1、 知识要点知识要点 1、按照一定次序排列的一列数叫数列。、按照一定次序排列的一列数叫数列。 2、数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第、数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项）、第项（或首项）、第2项、项、 第第3项、项、第、第n项、项、 3、项数有限的数列叫做有穷数列，有穷数列的最后一项叫做这个数列的末项。、项数有限的数列叫做有穷数列，有穷数列的最后一项叫做这个数列的末项。 项数无穷的数列叫做无穷数列。项数无穷的数列叫做无穷数列。 4、 (1) 123(1) 2 nn nn （n为正整数）为正整数） 2222 1 123121 6 nn
2、nn （n为正整数）为正整数） 5、如果一个数列，从第、如果一个数列，从第2项起的每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差项起的每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差 数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示。表示。 等差数列求和公式：和等差数列求和公式：和（首项（首项末项）末项）项数项数 2 数数 列列 传说西塔发明了国际象棋而使国王十分高兴，他决定要重赏西塔，西塔说：“我不要你的重 赏 ，陛下，只要你在我的棋盘上赏一些麦子就行了。在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子 里放2粒，在第3个格子里放4粒，
3、在第4个格子里放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦 粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放满第64个格子就行了”。区区小数，几粒麦子， 这有何难，“来人”，国王令人如数付给西塔。 计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第二格内放2粒第三格内放2粒，还没有到第二 十格，一袋麦子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格飞快 增长着，国王很快就看出，即便拿出全国的粮食，也兑现不了他对西塔的诺言。 原来，所需麦粒总数为： 64 2118446744073709551615 这些麦子究竟有多少？打个比方，如果造一个仓库来放这些麦子，仓库高4公尺，宽10公尺， 那么仓库
4、的长度就等于地球到太阳的距离的两倍。而要生产这么多的麦子，全世界要两千年。尽 管国家非常富有，但要这样多的麦子他是怎么也拿不出来的。这么一来，国王就欠了西塔好大一 笔债。 等差数列等差数列 【例【例 1】 判断下面的数列中，哪些是等差数列？哪些是等比数列？如果是等差数列，请指明公差；判断下面的数列中，哪些是等差数列？哪些是等比数列？如果是等差数列，请指明公差； 如果不是，请说明理由。如果是等比数列，请指明公比；如果不是，请说明理由。如果不是，请说明理由。如果是等比数列，请指明公比；如果不是，请说明理由。 数列一：数列一：7、11、15、19、23、； 其它复合型数列 整数与数列 本讲 数表 应
5、用题 找规律计算 等差数列 应用题 求和方法 初步认识 等比数列 数列二：数列二：1、2、1、2、3、4、5、99、100； 数列三：数列三：1、2、4、8、16、32、64； 数列四：数列四：2、6、18、54、162； 数列五：数列五：2009、2009、2009、2009、2009、2009、2009； 数列六：数列六：1、0、1、0、1、0、1、0、1； 数列七：数列七：0、0、0、 【分析】数列一是等差数列，公差为4；因为 1115 711 ，所以不是等比数列。 数列二不是等差数列；不是等比数列。 因为2 112 ，即 2132 aaaa ；所以数列二不是等差数列；因为 21 12
