1、 把握几何思维水平，促进空间观念形成 -以圆的认识（一）为例 空间观念是义务教育数学课程的核心概念。2011 版课标指出，空间观念主要是指“根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体，想象出物体的方位和相互之间的位置关系，描述图形的运动和变化，依据语言的描述画出图形等”。一、 “空间观念”与“几何思维水平”。我们该如何理解“空间观念”的本义呢？先来看看“观念”一词的意义：“观”者，“观察”也，即指基于真实情景的信息提取，“念”者，“想像”也，即指联想、推理等思维活动；再看“空间”，“间”者，“距离”也，是事物与事物在空间存在方式与位置关系的一种量化描述或定性刻画。可以说，空
2、间观念的本义就是“基于现实情景的观察，对空间位置关系的推理和想象”。儿童空间观念的形成与儿童几何思维水平是相关的，荷兰的范西尔夫妇提出了几何思维的五个层次，即：视觉 ( visuality)，分析(analysis) ，非形式化的演绎 (informal deduction) ，形式的演绎 (formal deduction) ，严密性( rigior )，强调空间观念培养的现实情景性、深度思维性和连贯递进性。后来，又将这5个层次表述为三个水平，分别是：直观水平（visual level）整体地认识几何对象；描述水平（descriptive level）通过几何性质认识几何对象；理论水平（th
3、eoretical level）利用演绎推理证明几何关系。儿童空间观念形成与几何思维水平的提升是相互影响、相互促进的。“直观水平”对应着空间观念形成的初始状态；“描述水平”伴随着空间观念的发展过程；“理论水平”则对应着空间观念形成的高级状态。空间观念是新课程标准提出的核心概念之一，虽然图形与几何占据了小学数学学习的重要内容，但儿童空间观念的欠缺又是一个普遍现象，这与数学教育的缺失不无关系：第一，对空间与图形的教学，缺乏发展空间观念的主旨和立意，导致就知识点教知识点，学习流于低层次；第二，虽然看到了儿童思维“直观性”的特点，但却止步于“直观水平”，没有形成从“直观水平”到“描述水平”及“理论水平
4、”发展的思维链条。虽然小学儿童的“描述”与“理论”不是严格意义上的数学论证，但是确不能忽视其发展的能动性。二、对圆的认识一课的解读圆的认识是小学数学教材的经典内容，各版本教材一般都分成两个阶段来认识：第一个阶段是在小学低段，初步认识圆，能认出圆形；第二个阶段是在小学高段，认识圆各部分的名称（圆心、直径、半径等）和本质属性（圆心到圆上的距离相等）。经对小学高段（六年级学生）调研，我们发现：第一，在学习本内容之前，100%的学生都能认识圆，但超过80%的学生却不能够用数学语言来表征圆的本质特征；第二，100%的学生在学习本课之前都能自己用圆规画圆，但70%的学生却不能够领会用圆规画圆的道理。这个现
5、象说明：从第一阶段到第二阶段，学生的几何思维水平正表现出主动发展的状态，如果仅仅基于“直观水平”进行教学设计，并不能满足儿童的几何思维发展的需求，错失儿童空间观念发展的契机。北师大版本的教材，用“套圈游戏如何公平”，引发学生对圆的特征进行关注，继而认识圆各部分的名称，掌握用圆规画圆的方法，探究直径半径之间的关系、圆心对圆的位置、半径对圆的大小的影响，就是基于儿童几何思维水平从“直观”到“描述”发展逻辑的尊重。二、 教学实践针对儿童几何思维水平，范西尔并提出了对应的几何教学阶段：分别是学前咨询(information)、引导定向(guided Orientation) 、阐明 (explicat
6、ion)、自由定向(free orientation)和整合(integration)。笔者在尊重教材意图的基础上，力图遵循儿童几何思维水平展的轨迹，以建构空间观念为主旨，以“游戏公平”作为课堂推进的线索，充分运用观察、想象、抽象、推理等思维活动手段，促进儿童的主动思考和深度学习。基于这样的认识，笔者将教学目标定位为以下两点：第一，在“游戏公平”的活动体验中，认识圆的本质特质；认识圆各部分的名称及关系，掌握用圆规画圆的技能。第二，在观察、对比、想象、操作、辨析等思维活动中发展空间观念，体会数学思维的魅力。（一）套圈游戏识“公平”，“等长”概念渐入心。师：前两天，我在街边靠套圈游戏，迎来了一个熊
