1、微型专题2两类竖直面内的圆周运动知识目标核心素养1.掌握轻绳或轻杆约束下圆周运动的两个特殊点的相关分析2学会分析圆周运动问题的一般方法.1.掌握竖直面内圆周运动的两种基本模型2掌握竖直面内圆周运动到达最高点的临界条件.一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型如图1所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，二者运动规律相同，现以甲图为例图1(1)最低点运动学方程：FT1mgm所以FT1mgm(2)最高点运动学方程：FT2mgm所以FT2mmg(3)最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由FT2mg可知，当FT20时，v2最小，最小速度为
2、v2.讨论：当v2时，拉力或压力为零当v2时，小球受向下的拉力或压力当v2，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或压力，mgFm，所以Fmmg，F随v 增大而增大v，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F0，mgm.0v，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，mgFm，所以Fmgm，F随v的增大而减小例2长L0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m2 kg.现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图5所示在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力大小(g10 m/s2)图5(1)A的速率为1 m/s；(2)A的速率为4 m/s.答案(1)16 N(2)44 N解析以A为研究对象，设
3、其受到杆的拉力为F，则有mgFm.(1)代入数据v11 m/s，可得Fm(g)2(10) N16 N，即A受到杆的支持力为16 N根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力，大小为16 N.(2)代入数据v24 m/s，可得Fm(g)2(10) N44 N，即A受到杆的拉力为44 N根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力，大小为44 N.【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆”模型例3(多选)如图6所示，半径为L的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动，设小球经过最高点P时的速度为v，则( )图6Av的最小值为Bv
4、若增大，球所需的向心力也增大C当v由逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小D当v由逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大答案BD解析由于小球在圆管中运动，在最高点速度可为零，A错误；根据向心力公式有Fm，v若增大，球所需的向心力一定增大，B正确；因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力，当v时，圆管受力为零，故v由逐渐减小时，轨道对球的弹力增大，C错误；v由逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大，D正确【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆”模型1.(轻绳作用下物体的运动)杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，
5、在竖直平面内做圆周运动，如图7所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g10 m/s2)()图7A“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N答案B解析“水流星”在最高点的临界速度v4 m/s，由此知绳的拉力恰为零，且水恰不流出，故选B.【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳”模型2(轨道约束下小球的运动)(多选)如图8所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动圆环半径为R，小球
6、经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述正确的是()图8A小球对圆环的压力大小等于mgB重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力C小球的线速度大小等于D小球的向心加速度大小等于g答案BCD解析因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误；此时小球只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力，满足mgmma，即v，ag，选项B、C、D正确【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳”模型3.(球在管形轨道中的运动)(多选)如图9所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是()图9A小球通过最高
7、点时的最小速度是B小球通过最高点时的最小速度为零C小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力D小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力答案BD解析小球通过最高点的最小速度为0，由于圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力，小球在水平线ab以下时，必须有指向圆心的力提供向心力，即外侧管壁对小球一定有作用力，故B、D正确【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆”模型4.(轻杆作用下小球的运动)如图10所示，质量为m的小球固定在杆的一端，在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动当小球运动到最高点时，瞬时速度为v，L是球心到O点的距离，则球对杆的作用力是()图1