6、，所以不是 等比数列。 数列三不是等差数列，数列三是等比数列，公比为2。 因为2 142 ，即 2132 aaaa ；所以数列三不是等差数列； 因为2 12 ，4 22 ，8 42 ，所以数列三是等比数列。 数列四是等比数列，公比为3；因为6 2186 ，所以不是等差数列。 数列五是等差数列，公差为0；还是等比数列，公比为1。 数列六不是等差数列；也不是等比数列。 因为0 110 ，即 2132 aaaa ；所以数列六不是等差数列；也不是等比数列。 数列七是等差数列，公差为0。不是等比数列，因为等比数列的每一项都不能为0。 【例【例 2】 下图所示的表中有下图所示的表中有55个数，那么它们的和
7、加上多少才等于个数，那么它们的和加上多少才等于1994？ 17131925313743495561 28142026323844505662 39152127333945515763 410162228344046525864 511 172329354147535965 【分析】（方法一）需先求出所给数列的和，然后看和1994差多少。 故可以先交给学生让大家用基本公式算所给数列的和， 可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的和相加。 （方法二）利用等差数列和中间数个数 第6列作为中间项，求和再乘以项数：(31 32333435) 111815 第3行为中间数列求和再乘以项数： (391521
8、27333945515763)51815 因此所求的和是 1994 1815179 【例【例 3】 在在1100这这100个自然数中，所有能被个自然数中，所有能被9整除的自然数的和是多少？整除的自然数的和是多少？ 【分析】在1100这100个自然数中，能被9整除的自然数依次为9、18、27、98、99， (999) (999)91 918279899594 2 即在1100这100个自然数中，所有能被9整除的自然数的和为594。 【例【例 4】 在不大于在不大于100自然数中，所有不能被自然数中，所有不能被9整除的自然数的和是多少？整除的自然数的和是多少？ %【分析】 在不大于100的自然书中
9、，能被9整除的自然数依次为0、9、18、27、 98、99， (099) (990)91 0918279899594 2 (0100) (1000)1 1 012398991005050 2 所以在不大于100的自然数中，所有能被9整除的自然数的和为5050 5944456 。 【例【例 5】 在在1 200这这200个自然数中，所有能被个自然数中，所有能被4整除或被整除或被11整除的自然数的和是多少？整除的自然数的和是多少？ %【分析】 在1 200这200个自然数中，能被4整除的自然数依次为4、8、12、 196、200， (4200) (2004)41 48121962005100 2
10、在1 200这200个自然数中，能被11整除的自然数依次为11、22、33、187、 198， (11 198) (19811)11 1 1122331871981881 2 在1 200这200个自然数中，既能被4整除又能被11整除的自然数， 即能被4,11 44 整除的自然数依次为44、88、132、176， (44176) (17644)441 4488132176440 2 在1 200这200个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的自然数的和为 510018814406541 。 【例【例 6】 （第七届小学（第七届小学“祖冲之杯祖冲之杯”数学邀请赛第一（数学邀请赛第一（1）题）七
11、个连续的自然数，最大的两个数）题）七个连续的自然数，最大的两个数 的和比最小的数大的和比最小的数大1997，那么中间的那个数是，那么中间的那个数是 _ 。 【分析】最大的数比最小的数大(7 1) 16 ， 所以第2大的数（从小到大第6数）为1997 61991 ； 所以中间数（从小到大第4数）为1991 (64) 11989 ； 或第2大的数比最小的数大(6 1) 15 ， 所以最大的数（从小到大第7数）为1997 51992 ； 所以中间数（从小到大第4数）为1992 (74) 11989 【例【例 7】 计算：计算：1 3467910121366676970_ 。 【分析】（方法一）1 3
12、467910121366676970 (147106770)(369126669) (170) (701)31(369) (693)31 8528281680 22 （方法二）1 3467910121366676970 (123456789656667686970)(2586568) (170) (701)1 1(268) (682)31 24858051680 22 【例【例 8】 如图所示，有一个六边形点阵，它的中心是个点，算作第如图所示，有一个六边形点阵，它的中心是个点，算作第1层；第层；第2层每边有层每边有2个点（相个点（相 邻两边公用一个点）；第邻两边公用一个点）；第3层每边有层每边