7、猫玩偶，你们想要吗？生：想。师：想得美。我是靠套圈游戏赢来的，你们想要，也得靠套圈游戏从我这儿赢过去。谁想来试试身手。（一学生上前尝试）师：给你一个圈，你站这边，我站这边。你们觉得，这个目标应该放在哪里？（向全班同学征求意见）生：中间师：中间公平，就放中间。（教师和一学生代表玩套圈游戏）师：套圈游戏玩完了，我们来理一理其中的数学道理。刚才我们两个人玩套圈游戏中，目标要放在中间位置的原因是什么？生：两个人到目标的距离一样。师：不错，会用数学语言来解释生活现象。再想一想，要保证游戏公平，目标位置只能在这一点吗？生：还可以放在在这一竖排上的位置。师：在你们的脑海中把这条线给画出来。师：你看，带着数学
8、的眼光，我们能发现比游戏和奖品更有意思的事情，为你们头脑中具有的空间想象力和数学思维鼓掌！【意图解读】这一教学环节，达成“学前咨询(information)”的目的，对本课对象“圆”的学习做出铺垫。“好公平”是儿童的天性，在“套圈活动”中，充分利用这一天性激发出“等长距离”是保证游戏公平的意识，在找出中间位置点后，想象出所有符合等长距离的点的位置，点连成线，为理解“圆是由无数个与中心距离相等的点组成”作好铺垫。（二）设计方案显“圆形”，“一中同长”本质明。师：看来玩套圈游戏好玩，想玩的举手。（学生纷纷举手）这么多人要玩，我们得筹划筹划，设计一个可行的方案。在目标位置已经确定的前提下，请设计一个
9、公平的套圈游戏方案，用点表示参与者的位置，画出示意图。（学生展示作品，学生拿投影展示，教师引导学生画出距离相等的线段） 师：大家给出的方案，其实都是一种模型：就是“圆”，参与者的具体位置可能不同（教师在圆上随意标画几个点），但都处于圆形的边线上，也就是“圆上”，公平的原因在它们到中心距离是相等的，这个中心位置就是“圆心”，这些表示相等距离的线段，就是圆的“半径”。师：看看我这种方案行不行？生：不公平，因为每个人到目标点的距离不相等。师：我设计了一种多边形方案，让参与者站在多边形的顶点处。比如5个人玩，就让它站在正五边形的顶点，每个人到中心的距离也是相等；6个人玩，就让它站在正6边形的顶点处，以
10、此类推，也能保证游戏的公平。师：对于这种方案，大家怎么看？生：师：圆其实是我们早就认识的图形，通过对这些方案的设计和对比，今天你们对圆这种图形有什么新的认识，你能用自己的画说一说什么是圆吗？生1：圆上所有的点到中心的距离相等。生2：可以把圆看成是一个正无数边形。 【意图解读】这一教学环节，达成“引导定向(guided Orientation) 与阐明 (explication)”的目的，设计一个公平的套圈游戏，学生在现实情景中得到问题解决方案的模型：圆。目标位置就是“圆心”，游戏者位置就是“圆上”，游戏者与目标的距离就是“半径”，充分尊重了儿童几何思维的“直观水平”；接着，教师对比了“直线方案
11、”和“多边形方案”，在辨析之后，再“说说什么是圆”，体现了儿童几何思维水平从“直观水平”向“描述水平”的递进。（三）一波三折“画圆”难，深度思维发引擎。师：在刚才方案设计的过程中，大家都自觉地画出了圆，你们是用什么工具画的？怎么画的？（学生介绍用圆规画圆的方法）师：关于套圈游戏，刚们才我们设计了方案，现在我们要把方案变现实。我们要在地上画一个半径1米的圆，该用什么工具呢？（学生看着手中的圆规，面面相觑，认识到圆规太小了）师：那该如何解决这个难题?生：用绳子来画，中心点不动，用绳子绕一周。（教师提供1米长的绳子让学生实地画圆）师：不动的这个点，就是圆心的位置，绳子的长度就是圆的半径。师：这个圆画
12、好了，让我们再来套圈。（教师为学生提供一个小圈，很多学生代表都不能将圈套进目标）师：让我来试一试。（教师悄悄从抽屉中拿出一个更大的圈来套，很容易就套中了）生：不公平，你的圈大，我的圈小。师：看来，圆是有大有小的。你的这个圆圈有多小？请所有同学都按它的实际大小画在一张纸上。如果全班同学能在1分钟之内都能在纸上画出与它一样大小的圆，我就把这个礼物送给大家。 （学生开始自发讨论，商量，先用直尺量出圆上最长的线段，除以2，得到圆形的半径，全班同学都用这个半径的数据用圆规画圆，在规定时间内所有同学完成画圆任务）师：任务是完成了，现在得要说服我们：这些圆到底是不是与小套圈一样大？你们怎么做的？依据的道理是
