1、 2020 年年全国全国高考高考（新课标新课标卷卷）考前）考前 10 天名师押题压轴卷天名师押题压轴卷 理科数学理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知复数 1 i z i （i为虚数单位） ，则复数z的虚部是（ ） A1 B-1 Ci Di 2.已知集合 2 3100Ax xx，集合16Bxx ，则AB等于（ ） A 15xx B15xx C 26xx D25xx 3.某口罩厂一年中各月份的收入、支出情况如图所示（单位：万元，下列说法中错误的是（注：月 结余=月收入一月支出） （ ） A上半年的平
2、均月收入为 45 万元 B月收入的方差大于月支出的方差 C月收入的中位数为 70 D月结余的众数为 30 4.记n S为等比数列an的前 n 项和，已知 S2=2，S3=6则an的通项公式为 A( 2) n n a B2n n a C( 3) n n a D3n n a 5.若点 P 在函数 3 ( )3f xxx 的图象上， 且函数 3 ( )3f xxx 的图象在点 P 处的切线平行于 直线21yx，则点 P 的坐标为（ ） A(1,3) B( 1,3) C(1,3)和( 1,3) D(1)3， 6.已知非零向量, a b,满足| 4| |,ab rr | 1, 3b r 且( )1,ab
3、 b rr u r 记是向量a与b的夹角，则的 最小值是（ ） A 6 B 4 C 1 3 D 3 7.一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 40 3 B56 C184 3 D104 8.抛物线 2 4yx的焦点为F， 点3 ,2A，P为抛物线上一点， 且P不在直线AF上， 则PAF周 长的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 4 2 2 D. 5 2 2 9.已知函数 1 2 ,0 ( ) 21,0 x ex f x xxx ，若关于x的方程 2 3 ( )0()(ff xaxaR有 8 个不等 的实数根，则a的取值范围是（ ） A 1 0,
4、4 B 1 ,3 3 C(1,2) D 9 2, 4 10.已知函数 lg ,1 lg 2,1 x x f x xx ， 3 g xx，则方程 1f xg x所有根的和等于 （ ） A1 B2 C3 D4 11.已知椭圆 22 22 1 xy ab 的左右焦点分别为 12 ,F F，过 1 F作倾斜角为45的直线与椭圆交于,A B两 点，且 11 2FBAF，则椭圆的离心率= A 3 3 B 3 2 C 2 2 D 2 3 12.三棱锥PABC中， ,PA PB PC互相垂直， 1PAPB，M是线段BC上一动点， 若直线AM 与平面PBC所成的正切的最大值是 6 2 ，则三棱锥PABC的外接球
5、的体积是（ ） A2 B4 C 8 3 D 4 3 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.若x，y满足约束条件 240 10 220 xy xy xy ，则3zxy的最大值为_ 14.已知数列 n a满足 1 2a ， 1 32 nn aa ，令 1 3 log n a n b ，则数列 1 1 nn b b 的前 2020 项的和 2020 S_ 15.从甲、乙等 8 名志愿者中选 5 人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天. 若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻， 那么不同的安排种数为_.(用数
6、字作答) 16.过抛物线C： 2 4xy的准线上任意一点P作抛物线的切线PA，PB， 切点分别为A，B， 则A 点到准线的距离与B点到准线的距离之和的最小值是_. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17.已知ABC外接圆的半径为R，其内角 , ,A B C的对边长分别为, ,a b c，若 22 2sinsinsinRBAacC （）求角B； （）若7b ，2c ，求sin A的值 18.已知， 图中直棱柱 1111 ABCDABC D的
7、底面是菱形， 其中 1 24AAACBD.又点, ,E F P Q 分别在棱 1111 ,AA BB CC DD上运动，且满足：BFDQ，1CPBFDQAE. （1）求证：, ,E F P Q四点共面，并证明EF平面PQB. （2） 是否存在点P使得二面角BPQE的余弦值为 5 5 ？如果存在， 求出CP的长； 如果不存在， 请说明理由. 19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：t）的影响. 该公司对近 5 年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费x（万元）和年销售量y（单 位：t）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的
