1、 高三数学（文科）三诊试题参考答案第 1 页（共 8 页） 遂 宁 市 高 中 2020 届 三 诊 考 试 数学（文科）试题参考答案及评分意见 一、选择题（12 5=60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D B A A B C C A D C C 二、填空题（45=20 分） 13. 1 14. 2 17 15. 4 1 16.10 三、解答题：本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 （本小题满分 12 分） 【解析】 （1）由函数( )sin()(0,0,0)f xAxA的部分图象可得 2A, 5 288 T ,即T,
2、则 2 2 T ，又函数图像过点,2 8 ， 则22 82 k ， 即2, 4 kkZ ，又0，即 4 ， （,A 每值 1 分） 即( )2sin(2) 4 f xx ，则( )2sin2()2cos2 84 g xxx 4 分 由kxk222，Zk，得 2 kxk，Zk， 所以函数)(xg的单调减区间为Zkkk , 2 , 6 分（少 Zk扣 1 分） （2）由1)(Cg，得 2 1 2cosC，因为 2 0 C， 所以 C20，所以 3 2 2 C， 3 C ， 高三数学（文科）三诊试题参考答案第 2 页（共 8 页） 又sin2sinBA，由正弦定理得2 b a 8 分 由余弦定理，得
3、 222 2cos 3 cabab ，即 22 3abab 由解得1a ，2b 11 分 所以3ba 12 分 18 （本小题满分 12 分） 【解析】(1)设代表队共有n人，则 n 60 16 6 ，所以160n，则三等奖代表队的男生人数 为30)3020203030(160，故所求二等奖代表队的男生人数为30人。 3 分 （2） 设男生为 1 A， 2 A， 女生为 1 B， 2 B， 3 B， 随机抽取 3 人， 包括的基本事件为 121 BAA， 221 BAA， 321 BAA， 211 BBA， 311 BBA， 321 BBA， 212 BBA， 312 BBA， 322 BBA
4、， 321 BBB， 个数为 10 个，只有一个男生上台领奖基本事件为 211 BBA， 311 BBA， 321 BBA， 212 BBA， 312 BBA， 322 BBA，个数为 6 个，所以只有一个男生上台领奖的概率为 5 3 10 6 。 8 分 (3)试验的全部结果所构成的区域为22, 22,yxyx， 面积为1644 S， 事件A表示代表队队员获得奖品，所构成的区域为 2 1 22 22 , yx yx y x yxA， 如图阴影部分的面积为 2 19 33 2 1 22 2 1 44 A S， 这是一个几何概型，所以 32 19 16 2 19 )( S S AP A 。 高三
5、数学（文科）三诊试题参考答案第 3 页（共 8 页） 即代表队队员获得奖品的概率为 32 19 。 12 分 19 （本小题满分 12 分） 【解析】（1）因为在长方体HKLEABCD中，有DE 平面ABCD，所以DEAC， 因为四边形ABCD是正方形，所以ACBD，又DDEBD从而AC 平面 BDE而BE平面BDE，所以BEAC 。 5 分 （2）因为在长方体HKLEABCD中，有BE与平面ABCD所成角为 3 ， 由（1）知DBE为直线BE与平面ABCD所成的角， 所以 3 DBE， 所以 3 ED DB 由 3AD可知3 6DE ，所以63AH，又 02 HFAF ， 即AHAF 3 1
6、 ，故 6AF ，在DE上取一点G，使DEDG 3 1 ， 连接FG，则在长方体HKLEABCD中，有FGADBC， 且BCADFG，所以四边形FBCG为平行四边形， 所以BFCG，在BD上取一点N，使BMDN 因为 2BM ， 23BD ，所以BDBMDN 3 1 , 所以在正方形ABCD中， OMON ，所以CONAOM（SAS）。 所以AMOCNO， 所以AMCN，所以GCN（或其补角）为异面直线AM与BF所成的角， 在GNC中， 15 22 ABAFBFGC ， 在AMB中，由余弦定理得5 4 cos2 22 BMABBMABAM， 则5 AMCN，又 22 22 DNGDGN 在GN
7、C中，由余弦定理得 5 32 2 cos 222 NCGC GNNCGC GCN。 故所求余弦值为 5 32 。 12 分 高三数学（文科）三诊试题参考答案第 4 页（共 8 页） 20 （本小题满分 12 分） 【解析】（1）因为 6 0 x，所以 sin x a x ， 令 sin ( ) x g x x ， 2 cossin xxx gx x ， 再令 cossinm xxxx， cossincossin0m xxxxxxx， 所以 ( )m x在) 6 , 0( 上单调递减，所以 ( )00m xm。 3 分 所以 0gx ，则( )g x在) 6 , 0( 上单调递减，所以 3 )
