1、一些有用的结论和证明12tttYBBXu12ttYBBX12tttYbb Xe12ttYbb X12ttteYbb X一、一元线性回归模型的参数最小二乘估计量的推导：对于总体回归模型和总体回归函数：其样本回归模型和样本回归函数，由样本回归模型得到：12212,()ttbbM inYbb X21212()0ttteYbb Xb 21222()0tttteYbb XXb 最小二乘估计量的求解过程可以归结为如下问题：122,tbbM ine即：求解该问题，有如下一阶条件：续上：122222221,1()ttttttttttttttttbYb XX YXYX YnXYx ynbxXX yYYXnXxX
2、Xn其中，1212()0()0tttttYbbXYbbXX化简得到如下正规方程：由正规方程得到如下解：续上：二、残差一些特性的证明1.样本回归线过样本均值点，即有：证明：根据第一个正规方程就可以得到以上结论。证毕2.证明：12Ybb X/0ieen0)()(2121iiiiiiiXbnbYXbbYYYe以上结论，用到了第一个正规方程。证毕续上0iie X 0iie Y 3.证明：12()0iiiiie XYbb XX1212()0iiiiiiie Ye bb Xbebe X以上结论用到了第二个正规方程证毕4.证明：证毕三、证明最小二乘估计量是最优线性无偏估计量：1.线性（1）关于b2。证：22
3、222ttttttttttttttx yx YbxxxYxxc Ycx其中，由于ct是非随机变量，所以b2是关于Yt的线性函数。21212()ttttttttttbc YcBB Xuc Bc B Xc u又由于：所以，b2也是ut的线性函数。续上：(2)关于b1。证：121()1ittttttttbYb XYXc YnXc YnD YDXcn其中，所以，b1也是Yt的线性函数。又由于，11212()ttttttttttbD YDBB XuD BD B XD u所以，b1也是ut的线性函数。续上：2.无偏性(1)关于b2。2121212122()()()()0ttttttttttttttttE
4、bEc BB XuEBcB c XcuBcB c Xc E uBcBc XB 由此可知，b2是B2的无偏估计量。(2)关于b11121212121()()()()0ttttttttttttttttE bEDBB XuEB DB D XD uB DB D XD E uBDBD XB 所以，b1是B1的无偏估计量。3.有效性首先求解b1和b2的方差 112122222222211223312121313222212()()()()()()00()()()()()()0ttttttttttttttttijijiVar bVarDYVarD BB XuVarB DVarB D XVarD uED uE
5、D uED uE D uD uD uE D D u uD D u uD D u uDDD2222222221()ttttDXnxxnXnx续上：因为2222222()2ttttxXXXnXnXXnX所以2212()ttXVar bnx续上：21212222222()()()()()()00()ttttttttttttttVar bVar cYVar c BB XuVar B cVar B c XVar c uc E ucx有效性证明n假定 、是用其他计量经济方法得到的任一组线性无偏估计量，下面证明最小二乘估计量满足1b2b(1)关于b2由于 是一元线性回归模型的线性无偏估计量，令1122()(
6、)()()Var bVar bVar bVar b2b2ttbY其中,1,2,ttntttcg。不是一般性，令。这里2tttxcx。续上：于是21212()ttttttttbBB XuBBXu由于 是 的无偏估计量，所以 ，由此可知21212()()ttttttttE bE BBXuBBX2b2B22()E bB0t1ttX，而()tttttcgcgttttttXc Xg X续上：又由于0,1tttcg X因此0,0tttgg X由于22ttbBu所以2222()()tttVar bVar Bu222222222222()222ttttttttttttttttttttcgcgc gx gcgxX gXgcgxcg续上：而因此22222222222()()()tttttVar bcggxVar bg所以22()()Var bVar b(2)关于b1其证明和b2类似。四、关于判定系数 和相关系数 之间的关系2rr根据判定系数的定义知道：22222()()(1)()iiiiYYYYrYYyYY其中有：1212iiYbb XYbb X又知：2()iiYYb x把上式带入（1）式得到：22222(2)iibxry又知：22iiixyxb将 带入（2）式可得到：2b2222)(iiiiyxyxr