8、值. x（万元） 2 4 5 3 6 y（单位：t） 2.5 4 4.5 3 6 （1）根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的回归方程； （2）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 2 0.051.85zyx，根据（1）中的结果回答下 列问题： 当年宣传费为 10 万元时，年销售量及年利润预报值是多少？ 估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大. 附：问归方程 ybxa中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 1111 11 2 2 2 11 11 nn ii nn ii x ynxyxxyy b xnxxx ， a ybx. 参考数据： 11 1 88.5 S i
9、 x y ， 2 1 1 90 S i x . 20.过椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左顶点A作斜率为 2 的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴 的交点为C，已知 6 13 ABBC. （1）求椭圆的离心率； （2）设动直线y kxm 与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线4x相交于点Q，若x轴上存 在一定点(1,0)M，使得PMQM，求椭圆的方程. 21.已知函数 2 ln1f xxa x. （1）讨论函数 f x的单调性； （2）设函数 0g xkxb k，当0a时，若对任意的0,x，存在实数k，b使得关 于x的不等式 2 21ef xg xx 恒成立，求k的最小值. （
10、二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23.24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题 计分。 选修 41：几何证明选讲 22.如图，O 是ABC 外接圆，过O 上一点 H 作O 的切线，BC 与这条切线平行，AC、AB 的 延长线交这条切线于点 E、F，连接 AH、CH （）求证：AH 平分EAF； （）若 CH4，CAB60 ，求圆弧的长 选修 44：参数方程选讲 23.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 52 xmt yt （t为参数）.以原点O为极点， 以x轴为非负半轴为极轴建立极坐标系， 两坐标系相同的长度单位.圆C的方程为2 5sin ,l被 圆C截得的
11、弦长为 2. （）求实数m的值； （）设圆C与直线l交于点AB、，若点P的坐标为( , 5)m，且0m，求PAPB的值. 选修 45：不等式选讲 23 已知函数( ) | |3|f xxax. （1）若3a，且不等式( )5f x 的解集为 37 | 22 xx ，求a的值； （2）如果对任意xR，( )4f x ，求a的取值范围. 2020 年年全国全国高考高考（新课标新课标卷卷）考前）考前 10 天名师押题压轴卷天名师押题压轴卷 理科数学理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知复数 1 i z
12、i （i为虚数单位） ，则复数z的虚部是（ ） A1 B-1 Ci Di 【答案】B 【解析】 1 i z i 1 1 i 1 i ， 复数z的虚部是1， 故选：B 2.已知集合 2 3100Ax xx，集合16Bxx ，则AB等于（ ） A 15xx B15xx C 26xx D25xx 【答案】B 【解析】 由 2 310025025Ax xxx xxxx ， 所以15ABxx ， 故选：B. 3.某口罩厂一年中各月份的收入、支出情况如图所示（单位：万元，下列说法中错误的是（注：月 结余=月收入一月支出） （ ） A上半年的平均月收入为 45 万元 B月收入的方差大于月支出的方差 C月收入
13、的中位数为 70 D月结余的众数为 30 【答案】C 【解析】 由图可得，上半年的平均月收入为 406030305060 45 6 万元，故 A 正确 由图可得，月收入的方差大于月支出的方差，故 B 正确 由图可得，1 12月的月收入（单位：万元）分别为：40、60、30、30、50、60、80、70、70、80、 90、80 所以月收入的中位数为： 6070 65 2 ，故 C 错误 由图可得，1 12月的月结余（单位：万元）分别为：20、30、20、10、30、30、60、40、30、30、 50、30 所以月结余的众数为 30，故 D 正确 故选：C 4.记n S为等比数列an的前 n
14、项和，已知 S2=2，S3=6则an的通项公式为 A( 2) n n a B2n n a C( 3) n n a D3n n a 【答案】A 【解析】根据题意，设等比数列 n a的首项为 1 a，公比为q，又由 2 2S ， 3 6S ， 则有 1 2 1 12 16 aq aqq ，解得 1 2a ，2q ，则 2 n n a ，故选 A 5.若点 P 在函数 3 ( )3f xxx 的图象上， 且函数 3 ( )3f xxx 的图象在点 P 处的切线平行于 直线21yx，则点 P 的坐标为（ ） A(1,3) B( 1,3) C(1,3)和( 1,3) D(1)3， 【答案】B 【解析】
