1、2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算（第一课时）（胡文娟）一、教学目标（一）核心素养通过指数运算符号的使用与运算法则的总结，培育学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养，为指数函数学习打下坚实基础（二）学习目标1理解根式的概念并掌握运用根式的性质进行化简2理解分数指数幂的概念3掌握根式与分数指数幂之间的互化（三）学习重点1根式与分数指数幂概念的理解2分数指数幂的运算性质（四）学习难点根式与分数指数幂的互化二、教学设计（一）课前设计1预习任务（1）读一读：阅读教材第49页至第51页，填空：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且式子叫做根式，其中叫做被开方数，叫做根指数 当为奇数时，正数
2、的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数 当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数 式子叫做根式这里叫做根指数，叫做被开方数（2）计算下列各式 ；观察上面的计算结果，你得到的结论是： （用字母表达）详解： ； ；结论：为奇数，；为偶数，2预习自测（1）若表示实数，则下列说法正确的是（ ）A一定是根式B一定不是根式C一定是根式D只有当才是根式【知识点】根式的定义【数学思想】【解题过程】根据根式定义可得C正确【思路点拨】根据根式的定义直接判断【答案】C（2）（ ）A4B2CD【知识点】根式的化简【数学思想】【解题过程】【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算【答案】D（3）将写为根式
3、，则正确的是（）ABCD【知识点】根式与分数指数幂的互化【数学思想】【解题过程】【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化关系【答案】D（4）将写为分数指数幂的形式，则正确的是（ ）ABCD【知识点】根式与分数指数幂的互化【数学思想】【解题过程】【思路点拨】运用根式与分数指数幂的互化关系【答案】B(二)课堂设计1知识回顾（1）平方根 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（square root）或二次方根 （2）立方根 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（cube root）或三次方根（3）正数有两个平方根，他们互为相反数，其中正的平方根称为算术平方根；0
4、的平方根是0；负数没有平方根 任何一个数都有唯一一个立方根，并且这个立方根的符号与原数相同2. 问题探究探究一 根式的概念与根式的化简活动 回顾理解方根与根式的概念在初中，我们学习过二次方根概念:一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根（square root）或二次方根其中，a叫做被开方数当a0时，表示a的算术平方根我们也学习过三次方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根（cube root）或三次方根 提问：如果一个数的4次方等于a，那么这时候这个数叫做什么呢？ 这个数叫做a的四次方根 追问：如果一个数的n次方等于a，那么这时候这个数又叫做什么呢
5、？（抢答）一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且式子叫做根式，其中a叫做被开方数，n叫做根指数 【设计意图】通过回顾已学知识，从特殊到一般，让学生自己总结归纳，加深学生对根式的理解活动 根式的性质表示的n次方根，等式一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么？（分小组讨论）若n为奇数时，n为偶数时，也就是说，当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数；当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数追问：一定成立吗？很明显，当根式有意义的情况下一定成立综上，根式的性质有：，（n为大于1的奇数），（n为大于1的偶数） 【设计意图】通过学生自主讨论探究归纳总结
6、，得出根式的化简方法，加深印象探究二 分数指数幂的概念活动 探究分数指数幂的概念当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡t年后，体内碳14含量P的值例如：当生物死亡了5730，25730，35730，年后，它体内碳14的含量P分别为，当生物死亡了6000年，10000年，100000年后，根据上式，它体内碳14的含量P分别为，问题：以上三个数的含义到底是什么呢？考古学家正式利用有理数指数幂的知识，计算出生物死亡600
7、0年，10000年，100000年后体内碳14含量P的值例如，当t=6000时，（精确到0.001），即生物死亡6000年后，其体内碳14的含量约为原来的48.4%归纳：分数指数幂是一个数的指数为分数 【设计意图】从生活中的实际例子到数学语言，从特殊到一般，体会概念的提炼，抽象过程探究三 根式与分数指数幂的互化活动 根式与分数指数幂的互化，问题：（1）从上两个例子你能发现什么结论？结论：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成的形式（2） 如何表示？ ，规定你能得出正数的负分数指数幂的根式表示形式吗？正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式 思考：负数的分数指数幂呢能不能用根式表示？
8、不能，例如问题（2）中，若c为负数，则在实数范围内是不存在的0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义【设计意图】从给出的例子让学生总结出正数的负分数指数幂，检查反馈学生对正数的分数指数幂概念的理解，加深对正数的分数指数幂的认识活动 巩固基础，检查反馈例1 化简的值是（ ）A3 B-3 C3 D-9【知识点】根式的化简求值【数学思想】【解题过程】【思路点拨】根据根式的运算法则直接进行计算【答案】B同类训练 的值是（ ） A0 B C或 D【知识点】根式的化简求值【数学思想】分类讨论思想【解题过程】【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算【答案】C【设计意图】检查反馈学生对根式的定义以及
