1、指数函数和对数函数单元检测试卷一、单选题1已知函数,则的图象大致为( )ABCD2已知函数,则( )A是奇函数,且在R上是增函数B是偶函数,且在R上是增函数C是奇函数,且在R上是减函数D是偶函数,且在R上是减函数3函数yax(a0,且a1)的图象可能是( )ABCD4已知函数若函数恰有4个零点,则的取值范围是( )ABCD5已知集合,则( )ABCD6设函数的图像与的图像关于直线对称,且,则( )ABCD7如果方程的两根为、,则的值为( )ABCD8若,则( )ABCD9基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的
2、平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln20.69) ( )A1.2天 B1.8天 C2.5天 D3.5天二、多选题10已知函数,则下列四个结论中正确的是( )A的图象可由的图象平移得到B函数的图象关于直线对称C函数的图象关于点对称D不等式的解集是11设是定义在上的偶函数,且它在上单调递增,若,则,的大小关系是( )ABCD12高斯是德国著名的数学家,近代数学奠
3、基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数“为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:,已知函数,则关于函数的叙述中正确的是A是偶函数B是奇函数C在上是增函数D的值域是三、填空题13函数在的零点个数为_14=_15函数且的图象恒过定点A,若点A在直线上(其中m,n0),则的最小值等于_.16设是定义在R 且周期为1的函数,在区间上,其中集合,则方程的解的个数是_四、解答题17已知函数.(1)当时,求;(2)求解关于的不等式;(3)若恒成立,求实数的取值范围.18已知函数(且)(1)求的解析式,再判断的奇偶性;(2)解关于的方程
4、19已知函数(1)作出函数的图象;(2)若,且,求证:20已知函数(1)若的定义域为(是自然对数的底数),求函数的最大值和最小值;(2)求函数的零点个数21如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径)规划在公路l上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路PB、QA规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD(C、D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米)(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)对
5、规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米).求当d最小时,P、Q两点间的距离22已知函数,a常数.(1)若,求证为奇函数,并指出的单调区间;(2)若对于,不等式恒成立,求实数m的取值范围。答案一、单选题1已知函数,则的图象大致为( )ABCD答:B分析:因为,所以A错;因为,所以C错;因为,所以D错,故选:B2已知函数,则( )A是奇函数,且在R上是增函数B是偶函数,且在R上是增函数C是奇函数,且在R上是减函数D是偶函数,且在R上是减函数答:A分析:函数的定义域为,且 即函数 是奇函数,又在都是单调递增函数,故函数 在R上是增函数故选A.3函数yax(a0,且a1)的图象可能是(
6、)ABCD答:D分析:当时,为增函数,当时,且,故A,B 不符合.当时,为减函数,当时,故C不符合,D符合.故选:D.4已知函数若函数恰有4个零点,则的取值范围是( )ABCD答:D分析:注意到,所以要使恰有4个零点,只需方程恰有3个实根即可,令,即与的图象有个不同交点.因为,当时,此时,如图1,与有个不同交点,不满足题意;当时,如图2,此时与恒有个不同交点,满足题意;当时,如图3,当与相切时,联立方程得,令得,解得(负值舍去),所以.综上,的取值范围为.故选:D. 5已知集合,则( )ABCD答:D分析:由得所以,所以;所以故选:D6设函数的图像与的图像关于直线对称,且,则( )ABCD答:
7、C分析:设是函数的图像上任意一点,它关于直线对称为(),由已知()在函数的图像上,解得,即,解得,故选C7如果方程的两根为、,则的值为( )ABCD答:C分析:由题意、是关于的方程的两根,故选:C8若,则( )ABCD答:B分析:设,则为增函数,因为所以,所以,所以.,当时,此时,有当时,此时,有,所以C、D错误.故选:B.9基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0 =1
8、+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln20.69) ( )A1.2天B1.8天C2.5天D3.5天答:B分析:因为,所以,所以,设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间为天,则,所以,所以,所以天.故选:B.二、多选题10已知函数,则下列四个结论中正确的是( )A的图象可由的图象平移得到B函数的图象关于直线对称C函数的图象关于点对称D不等式的解集是答:ABC分析:对于A,因为,所以的图象可由的图象平移得到,所以A正确;对于B,设,则,因为,所以的图象关于直线对称,B正确;对于C,设,则,
9、因为,所以的图象关于点对称,所以C正确;对于D,由,得,化为,若,则;若,则,所以D错误故选:ABC11设是定义在上的偶函数,且它在上单调递增,若,则,的大小关系是( )ABCD答:AC分析:因为,所以因为在上单调递增,所以因为是偶函数,所以,所以故选:AC12高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数“为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:,已知函数,则关于函数的叙述中正确的是A是偶函数B是奇函数C在上是增函数D的值域是答:BC分析:,则不是偶函数,故错误;的定义域为,为奇函数,故正确;