15、设P点坐标为( , )P m n，则 3 3nmm 2 ( )31xfx 由于在点P处的切线平行于直线21yx 故 2 312m ，1m，代入 3 3nmm， 故点P坐标为(1,3)和( 1,3) 又点(1,3)在直线21yx，此时切线与21yx重合，排除 故点P坐标为( 1,3) 故选：B 6.已知非零向量, a b,满足| 4| |,ab rr | 1, 3b r 且( )1,ab b rr u r 记是向量a与b的夹角，则的 最小值是（ ） A 6 B 4 C 1 3 D 3 【答案】D 【解析】由题意知非零向量a，b满足4| |ba，1, 3b r 且( )1,ab b rr u r
16、，可得 2 1a bb r rr g ， 即 2 cos1a bb rrr g，所以 22 22 11 11 cos 4 44 bb a b bb rr rr rr g 因为1, 3b r ，所以 2 1,3b r ，所以 2 111 1 cos, 43 2 4 b r 因为0,，且余弦函数 cosyx 在0,上单调递减， 所以 min 3 7.一个球体被挖去一个圆锥，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 40 3 B56 C184 3 D104 【答案】C 【解析】 由题意可知该几何体是球体被挖去一个圆锥，圆锥底面半径为 4 3 2 3 2 ，高为 6， 设球的半径为R，
17、可得 2 2 2 2 36RR，解得4R ， 所以该几何体的体积为 2 3 41184 2 36 333 R . 故选：C 8.抛物线 2 4yx的焦点为F， 点3 ,2A，P为抛物线上一点， 且P不在直线AF上， 则PAF周 长的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 4 2 2 D. 5 2 2 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为求PAPF的最小值，根据抛物线的定义可知PFPD，即求 PAPD的 最 小 值 ， 当P、A、D三 点 共 线 时 ，PAPD最 小 ， 由 min 13 14 A PAPDx 即可求解. 【详解】由抛物线为 2 4yx可得焦点坐标1,0F，准线方程为1
18、x 由题可知求PAF周长的最小值即求PAPF的最小值 设点p在准线上的射影为点D 则根据抛物线的定义可知PFPD 因此求PAPF的最小值即求PAPD的最小值 根据平面几何知识，当P、A、D三点共线时，PAPD最小 所以 min 13 14 A PAPDx 又因为 22 3 1202 2AF ， 所以PAF周长的最小值为42 2 故选：C 9.已知函数 1 2 ,0 ( ) 21,0 x ex f x xxx ，若关于x的方程 2 3 ( )0()(ff xaxaR有 8 个不等 的实数根，则a的取值范围是（ ） A 1 0, 4 B 1 ,3 3 C(1,2) D 9 2, 4 【答案】D 【
19、解析】 绘制函数 1 2 ,0 21,0 x ex f x xxx 的图象如图所示， 令 f xt，由题意可知，方程 2 30tta在区间 1,2上有两个不同的实数根， 令 2 312g tttat ，由题意可知： 11 30 2460 399 0 242 ga ga ga ，据此可得： 9 2 4 a. 即a的取值范围是 9 2, 4 . 本题选择 D 选项. 10.已知函数 lg ,1 lg 2,1 x x f x xx ， 3 g xx，则方程 1f xg x所有根的和等于 （ ） A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】设点, x y是函数lg ,1yx x图象上任意一点，它关于点
20、1,0的对称点为 ,x y， 则 22 , 0 xxxx yyyy ，代入lgyx， 得 lg 2,lg 2,1yxyxx . 函数lg ,1yx x的图象与函数lg 2,1yxx的图象关于点1,0对称， 即函数 lg ,1 lg 2,1 x x f x xx 的图象关于点1,0对称，易知函数 f x在定义域R上单调递 增. 又函数 3 g xx的图象关于原点0,0对称，函数1yg x的图象关于点1,0对称，且函 数1yg x在定义域R上单调递增. 又 011 1,1fgx 是方程 1f xg x的一个根. 当1x 时，令 3 1lg1h xxxgxf x ，则 h x在1,上单调递减. 3
21、8 3 331313 2 lg2 10,lglglg10lg0,20 22228210 2hhhh 根据零点存在定理，可得 h x在 3 ,2 2 上有一个零点 1 x，根据 h x的单调性知 h x在1,上 有且只有一个零点 1 x，即方程 1f xg x在1,上有且只有一个根 1 x. 根据图象的对称性可知方程 1f xg x在,1上有且只有一个根 2 x，且 12 2xx. 故方程 1f xg x所有根的和等于 12 13xx. 11.已知椭圆 22 22 1 xy ab 的左右焦点分别为 12 ,F F，过 1 F作倾斜角为45的直线与椭圆交于,A B两 点，且 11 2FBAF，则椭