13、有3个点；个点；这个六边形点阵共有；这个六边形点阵共有2010层。请问层。请问 第第2010层有多少个点？这个点阵共有多少个点？层有多少个点？这个点阵共有多少个点？ %【分析】 第1层有1个点、第2层有1 6 个点、第3层有2 6 个点、 第2010层有2009 612054 个点。 这个点阵共有1 1 6 2620096 120092009 1(122009)61612114271 2 （） 个点。 【例【例 9】 如图所示，如图所示，1条直线将条直线将1个平面分成个平面分成2部分，部分，2条直线最多将条直线最多将1个平面分成个平面分成4部分，部分，3条直条直 线最多将线最多将1个平面分成个
14、平面分成7部分，部分，4条直线最多将条直线最多将1个平面分成几部分？那么个平面分成几部分？那么5条直线最多条直线最多 将将1个平面分成多少部分？个平面分成多少部分？ %【分析】 如果有3条直线，再增加1条直线，这条新增加的直线与前3条直线至多有3个交 点； 所以这条新增加的直线至多能被分成3 14 段； 因为每段直线将原有的部分分成2个部分； 所以至多能增加2 13 个部分。4条直线最多将1个平面分成7 411 部分。 如果有4条直线，再增加1条直线，这条新增加的直线与前4条直线至多有4个交点； 所以这条新增加的直线至多能被分成4 15 段； 因为每段直线将原有的部分分成2个部分；所以至多能增
15、加4 15 个部分。 那么5条直线最多将1个平面分成11 516 部分。（下图中圆代表一个平面） 【例【例 10】 如图所示，如图所示，1条直线将条直线将1个平面分成个平面分成2部分，部分，2条直线最多将条直线最多将1个平面分成个平面分成4部分，部分，3条直条直 线最多将线最多将1个平面分成个平面分成7部分，部分，4条直线最多将条直线最多将1个平面分成个平面分成11部分，部分，那么，那么2009条条 直线最多将直线最多将1个平面分成多少部分？（圆内部代表平面）个平面分成多少部分？（圆内部代表平面） %【分析】 如果有k条直线，再增加1条直线，这条新增加的直线与前k条直线至多有k个交 点； 所以
16、这条新增加的直线至多能被分成 1k 段； 因为每段直线将原有的部分分成2个部分；所以至多能增加 1k 个部分。（kN） 所 以 n 条 直 线 最 多 将 平 面 分 成 2 (1)2 1(12)1 22 n nnn n 个 部 分 （n Z ）。 所以2009条直线最多将平面分成 2 200920092 2019046 2 个部分。 【例【例 11】 （2009年年12月月20日第十届日第十届“中环杯中环杯”小学生思维能力训练活四年级选拔赛第一（小学生思维能力训练活四年级选拔赛第一（9）题）题） 平面上有一个圆，能把平面分成平面上有一个圆，能把平面分成2部分；部分；2个圆最多能把平面分成个圆
17、最多能把平面分成4部分。现在有部分。现在有7个圆，个圆， 最多能把平面分成最多能把平面分成 _ 部分。部分。 %【分析】 （方法一）列表可得 圆的个数 1 2 3 4 5 6 7 平面的个数 2 4 8 14 22 32 44 平面的个数之差是一个等差数列，例如1个圆到2个圆，平面的个数相差4 22 个， 2个圆到3个圆，平面的个数相差844 个，3个圆到4个圆，平面的个数相差 1486 个， 依次相加得到所以7个圆最多能将平面分成2 (24681012)44 个平面。 （方法二）如图1所示，平面上1个圆把平面分成2部分； 如图2所示，增加1个圆，与原来1个圆至多有2个交点， 2个交点能把增加
18、的这个新增加的圆分成2段弧； 而每个段弧又将原来的的平面分成2部分，即新增加1部分； 所以2段弧至多增加2部分。 当有k个圆时，再增加1个圆，与原来k个圆至多有2k个交点， 2k个交点能把增加的这个新增加的圆分成2k段弧； 而每个段弧又将原来的的平面分成2部分，即新增加1部分； 所以2k段弧至多增加2k部分。 所以n个圆最多能将平面分成 2 2242(1)2nnn 个平面； 所以7个圆最多能将平面分成 2 77244 个平面。 等比数列等比数列 【例【例 12】 在括号中填入数，使数列成为等比数列。在括号中填入数，使数列成为等比数列。 2、 、4、（、（ ）、（）、（ ）、）、32、64、12