10、,又在上单调递增,在上是增函数,故正确;,则,可得,即,故错误故选:三、填空题13函数在的零点个数为_答:分析:由题可知,或解得,或故有3个零点14=_答:分析:15函数且的图象恒过定点A,若点A在直线上(其中m,n0),则的最小值等于_.答:8分析:且令解得,则即函数过定点,又点在直线上,则,当且仅当 时,等号成立,故答案为:816设是定义在R 且周期为1的函数,在区间上,其中集合,则方程的解的个数是_答:8分析:由于,则需考虑的情况,在此范围内,且时,设,且互质,若,则由,可设,且互质,因此,则,此时左边为整数,右边为非整数,矛盾,因此,因此不可能与每个周期内对应的部分相等,只需考虑与每个
11、周期的部分的交点,画出函数图象,图中交点除外其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期的部分,且处,则在附近仅有一个交点,因此方程的解的个数为8四、解答题17已知函数.(1)当时,求;(2)求解关于的不等式;(3)若恒成立,求实数的取值范围.答:(1);(2)当时,的解集为,当时;(3).分析:(1)当时,(2)由得:或当时,解不等式可得:或当时,解不等式可得:或综上所述:当时,的解集为;当时,的解集为(3)由得:或当时,或,解得:当时,或,解得:综上所述:的取值范围为18已知函数(且)(1)求的解析式,再判断的奇偶性;(2)解关于的方程答:(1),奇函数;(2).分析:(1)令,则,由,得,即,
12、又,为奇函数(2)由(1)得,解得,解集为.19已知函数(1)作出函数的图象;(2)若,且,求证:答:(1)图象见解析;(2)证明见解析.分析:(1),其图象如图所示 (2)由图知, 在上是减函数,在上是增函数,故结合条件知必有若,则,所以;若,则由,得,即,所以综上知,总有20已知函数(1)若的定义域为(是自然对数的底数),求函数的最大值和最小值;(2)求函数的零点个数答:(1)最大值为11,最小值为2;(2)2个分析:(1)因为的定义域为,设,则在上单调递减,在上单调递增,所以,因为,则故函数的最大值为11,最小值为2;(2)函数,因为,所以是偶函数当时,在上连续不间断,且单调递增,又,则
13、函数在上存在唯一的零点,由于函数为偶函数,则函数在上也存在唯一的零点综上,函数在定义域内零点的个数为2个21如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径)规划在公路l上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路PB、QA规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD(C、D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米)(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)对规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:
14、百米).求当d最小时,P、Q两点间的距离答:(1)15(百米);(2)见解析;(3)17+(百米).分析:解法一:(1)过A作,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE为矩形,.因为PBAB,所以.所以.因此道路PB的长为15(百米).(2)若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处,连结AD,由(1)知,从而,所以BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此,Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当OBP90时,在中,.由上可知,d15.再讨
15、论点Q的位置.由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,.此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当PBAB,点Q位于点C右侧,且CQ=时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+(百米).解法二:(1)如图,过O作OHl,垂足为H.以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,3.因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A(4,3),B(4,
16、3),直线AB的斜率为.因为PBAB,所以直线PB的斜率为,直线PB的方程为.所以P(13,9),.因此道路PB的长为15(百米).(2)若P在D处,取线段BD上一点E(4,0),则EO=45,所以P选在D处不满足规划要求.若Q在D处,连结AD,由(1)知D(4,9),又A(4,3),所以线段AD:.在线段AD上取点M(3,),因为,所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当OBP90时,在中,.由上可知,d15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由,得a=,所以Q(,9),此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当P(13,9),Q(,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(百米).22已知函数,a常数.(1)若,求证为奇函数,并指出的单调区间;(2)若对于,不等式恒成立,求实数m的取值范围.答:(1)证明见解析,单调增区间为;(2).分析:(1)证明:当时,.的定义域为.当时,.,在区间上是奇函数,的单调增区间为,.(2)由,得.令,若使题中不等式恒成立,只需要.由(1)知在上是增函数,所以.所以m的取值范围是.