22、圆的离心率= A 3 3 B 3 2 C 2 2 D 2 3 【答案】D 【解析】椭圆 22 22 1 xy ab 的左右焦点分别为 12 FF、，过 1 0Fc（， ）且斜率为1k 的直线为 yxc ， 联立直线与椭圆方程 22 22 1 xy ab yxc ， 消x后，化简可得 22222222 20abycb yc ba b（）， 因为直线交椭圆于 A，B，设 1122 A xyB xy（ ， ），（ ， ）， 由韦达定理可得 22222 1212 2222 2 , cbc ba b yyy y abab ， 且 11 2FBAF，可得 21 2yy ，代入韦达定理表达式可得 22222
23、 2 11 2222 2 , 2 cbc ba b yy abab ，即 2 22222 2222 2 2 cbc ba b abab ， 化简可得 22 9c2a，所以 2 3 c e a ，故选 D 12.三棱锥PABC中， ,PA PB PC互相垂直， 1PAPB，M是线段BC上一动点， 若直线AM 与平面PBC所成的正切的最大值是 6 2 ，则三棱锥PABC的外接球的体积是（ ） A2 B4 C 8 3 D 4 3 【答案】D 【解析】 M是线段BC上一动点，连接PM， PA PBPC，互相垂直， AMP就是直线AM与平面PBC所成角， 当PM最短时，即PMBC时直线AM与平面PBC所
24、成角的正切的最大. 此时 6 2 AP PM ， 6 3 PM ， 在直角PBC中， 2 6 12 3 PB PCBC PMPCPCPC . 三棱锥PABC扩充为长方体，则长方体的对角线长为 1 1 22 . 三棱锥P ABC的外接球的半径为1R ， 三棱锥P ABC的外接球的体积为 3 44 33 R. 故选：D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.若x，y满足约束条件 240 10 220 xy xy xy ，则3zxy的最大值为_ 【答案】5 【解析】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示： 目标函数3zxy，可化为直线3yxz ， 当3yxz
25、经过点A时，直线在y轴上的截距最大 此时目标函数取得最大值， 又由 10 220 xy xy ，解得3x ， 4y ，即3, 4A， 所以目标函数的最大值为3 3 45z 故答案为：5 14.已知数列 n a满足 1 2a ， 1 32 nn aa ，令 1 3 log n a n b ，则数列 1 1 nn b b 的前 2020 项的和 2020 S_ 【答案】 2020 2021 【解析】 1 2a ， 1 11 1 321313 1 n nnnn n a aaaa a 1 n a 是等比数列， 1 13a ， 1 13 33 nn n a 31 n n a 3 1 33 loglog
26、n n a n bn 1 1111 11 n n b bn nnn 2020 111 1 22 32020 2021 11111 1 22320202021 1 1 2021 2020 2021 S 故答案为： 2020 2021 15.从甲、乙等 8 名志愿者中选 5 人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天. 若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻， 那么不同的安排种数为_.(用数字作答) 【答案】5040. 【解析】 分两类，一类是甲乙都参加，另一类是甲乙中选一人，方法数为 32145 64265 144036005040NA
27、 AC C A.填 5040. 16.过抛物线C： 2 4xy的准线上任意一点P作抛物线的切线PA，PB， 切点分别为A，B， 则A 点到准线的距离与B点到准线的距离之和的最小值是_. 【答案】4 【解析】设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则直线PA，PB的方程分别为 2 11 24 xx yx， 2 22 24 xx yx， 联立解得 12 2 P xx x ， 12 4 P xx y .又直线PA，PB的方程分别可表示为 1 1 2 x yxy， 2 2 2 x yxy，将P点坐标代入两方程，得 1 1 2 2 , 2 , 2 P P P P xx yy xx yy 所以直线A
28、B的方程为 1 2 P x x y ，即1 2 P x x y ， 所以A点到准线的距离与B点到准线的距离之和为 1212 2112 22 PP xx yyxx 2 12 12 44 4 24 P xxx xx .故答案为 4. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17.已知ABC外接圆的半径为R，其内角 , ,A B C的对边长分别为, ,a b c，若 22 2sinsinsinRBAacC （）求角B； （）若 7b ，2c ，求si