19、8； 3、（ 、（ ）、（）、（ ）、）、3000、30000； 1、 、11、（、（ ）、）、1331、14641、（、（ ）、（）、（ ）。）。 【分析】2、4、（8）、（16）、32、64、128；公比为2。 3、（30）、（300）、3000、30000；公比为10。 1、11、（121）、1331、14641、（161051）、（1771561）；公比为11。 【例【例 13】 数列求和：数列求和： 248163264128_ 。 【分析】这个数列从第二项开始每一项都是前面数的2倍，是等比数列。 记 248163264128s ， 4 31 221 图2 图1 22(24816326
20、4128)48163264128256s 22562254sss 。 【说明】这种方法称为“错位相减法”。 【例【例 14】 计算：计算：1 392781243729_ 。 【分析】这个数列从第二项开始每一项都是前面数的3倍，是等比数列。 记 1392781243729s ，3 3927812437292187s ， 32218712186sss 【例【例 15】 （2006年第四届小学年第四届小学“希望杯希望杯”全国数学邀请赛四年级第全国数学邀请赛四年级第1试第试第19题）成语题）成语“愚公移山愚公移山” 比喻做事有毅力，不怕困难。假设愚公家门口大山有比喻做事有毅力，不怕困难。假设愚公家门口
21、大山有80万吨重，愚公有两个儿子，他的万吨重，愚公有两个儿子，他的 两个儿子又分别有两个儿子，依次类推。愚公和他的子孙每人一生能搬运两个儿子又分别有两个儿子，依次类推。愚公和他的子孙每人一生能搬运100吨石头。如吨石头。如 果愚公是第一代，那么到了第果愚公是第一代，那么到了第_代这座大山可以搬完。（已知代这座大山可以搬完。（已知 10 21024 ） 【分析】愚公家第一代有1人，第二代有2人，第三代有 2 24 人，第四代有 3 28 人， 第十三代有 12 24096 人， 因为(1 2484096) 100819100800000 ， 所以第十三代大山就全搬完。 【例【例 16】 某课题研
22、究小组对附着在物体表面的三个微生物（课题小组成员把他们分别编号为某课题研究小组对附着在物体表面的三个微生物（课题小组成员把他们分别编号为1、2、 3）的生长情况进行观察记录。这三个微生物第一天各自一分为二，产生新的微生物（分 ）的生长情况进行观察记录。这三个微生物第一天各自一分为二，产生新的微生物（分 别被标号为别被标号为4、5、6、7、8、9），接下去每天都都按照这样的规律变化，即每个生），接下去每天都都按照这样的规律变化，即每个生 物一分为二，形成新的微生物。那么标号为物一分为二，形成新的微生物。那么标号为100的微生物会出现在第几天？的微生物会出现在第几天？ 【分析】第一天原有3 26
23、个，第二天新增6 212 个，第三天新增12 224 ， 微生物分裂新增的个数是一个等比数列。 分裂到第四天是有3 612244893 个， 分裂到第五天是有3 612244896189 个。 标号为100的出现在第五天。 其他数列其他数列 【例【例 17】 如图表中数的排列顺序。请问如图表中数的排列顺序。请问2009在第几行第几列？在第几行第几列？ 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 1 2 5 10 17 第2行 4 3 6 11 18 第3行 9 8 7 12 19 第4行 16 15 14 13 20 第5行 25 24 23 22 21 %【分析】 根据填写顺序和规律，设
24、m为数表中的一个数（m Z ）。 当 2 mn ，那么m在第n行、第1列（n Z ）； 当 2 (1)1mn ，那么m在第1行、第n列（n Z ）； 当m 2 n ，那么m的行数和列数都小于等于n（ ,m n Z ）； 当 2 (1)nm 2 n ，那么m在n行或在n列（ ,m n Z ）； 第n行、第n列的数为 22 (1)1 2 nn （n Z ）， 当 2 (1)nm 22 (1)1 2 nn ，那么m在n列， 当 22 (1)1 2 nn m 2 n ，那么m在n行（ ,m n Z ）； 当 2 (1)nm 22 (1)1 2 nn ，那么m在n列、第 2 (1)mn 行， 当 22