8、6 ()( gxg， 所以 3 a，又0a，即正实数a的取值范围是 3 , 0( . 5 分 （2）1cos)()(axxfxF1cossinaxxax， 则axxxaxF) 4 sin(2sincos)( / ， 7 分 因(0, )x，故2sin( 1,2 4 x ， 又1a ，故)( / xF0对 (0, )x 恒成立，即)(xF在区间0,单调递增； 又2)0( aF，0) 1()(aF； 10 分 故当21 a时，02)0( aF，此时)(xF在区间0,内恰好有1个零点； 当2a时，02)0( aF，此时)(xF在区间0,内没有零点。 12 分 21 （本小题满分 12 分） 【解析】
9、（1）椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 上的点) 2 2 , 1 ( 的下辅助点为1, 1， 辅助圆的半径为 2) 1(1 22 R，椭圆长半轴为2 Ra， 高三数学（文科）三诊试题参考答案第 5 页（共 8 页） 将点) 2 2 , 1 ( 代入椭圆方程1 2 2 22 b yx 中，解得1b， 椭圆E的方程为 1 2 2 2 y x ； 4 分 （2）设点),( 00 yxN)0( 0 y，则点),( 10 yxM)0( 1 y，将两点坐标分别代入辅助圆方 程和椭圆方程可得，2 2 0 2 0 yx，1 2 2 1 2 0 y x ，故 2 1 2 0 2yy，即 10 2
10、yy ， 又 8 632 )( 2 1 010 yyxS OMN ，则 4 6 10 yx 6 分 将 4 6 10 yx与1 2 2 1 2 0 y x 联立可解得 2 6 2 2 0 0 y x 或 2 2 2 6 0 0 y x ， 下辅助点N的坐标为 ) 2 6 , 2 2 (或) 2 2 , 2 6 (； 7 分 （3）由题意可设 11 ,A x y， 22 ,B x y. 联立 2 2 1 2 x y xmyt 整理得 222 2220mymtyt ， 则 22 820mt . 根据韦达定理得 12 2 2 12 2 2 2 2 2 mt yy m t y y m ， 8 分 因为
11、OP OA OB . 所以 12 2 2 2 P mt yyy m ， 121212 2 4 2 2 P t xxxmytmytm yyt m 因为点P在椭圆E上，所以 22 2 22 22 164 1 222 tm t mm ， 高三数学（文科）三诊试题参考答案第 6 页（共 8 页） 整理得 22 2 2 42 1 2 mt m ，即 22 42tm 10 分 在直线l：0xmyt 中，由于直线l与坐标轴围成三角形，则0t ，0m. 令0x，得 t y m ，令0y ，得xt. 所以三角形面积为 2 1121212 | |2 2 28|8|84 tm Stm mmm 当且仅当 2 2m ，
12、 2 1t 时，取等号，此时240. 所以直线l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为 2 4 . 12 分 22 （本小题满分 10 分） 【解析】 （1）将曲线方程1 4 )2( 16 )2( 22 yx ，先向左平移2个单位，再向上平移2个 单位，得到曲线C的方程为1 4 )22( 16 )22( 22 yx ，也即1 416 22 yx ， 故曲线C的参数方程为 sin2 cos4 y x (为参数） ； 2 分 又点),(yxM为曲线C上任意一点， 所以) 3 cos(4sin32cos23 2 1 yx， 所以yx3 2 1 的最大值为4； 5 分 （2） 由 （1） 知曲线C的直角坐
13、标方程为1 416 22 yx ， 又直线l的参数方程为 ty tx 2 2 ， 高三数学（文科）三诊试题参考答案第 7 页（共 8 页） （t为参数） ， 所以直线l的普通方程为042yx， 所以有 1 416 042 22 yx yx 解得 0 4 y x 或 2 0 y x ， 8 分 所以线段EF的中点坐标为) 2 20 , 2 04 ( ，即线段EF的中点坐标为) 1 , 2(，直线l的斜率 为 2 1 ， 则 与 直 线l垂 直 的 直 线 的 斜 率 为2， 故 所 求 直 线 的 直 角 坐 标 方 程 为 )2(21xy，即032 yx，将cos ,sinxy代入，得其极坐标
14、方程为 03sincos2 10 分 23 （本小题满分 10 分） 【解析】（1）不等式 2 ( )f xx化为 2 32xx， 即 2 3 2 2 xx，等价于 2 3 2 23 x xx 或 2 3 2 32 x xx ， 由解得 3 2 x ，由解得3x或 3 1 2 x， 4 分 所以不等式 2 ( )f xx的解集为31x xx 或 5 分 （2）根据绝对值三角不等式可知 )()()(xgxfxFbaxxbaxx223232 33223bababaxx， 7分 因为)()()(xgxfxF的值域为, 5 所以2ba，则622ba， 故) 2 2 2 2 2( 6 1 ) 2 22 2 22 ( 6 1 2 1 2 1 b a a b b ba a ba ba 高三数学（文科）三诊试题参考答案第 8 页（共 8 页） 3 2 ) 2 2 2 2 22( 6 1 b a a b ， 当且仅当 2 2 2 2 b a a b ， 即1ab时取等号时，由基本不等式可得 3 2 2 1 2 1 ba 10分