13、什么？生：我先量出圆上最长的线段，它就是圆半径的两倍。师：也就是说，半径决定了圆的大小，要去找半径，就去量直径，依据的是半径长度是直径的一半；这些都建立在一个共识基础之上，那就是直径是圆上最长的线段。（教师将学生画在纸上的相同圆形选择几副，排列成整齐的一行）师：再看这些圆形，大小相同的原因是都选用了相同长度的半径，也就是说：决定圆的大小的是半径。师：再看这些圆，有什么不同？生：位置不同师：把这一副静止的图想象成一个动态过程，你有什么发现？生：这些圆在滚动师：滚动了多远？你要测量从哪里到哪里的距离？我能来指一指吗？（学生指出测量左右两侧的两个圆的圆心之是的距离）师：圆的滚动有什么特点？生：圆心在
14、一条直线上。师：圆心在一条直线上运动的原因是什么？生：因为从圆心到圆上任意一点的距离处处相等。【意图解读】这一教学环节，达成”自由定向(free orientation)”的目的，学生在解决游戏公平问题时，自然就在画圆，画圆的“技术点”并不复杂，但它却蕴含着丰富的“思维点”，为学生设置挑战性问题，画出一个超过一般圆规能画的圆，让所有同学在短时间内将同一个圆圈的大小画下来，必将激发学生调用既有的认知，进入自由和自主的深度思考，在观察、操作、想像、推理、验证过程中，学生自主形成对圆的进一步认识，突破“圆心决定位置”、“半径决定圆的大小”这一难点。这一阶段，虽然儿童的论证是基于情景的，不完备的，但体
15、现了儿童几何思维水平从“描述水平”向“理论水平”的递进。(四)、“数学”“生活”相联系，空间观念自然成。师：这样的滚动在生活中有没有实物的原型？生：轮胎。师：还有其他地方也有圆的应用吗？生：井盖、火锅.生：把数学与生活联系起来，你们真棒，看看成都的太阳神鸟图标和甘肃的月牙泉，你能从中发现圆形吗？ 生：成都的太阳神鸟是两个大小不同、但圆心在同一个位置的两个圆构成，月牙泉是由两个大小位置不同的圆构成。(教师为每一位孩子发一个套圈游戏用的小圆圈)师：现在，你们可发和同学自由地玩一玩这个圆圈，边玩边想：你能找到圆圈在动，而圆心的位置不动的玩法吗？生：.【意图解读】这一教学环节，达成“整合(integr
16、ation)”的”的目的。空间观念塑于“形”，发源于生活，回到生活，从圆的模型联想到生活中的具体物件，进一步体验圆的内涵，空间观念也得到发展。四、实践反思本节课的教学实践，以“游戏公平”为推动学生主动学习的内在线索，清晰呈现对圆的特征认识从表象到本质的递进过程，体验“缄默性”知识背后的思维活动过程，培养学生的空间观念。对空间观念的建构有着清晰的认知和实施策略：寻找“等距”源头，设计方案呈现“圆”的模型，“画圆”激发思维的活力，“找圆”回到生活，将学生主动探究的学习逻辑与数学学科本身的知识逻辑作了较好的融合，也循序渐进地展现了儿童几何思维发展的五个水平 ，整个学习，全部由真实可见、可参与的“套圈
17、游戏”贯穿，从两个人到多个人参与，学生可以真切感知到圆上的“无数个点”，“半径”就是目标与参与者之间的距离，“圆心”就是套圈目标所在的位置，体现了几何思维的“视觉”层次；全班学生要在短时间内共同画出一个等圆，必须对原来的模型圆进行直径特质、直径半径长度关系进行分析；将多个静态的圆进行对比和联动，将数学中的圆与生活中的圆形物体和现象进行对应，需要进行想象、推理，体现了几何思维的“分析、演绎性和严密性”，正是因为具备了真实的问题情景和连贯、深度的思维性，才使得本课得以呈现出生动性和深刻性。“观念”既具普遍的共识性，又具内在隐秘性和独特个性，“空间观念”的建构也当遵循这样的特点，儿童的几何思维水平的发展是一个不断积累、螺旋上升的过程。儿童空间观念的源头在于生活经验，触发点在于真实的问题情景，寓于观察、想像、推理、实证等思维活动中，它有着丰富的内涵。对儿童进行空间观念的培养，就是在落实新课程标准“基本活动经验”和“基本数学思想”，高处着眼，细处着力，任重而道远！