25、(1)1 2 nn m 2 n ，那么m在n行、第 2 1nm 列（ ,m n Z ）。 2 441936 ， 2 452025 ， 22 (441)45193612025 1981 22 ； 1981 20092025； 2009 在45行、第 2 452009120252009117 列。 【例【例 18】 正整数数列按图中排成一个数阵，自上至下第正整数数列按图中排成一个数阵，自上至下第1行有行有1个数、第个数、第2行有行有3个数、第个数、第3行有行有5 个数、个数、第、第n行有行有2 1n 个数（个数（n为正整数）。请问：（为正整数）。请问：（1）自上至下第）自上至下第10行中所有行中所
26、有 数的和是多少？（数的和是多少？（2）2010排在第几行第几列？排在第几行第几列？ 1 234 56789 1011 1213 141516 【分析】前9行一共有 2 135(921)981 个数，它们的和为 (181)81 3321 2 ； 前 10 行 一 共 有 2 135(1021)10100 个 数 ， 它 们 的 和 为 (1 100) 100 5050 2 ； 自上至下第10行中所有数的和为5050 33211729 。 前n行一共有 2 135(21)nn 个数（n Z ）。 因为 2 441936 ， 2 452025 ，2010 193674 ；所以2010排在第45行第
27、74列。 【例【例 19】 正整数正整数1、2、3、的排列顺序如图表所示，其中的排列顺序如图表所示，其中18位于第位于第3行、第行、第4列。请问列。请问2010 位于第几行（从上往下数）、第几列（从左往右数）？位于第几行（从上往下数）、第几列（从左往右数）？ 【分析】设m为行数、n为列数， 1amn ， 令 (1) 1232010 2 a a a ， (1)4020a a ， 因为62 6339064020 、63 64 40324020 ，所以 min 63a 。 3906211954 位于第63行、第1列； 2010195456 ，2010位于63 567 行、第1 5657 列。 18
28、17 1615 14 13 12 11 10 9 8 76 5 4 3 21 【例【例 20】 计算：计算： 22222 1235960_ 。 【分析】 22222 1 12359606061 12173810 6 【说明】公式 2222 1 123(1)(21) 6 nn nn 的证明方法： 图一旋转得到图二，再旋转得到图三。 1 22 333 4444 11nn nnnn 1 1 4 34 2341 12341 n nn n nn nn 1 1 4 43 1432 14321 n nn n nn nn 图一 图二 图三 记图一中所有数的和是 2222 123sn 。 图一、图二、图三相同位
29、置的三个数的和都是2 1n ； 图一、图二、图三各有 1 123(1)(1) 2 nnn n 个数； 所以图一、图二、图三中所有数的和 11 3(21)(1)(1)(21) 22 snn nn nn 所以 1 1 21 6 sn nn 【例【例 21】 计算计算： 222222 56782930_ 。 【分析】 222222 56782930 22222222222222 1234567829301234 11 3031 6145 99455309425 66 【例【例 22】 计算：计算： 22222 2461820_ ； 22222 1351719_ 。 【分析】因为2 2 1 、4 22
30、 、6 23 、18 29 、20 2 10 ； 所以 2222 2(2 1)21 、 2222 4(22)22 、 2222 6(23)23 、 2222 18(29)29 、 2222 20(2 10)210 ； 22222222222 1 24618202123910410 11 211540 6 ； 222222222222222 135171912319202461820 1 2021 41 1540287015401330 6 【例【例 23】 计算：计算：1 3 243 5979998 100_ 。 【分析】1 3 243 5979998 100 (21)(21)(3 1)(31
31、)(41)(41)(981)(981)(991)(991) 2222222222 213141981991234989998 222222 1 123498999999 100 1999932835099328251 6 【例【例 24】 计算：计算：17 18 18 1919202930_ 。 【分析】17 18 18 1919202930 1 17 18191618 19201729303128 3 1 17 18 1916 17 1818 192017 18 19293031282930 3 29 1031 16 1767358 【例【例 25】 （2003年中国台湾省小学生数学竞赛选拔