8、0A.mg的拉力 B.mg的压力C零 D.mg的压力答案B解析当重力完全充当向心力时，球对杆的作用力为零，所以mgm，解得：v，而 mg，根据牛顿第三定律得D正确【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳”模型考点二杆(管)模型5长度为1 m的轻杆OA的A端有一质量为2 kg的小球，以O点为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图3所示，小球通过最高点时的速度为3 m/s，g取10 m/s2，则此时小球将()图3A受到18 N的拉力B受到38 N的支持力C受到2 N的拉力D受到2 N的支持力答案D解析设此时轻杆拉力大小为F，根据向心力公式有Fmgm，代入数值可得F2 N，表示小球受到2 N
9、的支持力，选项D正确【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆”模型6(多选)如图4所示，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R.现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管里运动，当小球通过最高点时速率为v0，则下列说法中正确的是()图4A若v0，则小球对管内壁无压力B若v0，则小球对管内上壁有压力C若0 v0，则小球对管内下壁有压力D不论v0多大，小球对管内下壁都有压力答案ABC解析在最高点，只有重力提供向心力时，由mgm，解得v0，因此小球对管内壁无压力，选项A正确若v0，则有mgFNm，由牛顿第三定律知小球对管内上壁有压力，选项B正确若0v0，则有mgFNm，
10、由牛顿第三定律知小球对管内下壁有压力，选项C正确综上分析，选项D错误【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆”模型7如图5所示，质量为m的小球置于正方体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的匀速圆周运动，已知重力加速度为g，空气阻力不计，则()图5A若盒子在最高点时，盒子与小球之间恰好无作用力，则该盒子做匀速圆周运动的周期为2B若盒子以周期做匀速圆周运动，则当盒子运动到图示球心与O点位于同一水平面位置时，小球对盒子左侧面的力为4mgC若盒子以角速度2做匀速圆周运动，则当盒子运动到最高点时，小球对盒子下面的力为3mgD盒子从最低点向最高点做匀速
11、圆周运动的过程中，球处于超重状态；当盒子从最高点向最低点做匀速圆周运动的过程中，球处于失重状态答案A解析由mgmR可得，盒子运动周期T2，A正确由FN1mR，T1，得FN14mg，由牛顿第三定律可知，小球对盒子右侧面的力为4mg，B错误由FN2mgm2R得，小球以2做匀速圆周运动时，在最高点小球对盒子上面的力为3mg，C错误盒子由最低点向最高点运动的过程中，小球的加速度先斜向上，后斜向下，故小球先超重后失重，D错误【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆”模型8(多选)如图6甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动小球运动到最高点时，杆
12、与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其Fv2图象如图乙所示则()图6A小球的质量为B当地的重力加速度大小为Cv2c时，小球对杆的弹力方向向上Dv22b时，小球受到的弹力与重力大小相等答案ACD解析当小球受到的弹力F方向向下时，Fmg，解得Fv2mg，当弹力F方向向上时，mgFm，解得Fmgm，对比Fv2图象可知，bgR，amg，联立解得g，m，A正确，B错误v2c时，小球受到的弹力方向向下，则小球对杆的弹力方向向上，C正确v22b时，小球受到的弹力与重力大小相等，D正确【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆”模型二、非选择题9(杆作用下小球的运动)如图7所示，长为L
13、0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，A端连着一个质量m2 kg的小球，g取10 m/s2.图7(1)如果小球的速度为3 m/s，求在最低点时杆对小球的拉力的大小(2)如果在最高点杆对小球的支持力为4 N，求杆旋转的角速度答案(1)56 N(2)4 rad/s解析(1)小球在最低点受力如图甲所示：合力等于向心力：FAmgm解得：FA56 N.(2)小球在最高点受力如图乙所示：则：mgFBm2L解得：4 rad/s.【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“杆”模型10(绳作用下物体的运动)在杂技节目“水流星”的表演中，碗的质量m10.1 kg，内部盛水质量m20.4 k
14、g，拉碗的绳子长l0.5 m，使碗在竖直平面内做圆周运动，如果碗通过最高点的速度v19 m/s，通过最低点的速度v210 m/s，g10 m/s2，求碗在最高点时绳的拉力大小及水对碗的压力大小答案76 N60.8 N解析对水和碗：mm1m20.5 kg，FT1mg，FT1mgN76 N，以水为研究对象，设最高点碗对水的压力为F1，则F1m2g，解得F160.8 N，根据牛顿第三定律可得水对碗的压力F1F160.8 N，方向竖直向上【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳”模型11(竖直面运动综合问题)如图8是小型电动打夯机的结构示意图，电动机带动质量为m50 kg的重锤(重锤可视为
15、质点)绕转轴O匀速运动，重锤转动半径为R0.5 m电动机连同打夯机底座的质量为M25 kg，重锤和转轴O之间连接杆的质量可以忽略不计，重力加速度g取10 m/s2.求：图8(1)重锤转动的角速度为多大时，才能使重锤通过最高点时打夯机底座刚好离开地面？(2)若重锤以上述的角速度转动，当打夯机的重锤通过最低位置时，打夯机对地面的压力为多大？答案(1) rad/s(2)1 500 N解析(1)当拉力大小等于电动机连同打夯机底座的重力时，才能使打夯机底座刚好离开地面：有：FTMg对重锤有：mgFTm2R解得： rad/s.(2)在最低点，对重锤有：FTmgm2R则：FTMg2mg对打夯机有：FNFTMg2(Mm)g1 500 N由牛顿第三定律得FNFN1 500 N.【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】圆周运动中的超重问题