9、根式的性质的理解，进一步掌握根式的化简例2 当有意义时，化简的结果为（ ）ABCD【知识点】根式的化简求值【数学思想】【解题过程】有意义即是说，则，这，同理，所以原式【思路点拨】根据n为偶数时，对根式进行化简求值【答案】C同类训练 若，则化简的结果是（）ABCD【知识点】根式的化简【数学思想】【解题过程】，则，【思路点拨】根据为偶数时，对根式进行化简求值【答案】C活动 强化提升、灵活应用例3 下列互化中正确的是（）A BC D【知识点】根式与分数指数幂的互化【数学思想】【解题过程】A选项，B选项，D选项【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系【答案】C同类训练 下列等式能成立的是（）AB
10、CD【知识点】根式的化简，根式与分数指数幂的互化【数学思想】【解题过程】A选项，B选项，C选项显然不成立【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系【答案】D例4 求下列各式的值:（1）（2）【知识点】根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化【数学思想】【解题过程】（1）原式 （2）原式【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系【答案】（1）；（2）同类训练 求下列各式的值:（1）（2）【知识点】根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化【数学思想】【解题过程】（1）原式；（2）原式【思路点拨】熟练掌握根式与分数指数幂的互化关系【答案】（1）；（2）【设计意图】通过计算，加强学生对根式的性质的
11、运用以及对根式与分数指数幂的互化过程的熟练掌握3课堂总结知识梳理（1）一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且式子叫做根式，其中a叫做被开方数，n叫做根指数（2）正数的分数指数幂（正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式）：， 重难点归纳（1）在进行根式化简时一定注意当n为奇数时，n为偶数时，（2）根式化简过程中常出现乘方与开放并存，要注意两者的顺序何时可以交换，何时不能交换，并且幂指数不能随便约分（3）在进行根式与分数指数幂的互化时，其中m，n的位置切勿记反（三）课后作业基础型 自主突破1设是正实数，则下列各式中正确的有（ ）；A3个 B2个 C1个 D0个【知识点】根式与分数指数幂
12、的互化，分数指数幂【数学思想】【解题过程】由分数指数幂的概念判断【思路点拨】弄清根式与分数指数幂之间的互化关系【答案】A2已知则等于（ ）A B C D【知识点】根式的化简运算，根式与分数指数幂的互化【数学思想】【解题过程】【思路点拨】掌握根式的化简运算以及根式与分数指数幂之间的互化关系【答案】B3下列说法中正确的个数是（ ）2是16的四次方根正数的次方根有两个的次方根就是（0）A0B1C2D3【知识点】次方根和次根式的概念【数学思想】分类讨论思想【解题过程】是正确的，由可验证；不正确，要对分奇偶讨论；不正确，的次方根可能有一个值，可能有两个值，而只表示一个确定的值，它叫根式；正确，根据根式运
13、算的依据，当为奇数时，是正确的，当为偶数时，若0，则有综上，当0时，无论为何值均有成立【思路点拨】根据方根与根式的定义直接进行判断【答案】C4若式子有意义，则的取值范围是（ ）A B C D【知识点】根式与分数指数幂的互化【数学思想】分类讨论思想【解题过程】，若有意义，则，即【思路点拨】化分数指数幂为根式，由根式内的代数式大于0求得的范围【答案】D5计算下列各式：（1）（2）【知识点】根式与分数指数幂的互化，根式的化简求值【数学思想】【解题过程】（1）；（2）【思路点拨】运用根式的化简法则进行求解【答案】（1）6；（2）66化简=_【知识点】根式的化简【数学思想】【解题过程】【思路点拨】根号里
14、面的部分用完全平方公式化简，再根据根式的化简得出结果【答案】能力型 师生共研7时， 实数和正整数所应满足的条件【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算【数学思想】分类讨论思想【解题过程】由，若为奇数，上式成立；若为偶数，则0，上式成立【思路点拨】利用指数的运算法则，对为奇数或偶数进行讨论【答案】为正奇数或0，为正偶数8已知，化简_【知识点】根式的化简运算【数学思想】转化与化归思想【解题过程】原式+ 【思路点拨】运用以前所学过的分母有理化将原式化简，将复杂问题简单化【答案】探究型 多维突破9已知， 求下列各式的值（1）；（2）【知识点】根式的化简求值【数学思想】转化与化归思想【解题过程】（1
15、）；（2）【思路点拨】直接将已知的等式带入要求的式子中，在运用根式的性质将式子化简【答案】（1）194；（2）19310若且满足，求的值【知识点】根式与分数指数幂的互化及其化简求值【数学思想】转化与化归思想【解题过程】即为，因为，故，所以，【思路点拨】运用分数指数幂进行根式计算【答案】3自助餐1式子经过计算可得到（ ）ABCD【知识点】根式的化简【数学思想】【解题过程】由原式知0，因此，故，于是【思路点拨】负数的偶次方根等于其相反数【答案】D2下列说法正确的是（ ）A64的6次方根是2B的运算结果是C且时，对于任意实数都成立D且时，式子对于任意实数都有意义【知识点】方根与根式的概念，根式的化简
16、【数学思想】分类讨论思想【解题过程】A选项考察的是正数的偶次方根有两个，且互为相反数，B选项的运算结果应该是2，C选项当为负数则不成立【思路点拨】根据方根与根式的概念，根式的化简进行判断【答案】D3当810时，_【知识点】根式的化简【数学思想】【解题过程】，【思路点拨】当为偶数时，【答案】24化简：_【知识点】根式的化简求值【数学思想】【解题过程】原式【思路点拨】根据根式的运算性质直接进行计算【答案】5求使下列等式成立的的取值范围（1）（2）【知识点】根式的化简运算【数学思想】【解题过程】（1）成立的条件为或，解得或，而成立的条件为，解得，所以等式成立条件为（2）原等式可变形为，而使得成立的条件是，结合偶次根式的定义域即可得到，解得【思路点拨】明确成立的条件【答案】（1）；（2）6计算下列各式（式中字母都是正数）（1）（2）【知识点】根式与分数指数幂的互化化简求值【数学思想】转化与化归思想【解题过程】（1） 原式（2） 原式 【思路点拨】正确运用根式与分数指数幂的互化法则【答案】（1）19；（2）