32、赛复赛第年中国台湾省小学生数学竞赛选拔赛复赛第4题）题） 20036 66666A 个 ， 20035 55555B 个 ，则，则3 AB 的值的所有数字之和是多少？的值的所有数字之和是多少？ 【分析】 20036200352003320035 33 66666555553 33333255555AB 个个个个 20031200312003920030 99999 111110(1000001) 11111 10 个个个个 200312003120031200312003020030 (111110000011111) 10(111110000011111) 10 个个个个个个 2002120
33、020 1111108888890 个个 所以 3AB 的值的所有数字之和为 12002082002909200299200318027 【例【例 26】 （ 2008 年第十三届年第十三届“华罗庚金杯华罗庚金杯”少年数学邀请赛（小学组）初赛第少年数学邀请赛（小学组）初赛第5题）若题）若 10041520083 151515 3333a 个个 ，则整数，则整数a的所有数位上的数字和等于的所有数位上的数字和等于 _ 。 【分析】 10041520083100451003020083 151515 3333505053 3333a 个个个 和个个 1004510030200831004510030
34、112008 50505999950505100001 个 和个个个 和个个 和个0 （） 1004510030200810041003010035010044915 50505 0000505055050504949495 个 和个个0个5和个个个和 个 整数a所有数位上的数字和等于1003 (5 0)1004(49)518072 【例【例 27】 已知已知 20092 2009 2222222222a 个 个数相加 ，求，求a是多少？是多少？ 【分析】因为2 992(101)92 、22 9992(1001)92 、 22299992(10001)92 、 2009320099112009
35、0 2222999992(100001)92 个个个 和个 所以 1120090 (10100100010000)2009 192a 个 和个 20091102007130 (111111102009)921111000189992 个 和 个个 和 个 （） 因为111111111 9212345679224691358 ； 所以 200713022324691358020 11110009224691358024691358024691358000 个 和 个个和 个 又因为1899 92211 2422 所以 20071302007130 111100018999211110009218
36、9992a 个 和 个个 和 个 （） 22324691358020 24691358024691358024691358000422 个和 个 22224691358010 24691358024691358024691358024691357578 个和 个 【例【例 28】 将将1、2、3、49、50任意分成任意分成10组，每组组，每组5个数，在每组中取数值居中个数，在每组中取数值居中的那个的那个 数为数为“中位数中位数”，求这，求这10个中位数之和的最小值和最大值。个中位数之和的最小值和最大值。 %【分析】 对于每一个“中位数”都存在2个比它小的数、2个比它大的数。 从1开始顺次数到3
37、0，每3个数一组分成10组， 然后将31到50这50个数任意分给这10组， 例如：（1、2、3、31、32），（4、5、6、33、34），（28、29、30、49、 50）； 这样得到的10个“中位数”之和最小，为 (330) 10 3692730165 2 。 从21开始顺次数到50，每3个数一组共分成10组， 然后将1到20这20个数任意分给这10组， 例如：（1、2、21、22、23），（3、4、24、25、26），（5、6、48、49、 50）； 这样得到的10个“中位数”之和最大，为 (2148) 10 2124274548345 2 。 【例【例 29】 将正奇数数列将正奇数数列1
