案一、选择题题号123456789101112答案DBCABCACADDB二、填空题1378.5；142；1576；16622三、解答题17解：（1）由正弦定理得3sincossin3sincosBCACB1 分又sinsin()ABC，所以3sincossincoscossin3sincosBCBCBCCB2 分整理得sincos2sincosBCCB3分所以tan2tanBC4 分故tan2tanBC5 分（2）由10cos10A得，3 10sin10A，
12、于是tan3A 6 分又tantantantan()1tantanBCABCBC ，再结合（1）得22tantan10CC 7 分解得1tan2C （舍去）或tan1C 8 分法一：所以tan1B，从而45B，2 5sin5C 9 分于是由正弦定理得2 23ba10 分由1sin22abC 得4 2ab 11 分所以6a 12 分法二：过 A 作 ADBC，垂足为 D，设ADh，则,tantan2hhhCDh BDCB9 分从而32aBC由公众号：网课来了122ABCSah得，12223aa，即6a 12 分18（1）证明：因为面 PAB平面 ABCD，面 PAB平面 ABCDAB，ABAD1
13、 分所以 AD平面 PAB2 分所以 PBAD，又因为 PBPA，所以 PB平面 PAD4 分而PB 平面 PBC，所以平面 PBC平面 PAD6 分赣州市 2023 年高三适应性考试理科数学参考答案 2（2）由（1）知，PBPA，PBPD，所以APD是二面角DPBA的平面角，由已知得2tan2APD在等腰直角三角形PAB 中，由2AB 可得公众号：网课来了2PA，在 RtPAD 中，由2tan2APD可得1AD 8 分法一：因为 PB平面 PAD，所以平面 PBD平面 PAD，过 A 作 AEPD，垂足为 E，则 AE平面 PBD9 分连接 BE，则ABE是 AB 与平面 PBD 所成的角1
14、0 分在 RtPAD 中，可得63AE，在 RtPAD 中，6sin6AEABEAB11 分而 ABCD，故直线 CD 与平面 PBD 所成角的正弦值为6612 分法二：如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0)BPDC9 分(1,0,1),(2,1,0)PBBD ，设平面 PBD 的法向量(,)x y zn，由00PBBD nn得020 xzxy，令1x，则(1,2,1)n10 分(1,0,0)DC，设直线 CD 与平面 PBD 所成角为，则|6sin6|DCDCnn11 分故直线 CD 与平面 PBD 所成角的正弦值为6612 分19解：（1）
15、6.5 0.027.5 0.098.5 0.229.5 0.33 10.5 0.2411.50.08x 12.5 0.029.52 分290.0240.091 0.2200.33 1 0.2440.0890.021.5s 4 分（2）因为11(2)0.95440.977222P X6 分所以27.06a7 分记这 500 件零件中质量指标不小于 7.06 的件数为 Y，则 Y(500,0.9772)B8 分假设()P Yk最大，则由()(1)()(1)P YkP YkP YkP Yk9 分即50011501500500500114995005000.97720.02280.97720.0228
16、0.97720.02280.97720.0228kkkkkkkkkkkkCCCC，解得488.62489.58k10 分所以489k 11 分赣州市 2023 年高三适应性考试理科数学参考答案 3故这 500 件零件中质量指标不少于 7.06 的件数最有可能是 489 件12 分20（1）解：1e()ln(0)xg xxx xx，则121()(e)xxg xxx1 分记1()exG xx，则1()e1xG x，当(0,1)x时，()0G x；当(1,)x时，()0G x于是()G x在(0,1)上递减，在(1,)上递增，所以()(1)0G xG3 分所以当(0,1)x时，()0g x；当(1,
17、)x时，()0g x4 分故()f xyx在(0,1)上递减，在(1,)上递增5 分（2）记()()1h xf xax，则(1)0h6 分假设存在 a，使()0h x，即()(1)h xh，于是(1)h是函数()h x的最小值，所以(1)0h7 分1()eln12xh xxaxa，由(1)0h得0a 8 分由（1）知，1exx，从而ln1xx 9 分于是1()eln1(1)10 xh xxxx 10 分所以()h x在(0,)上递增，故当(0,1)x时，()(1)0h xh，不合题意11 分综上，不存在实数 a，使()1f xax 成立12 分21解（1）当20时，在12PFF由余弦定理得22
18、121212|(|)2|(1cos2)FFPFPFPFPF1 分所以2221212124(|)4|cos(|)8PFPFPFPFPFPF所以12|2 3PFPF2 分当20时，点 P 在 x 轴上，不妨设点 P 在 x 轴的正半轴上，则12|2PFPF，12|2PFPF，由2121212|(|)4|2 3PFPFPFPFPFPF3 分综上，12|2 3PFPF4 分因为1212|2 3|PFPFFF，所以 P 的轨迹是以12,F F为焦点且长轴长为2 3的椭圆，3,1,2acb，故 P 的轨迹 E 的方程为22132xy5 分（2）设l的方程为1xmy，代入 E 的方程得22(23)440my
19、my设1122(,),(,)A x yB xy，则12122244,2323myyy ymm 6 分由 B 关于原点 O 的对称点为点 C，知22(,)Cxy直线2AF和1CF的方程为11xm y，21xm y，其中12121211,xxmmyy由1211m ym y 得212ymm7 分从而2121mmxmm，所以2121212(,)mmTmmmm8 分赣州市 2023 年高三适应性考试理科数学参考答案 4所以直线 OT 的斜率122kmm9 分而12212121121222()2()24my yyyyymmmmy yy y10 分所以12km则直线l的斜率和直线 OT 的斜率的倒数之和的绝
20、对值为，11|2|2|2 2mmmm当1|2|mm即22m 时，取“”号11 分故直线l的方程为212xy 12 分22解：（1）C 的普通方程为2220(1)xyyy2 分由cos,sinxy得，C 的极坐标方程为32sin()44（或2sin(2)）(注：未标注范围扣 1 分5 分（2）设(,)M，则(,)P，且32sin()44 6 分由|4OPOM得4，所以3sin2()448 分即2(22)yx 9 分故点 M 的轨迹的直角方程为2(22)yx (注：未标注范围扣 1 分）10 分23.解：（1）由39,5()12511,5139,1xxf xxxxxxx 3 分所以函数()f x在(,5)递减，在(5,)递增4 分故()f x的最小值为(5)6f 5 分（2）若()()0ab ab，则|()()|2|6ababababa7 分若()()0ab ab，则|()()|2|6ababababb9 分因此，|6abab，而()6f x，故|()ababf x10 分公众号：网课来了