29、n A的值 【答案】 （） 2 3 B ； （） 21 14 【解析】 （） 22 2sinsinsinRBAacC， 22 22sinsin2sinRRBAR acC， 由正弦定理可得： 222 baacc， 222 1 cos 22 acb B ac ， 0B， 2 3 B （）由（）知： 3 sin 2 B ， 7b ，2c ，由正弦定理得： sin21 sin 7 cB C b ， 由bc，故C为锐角， 2 7 cos 7 C， 32 712121 sinsinsincoscossin 272714 ABCBCBC 18.已知， 图中直棱柱 1111 ABCDABC D的底面是菱形，
30、其中 1 24AAACBD.又点, ,E F P Q 分别在棱 1111 ,AA BB CC DD上运动，且满足：BFDQ，1CPBFDQAE. （1）求证：, ,E F P Q四点共面，并证明EF平面PQB. （2） 是否存在点P使得二面角BPQE的余弦值为 5 5 ？如果存在， 求出CP的长； 如果不存在， 请说明理由. 【解析】 （1）证法 1：在线段,CP DQ上分别取点,M N,使得1QNPM,易知四边形MNQP是 平行四边形,所以MNPQ,联结,FM MN NE, 则AEND,且AEND 所以四边形ADNE为矩形,故ADNE,同理,FMBCAD 且NEMFAD,故四边形FMNE是平
31、行四边形,所以EFMN,所以EFPQ 故, ,E F P Q四点共面 又EFPQ,EF 平面BPQ,PQ 平面BPQ, 所以EF平面PQB. 证法 2： 因为直棱柱 1111 ABCDABC D的底面是菱形,ACBD, 1 AA 底面ABCD,设,AC BD 交点为O,以O为原点,分别以,OA OB,及过O且与 1 AA平行的直线为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系. 则有2,0,0A,0,1,0B,2,0,0C ,0, 1,0D,设BFa,1,3a,则 2,0,1Ea,0,1,Fa,2,0,1Pa,0, 1,Qa,2,1,1EF ,2,1,1QP ,所以 EFPQ,故, ,E F P Q
32、四点共面.又EFPQ,EF 平面BPQ,PQ 平面BPQ,所以EF 平 面PQB. （2） 平面EFPQ中向量2,1,1EF ,2, 1,1EQ ,设平面EFPQ的一个法向量为 111 ,x y z, 则 111 111 20 20 xyz xyz ,可得其一个法向量为 1 1,0,2n . 平面BPQ中,2, 1,1BPa ,0, 2,BQa,设平面BPQ的一个法向量为 222 ,nx y z,则 222 22 210 20 xyaz yaz ,所以取其一个法向量 2 2,2 ,4naa. 若 12 12 2 2 5 cos, 5 5216 n n n n aa ,则 2 2 10548aa
33、a, 即有 2 4230aa ,1,3a,解得23 21,3a ,故不存在点P使之成立. 19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：t）的影响. 该公司对近 5 年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费x（万元）和年销售量y（单 位：t）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值. x（万元） 2 4 5 3 6 y（单位：t） 2.5 4 4.5 3 6 （1）根据表中数据建立年销售量y关于年宣传费x的回归方程； （2）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 2 0.051.85zyx，根据（1）中的结果回答下 列问题：
34、当年宣传费为 10 万元时，年销售量及年利润预报值是多少？ 估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大. 附：问归方程 ybxa中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 1111 11 2 2 2 11 11 nn ii nn ii x ynxyxxyy b xnxxx ， a ybx. 参考数据： 11 1 88.5 S i x y ， 2 1 1 90 S i x .【答案】 （1）0.85 0.6yx ； （2）年销售量为 9.1，年 利润的预报值为 2.25；5 万元 【解析】 【分析】 （1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程. （2） 先求得年利润z关
35、于x的表达式，然后将10x 分别代入回归直线方程和年利润的函数表达式， 由此求得年销售量及年利润的预报值 求得年利润与年宣传费的比值w的表达式，利用基本不等式求得5x 时，年利润与年宣传费的 比值最大. 【详解】 （1）由题意 24536 4 5 x ， 2.54.5436 4 5 y ， 2 1 2 22 1 88.55 4 0.85 905 4 n ii i n i i x ynxy b xnx ， 40.85 40.6aybx， 0.80.56yx. （2）由（1）得 22 0.051.850.050.851.25zyxxx ， 当10x 时，0.85 100. 69.1y ， 2 0.