38、、3、5、7、9、11、13、15、17、19，按下列方式分组：（，按下列方式分组：（1、 3），（ ），（5、7、9），（），（11、13），（），（15、17、19），），；请问要使这个数列前；请问要使这个数列前n 项之和最先超过项之和最先超过2009，则第，则第n项是多少？位于分组之后第几组的第几个？项是多少？位于分组之后第几组的第几个？ %【分析】 正奇数数列前n项和为 2 135(21)nn ， 因为 2 441936 ， 2 452025 ， 所以 45n ，第45项为2 189n ， 因为45 59 ； 所以第45项89位于9 218 组的第3个数。 【例【例 30】 （2004
39、年第二届年第二届“走进美妙的数学花园走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大 赛四年级）黑板上写有从赛四年级）黑板上写有从1开始的一些连续奇数开始的一些连续奇数1、3、5、7、9、，擦去，擦去其中的一其中的一 个数，剩下的所有的数之和为个数，剩下的所有的数之和为2008。请问擦去的那个奇数是多少？。请问擦去的那个奇数是多少？ %【分析】 设这些连续的正奇数一共有n个（n Z ） 如果没有擦去，则黑板上所有正奇数的和为 2 135(21)nn 2 (21)nn 2002 2 1n ；所以 (2)n n 2001， 2 n 2003 因为
40、43 451935 、44 462024 ；所以n45； 因为 2 441936 、 2 452025 ；所以n45；所以 45n ，这些连续的正奇数一共有45个。 擦去的那个奇数为 2 45200817 。 【例【例 31】 用完全相同的小立方体在墙角上。在墙角上摆用完全相同的小立方体在墙角上。在墙角上摆1层，有需要层，有需要1个小正方体（如图一所示）；个小正方体（如图一所示）； 在墙角上摆在墙角上摆2层，有需要层，有需要4个小正方体（如图二所示）；在墙角上摆个小正方体（如图二所示）；在墙角上摆3层，有需要层，有需要10个小个小 正方体（如图三所示）；在墙角上摆正方体（如图三所示）；在墙角上
41、摆4层，有需要层，有需要15个小正方体（如图四所个小正方体（如图四所示）；示）； 依次类推；如果要摆依次类推；如果要摆2009层，最下面一层需要多少个小正方体？总共需要多少个小正方层，最下面一层需要多少个小正方体？总共需要多少个小正方 体？体？ %【分析】 从上往下，第1层需要1个小正方体；第2层需要1 2 个小正方体； 第3层需要1 23 个小正方体；第4层需要1 234 个小正方体； 第2009层需要 (12009)2009 123420092019045 2 个小正方体； 第n需要 (1) 1234 2 n n n 个小正方体（n Z ）。 如果要摆 2009 层，需要 1(12)(12
42、3)(1234)(12342009) 1 2233445200920101 223344520092010 222222 2009(20091)(20092) 3 1353433165 2 个小正方体； 图一 图二 图三 图四 如果要摆n层，需要1 (12)(123)(1234)(1234)n 1 2233445(1)1 2233445(1) 222222 n nn n (1)(2) (1)(2) 3 26 n nn n nn 个小正方体（n Z ）。 【例【例 32】 （1999年第八届日本小学算术奥林匹克大赛高小组决赛第年第八届日本小学算术奥林匹克大赛高小组决赛第6题）从整数题）从整数1开
43、始不改变顺开始不改变顺 序 相 加 ， 中 途 分 为 两 组 ， 使 各 组 的 和 相 等 。 如序 相 加 ， 中 途 分 为 两 组 ， 使 各 组 的 和 相 等 。 如 123 ； 12341415161720 。请问：除上述两例外，能够列出这样的最。请问：除上述两例外，能够列出这样的最 短的整数算式是从短的整数算式是从1到几？到几？ %【分析】 如图1所示，把所求整数用阶梯图表示，在分开的部分（等号的地方）用虚线表 示； 如图2所示，沿虚线将分开的部分折返。 图2中，设折返超出部分的长度a，剩余部分的长度为b； 所以 (1) 12 2 A a a Sa ， 2 13(21) B Sbb ； 因为 ACBC SSSS ；所以 AB SS ，即 2 (1) 2 a a b
