1、扬州市20152016学年度第一学期期末检测试题高 三 数 学第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应位置）1.已知集合，则 .2.若复数（是虚数单位），则的虚部为 .3.如图，若输入的值为，则相应输出的值为 .4.某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高. 据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组、第二组、第八组. 按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数为 .5.双曲线的焦点到渐近线的距离为 .6.从1，
2、2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 .7.已知等比数列满足，则该数列的前5项的和为 .8.已知正四棱锥底面边长为，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为 .9.已知函数（），且（），则 .10.已知，若，则 .11.已知且，则的最小值为 .12.已知圆O：，若不过原点O的直线与圆O交于、两点，且满足直线、的斜率依次成等比数列，则直线的斜率为 .13. 已知数列中，（），（），记，若，则 .14.已知函数是定义在上的奇函数，当时，. 若集合，则实数的取值范围为 .二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小
3、题满分14分） 如图，已知直三棱柱中，、分别为、中点，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.16. （本小题满分14分） 已知函数（）的周期为.（1）当时，求函数的值域；（2）已知的内角，对应的边分别为，若，且，求的面积.17. （本小题满分15分） 如图，已知椭圆（）的左、右焦点为、，是椭圆上一点，在上，且满足（），为坐标原点.（1）若椭圆方程为，且，求点的横坐标；（2）若，求椭圆离心率的取值范围.18. （本小题满分15分） 某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系.（1）若最大拱高为6米
4、，则隧道设计的拱宽是多少？（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小. 现隧道口的最大拱高不小于6米，则应如何设计拱高和拱宽，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为）19. （本小题满分16分） 已知函数（），其中是自然对数的底数.（1）当时，求的极值；（2）若在上是单调增函数，求的取值范围；（3）当时，求整数的所有值，使方程在上有解.20. （本小题满分16分） 若数列中不超过的项数恰为（），则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数.（1）已知，且，写出、；（2）已知，且，求的前项和；（3）已知，且（），若数列中，是公差为（）的等差数列，且，求的值及的值
5、.第二部分（加试部分）21.（本小题满分10分） 已知直线在矩阵对应的变换作用下变为直线，求矩阵.22. （本小题满分10分） 在极坐标系中，求圆上的点到直线（）距离的最大值.23. （本小题满分10分） 某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完全相同），每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球. 若摸中甲箱中的红球，则可获奖金元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金元. 活动规定：参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止.（1）如
6、果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金元的概率；（2）若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由.24. （本小题满分10分） 已知函数，设数列满足：，.（1）求证：，都有；（2）求证：.扬州市2015-2016学年度第一学期高三期末调研测试数 学 试 题参 考 答 案20161一、填空题1 23 3 4144 54 6 731 85 9 10 11 12 131343 14二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15证明：（1）、分别为、中点， 2分 平面，平面 平面 6分（2）直三棱柱中，平面 平面 8分，为中点
7、，又， 平面， 平面 11分又，平面 平面 平面 平面平面 14分16解：（1） 2分的周期为，且，解得 4分又， 得， 即函数在上的值域为7分（2） 由，知，解得：，所以 9分由余弦定理知：，即，因为，所以 12分 14分17（1） 直线的方程为：，直线的方程为： 4分由解得： 点的横坐标为 6分（2）设 ， 即 9分联立方程得：，消去得：解得：或 12分 解得：综上，椭圆离心率的取值范围为 15分 18解：（1）设抛物线的方程为：，则抛物线过点，代入抛物线方程解得：， 3分令，解得：，则隧道设计的拱宽l是40米； 5分（2）抛物线最大拱高为h米，抛物线过点，代入抛物线方程得：令，则，解得：
8、，则，9分 即 12分当时，；当时，即在上单调减，在上单调增，在时取得最小值，此时，答：当拱高为米，拱宽为米时，使得隧道口截面面积最小 15分19解：（1），则 2分令 ， 00 增极大值减极小值增 ， 4分 （2）问题转化为在上恒成立； 又 即在上恒成立； 6分 ，对称轴当，即时，在上单调增， 8分当，即时，在上单调减，在上单调增， 解得： 综上，的取值范围是 10分 （3） 设 ， 令 ， 令 00 增极大值减极小值增 ， 13分 在上单调减，在上单调增又 由零点的存在性定理可知： 即 16分20解：（1），则 ；，则， ，则， 3分（2）为偶数时，则，则；为奇数时，则，则； 5分为偶数时
9、，则；为奇数时，则； 8分（3）依题意：，设，即数列中，不超过的项恰有项，所以，同理：即故由得，为正整数 ， 10分当时， ， 不合题意，舍去；当时， ， 不合题意，舍去；当时， ，适合题意，12分此时， 为整数 或， 14分当时， 无解当时， 无解当时， 当时， 无解 或综上：，或 16分 2015-2016学年度第一学期高三期末调研测试数 学 试 题 参 考 答 案21解：（1）设直线上任意一点在矩阵的变换作用下，变换为点 由,得 5分又点在上,所以,即 依题意,解得， 10分22解：圆的直角坐标方程为， 3分直线的直角坐标方程为， 6分圆心到直线的距离为，则圆上点到直线距离最大值为 10
10、分23解：（1）设参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金元为事件则 即参与者先在乙箱中摸球，且恰好获得奖金元的概率为 4分（2）参与者摸球的顺序有两种，分别讨论如下：先在甲箱中摸球，参与者获奖金可取 则 6分先在乙箱中摸球，参与者获奖金可取则 8分 当时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大答：当时，先在甲箱中摸球，再在乙箱中摸球，参与者获奖金期望值较大；当时，两种顺序参与者获奖金期望值相等；当时，先在乙箱中摸球，再在甲箱中摸球，参与者获奖金期望值较大 10分 24（1）解：当时， 有时，不等式成立 1分假设当时，不等式成立，即则当时，于是，即，可得所以当时，不等式也成立由，可知，对任意的正整数，都有 4分（2）由（1）可得两边同时取为底的对数，可得化简为所以数列是以为首项，为公比的等比数列 7分，化简求得：，时， 时，时， 10分