36、05 100.85 10 1.252.25z . 即当年宣传费为 10 万元时，年销售量为 9.1，年利润的预报值为 2.25. 令年利润与年宣传费的比值为w，则 1.25 0.050.850wxx x ， 1.251.25 0.050.850.050.85wxx xx 1.25 2 0.050.850.35x x . 当且仅当 1.25 0.05x x 即5x 时取最大值.故该公司应该投入 5 万元宣传费，才能使得年利润与年 宣传费的比值最大. 20.过椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左顶点A作斜率为 2 的直线，与椭圆的另一个交点为B，与y轴 的交点为C，已知 6 13 A
37、BBC. （1）求椭圆的离心率； （2）设动直线y kxm 与椭圆有且只有一个公共点P，且与直线4x相交于点Q，若x轴上存 在一定点(1,0)M，使得PMQM，求椭圆的方程. 【解析】 （1）A(,0)a,设直线方程为2()yxa, 11 ( ,)B x y, 令0x,则2ya,(0,2 )Ca, 1111 (,),(,2)ABxa yBCxay 6 13 ABBC， 1 xa= 111 66 (),(2) 1313 xyay,整理得 11 1312 , 1919 xa ya , B点在椭圆上, 2 22 2 1312 ()()1 1919 a b , 2 2 3 , 4 b a = 22 2
38、 3 , 4 ac a 即 2 3 1 4 e, 1 2 e . （2） 2 2 3 , 4 b a =可设 22 3 .4bt at ,椭圆的方程为 22 34120xyt , 由 22 34120xyt ykxm 得 222 (34)84120kxkmxmt ,动直线y kxm 与椭圆有且只 有一个公共点 P,0 ,即 2222 644(34)(412 )0k mmmt,整理得 22 34mtk t , 设P 11 ( ,)x y则有 1 22 84 2(34)34 kmkm x kk , 11 2 3 34 m ykxm k , 22 43 (,) 3434 kmm P kk ,又 (1
39、,0)M,Q(4,4)km,若x轴上存在一定点(1,0)M ，使得 PMQM, 22 43 (1,) ( 3, (4)0 3434 kmm km kk 恒成立,整理得 22 34km , 22 3434ktk t恒成立,故1t ,所求椭圆方程为 22 1 43 xy . 21.已知函数 2 ln1f xxa x. （1）讨论函数 f x的单调性； （2）设函数 0g xkxb k，当0a时，若对任意的0,x，存在实数k，b使得关 于x的不等式 2 21ef xg xx 恒成立，求k的最小值. 【答案】 （1）详见解析； （2）2. 【解析】 （1） 2 121 20 ax fxaxx xx ，
40、 当0a时， 0fx 在0,上恒成立， 所以函数 f x在0,上单调递增； 当0a 时，若 0fx ，解得 1 0 2 x a ， 若 0fx ，解得 1 2 x a ， 所以函数 f x在区间 1 0, 2a 上单调递增， 在区间 1 , 2a 上单调递减. （2）因为 2 g xx，所以 2 0xkxb，0k ， 故 2 40kb ，即 2 4 k b ， 又因为 21ef xg x ，所以2 ln1 0exkx b . 设 2 ln10xexkxb ， 2e xk x ， 当 2 0, e x k 时， 0x， x单调递增， 当 2 , e x k 时， 0x， x单调递减. 故 max 222 2 ln212 ln10 ee xeebeb kkk ， 所以 2 2 ln1eb k ，所以有 2 2 2 ln1 4 k eb k . 由题知，存在实数k，b使得关于x的不等式 2 21ef xg xx 恒成立的充要条件是不等式 2 2 2 ln1 4 k e k 有解，将该不等式化为 2 2 2 ln10 4 k e k ， 令 2 k t，则 2 2 ln10tet 有解. 设 2 2 ln1h ttet， 2 2 e h tt t ， 可知 h t在区间0, e上单调递增，在区间, e 单调递减， 又 10h，10he ，
