1、特殊平行四边形一、 选择题1.如图,在菱形ABCD中,AB=5,BCD=120,则ABC的周长等于()A.20B.15C.10D.5答案B四边形ABCD是菱形,AB=BC,ABCD,B+BCD=180,B=180-BCD=180-120=60,ABC是等边三角形,故ABC的周长=3AB=15.2.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是()A.AB=CDB.AD=BC C.AC=BDD.AB=BC答案C可添加AC=BD,四边形ABCD的对角线互相平分,四边形ABCD是平行四边形,AC=BD,平行四边形ABCD是矩形,故选C.3.已知:如图,菱形ABCD中,对角线A
2、C与BD相交于点O,OEDC交BC于点E,AD=6 cm,则OE的长为()A.6 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm答案C因为菱形的四条边相等且对角线互相垂直平分,所以可以由OEDC证得点E是BC的中点,此时利用三角形的中位线或直角三角形斜边上中线的性质都可以求得OE的长为3 cm.4.如图,在菱形ABCD中,AB=8,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AF,过点E作EGAD交CD于点G,过点F作FHAB交BC于点H,EG与FH交于点O.当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时,AE的值为()A.6.5 B.6 C.5.5 D.5答案C设AE=x,则EB=8-x,四边形
3、ABCD是菱形,AE=AF,EGAD,FHAB,四边形AEOF和四边形OHCG都是菱形.四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12,4x-4(8-x)=12,解得x=5.5.故选C.5.如图,将一个长为10 cm,宽为8 cm的矩形纸片先按照从左向右对折,再按照从下向上的方向对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下(如图1-4-5),再打开,得到如图1-4-5所示的小菱形的面积为()A.10 cm2 B.20 cm2 C.40 cm2 D.80 cm2答案A由题意可得AC=5 cm, BD=4 cm,故小菱形的面积为1245=10(cm2).故选A.6.如图,正方形ABCD中,E
4、、F是对角线AC上两点,连接BE、BF、DE、DF,则添加下列条件:ABE=CBF;AE=CF;AB=AF;BE=BF.可以判定四边形BEDF是菱形的条件有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案C连接BD,交AC于点O,在正方形ABCD中,AB=BC,BAC=ACB,ACBD,OB=OD,在ABE与CBF中,BAE=FCB,AB=BC,ABE=CBF, ABECBF(ASA),AE=CF,OA=OC,OE=OF,又ACBD,四边形BEDF是菱形,故正确.正方形ABCD中,OA=OB=OC=OD,AE=CF,OE=OF,又EFBD,BO=OD,四边形BEDF是菱形,故正确.由AB=AF不
5、能推出四边形BEDF其他边的关系,故不能判定它是菱形,故错误.在正方形ABCD中,OA=OC=OB=OD,ACBD,BE=BF,EFBD,OE=OF,四边形BEDF是菱形,故正确.故选C.7.如图所示,在菱形ABCD中,BEAD,BFCD,E、F为垂足,AE=ED,则EBF等于()A.75 B.60 C.50 D.45答案B连接BD.因为BEAD,AE=ED,所以AB=BD.又因为AB=AD,所以ABD是等边三角形,所以A=60,所以ADC=120.在四边形BEDF中,EBF=360-BED-BFD-ADC=360-90-90-120=60,故选B.8.如图所示,矩形纸片ABCD中,AB=6
6、cm, BC=8 cm,现将其沿EF对折,使得点C与点A重合,则AF长为() A .258 cm B.254 cm C.252 cm D.8 cm答案B设AF=x cm,则DF=DF=(8-x)cm,在RtAFD中,(8-x)2+62=x2,解得x=254.9.如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为()A.15或30 B.30或45 C.45或60D.30或60答案D画出所剪的图形示意图如图.四边形ABCD是菱形,ABD=12ABC,BAC=12BAD,ADBC,BAD=120,ABC=180-BAD=180-12
7、0=60,ABD=30,BAC=60.剪口与第二次折痕所成的角的度数应为30或60.故选D.10.如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点,且CE=DF,AE、BF相交于点O,下列结论:(1)AE=BF;(2)AEBF;(3)AO=OE;(4)SAOB=S四边形DEOF,其中正确的有()A.4个 B.3个 C.2个D.1个答案B四边形ABCD为正方形,AB=AD=DC,D=BAD=90,CE=DF,DE=AF,DEAAFB,AE=BF,DEA=AFB,又DEA+DAE=90,AFB+DAE=90,AOF=90,即AEBF.由DEAAFB得SDEA=SAFB,SDEA-SAOF=SA
8、FB-SAOF,SAOB=S四边形DEOF,所以正确的是(1)(2)(4),共3个,故选B.二、 填空题11.如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,不添加任何辅助线,请添加一个条件,使四边形ABCD是正方形(填一个即可).答案AC=BD(答案不唯一)12.如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为.答案20解析在RtABC中,由勾股定理易得AC=13,由矩形的性质得AO=BO=12AC=132,而OM是ACD的中位线,所以OM=12CD=52,所以四边形ABOM的周长为AB+BO+OM+AM=5+132+52+6=20
9、.13.如图,已知矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若AO=1,那么BD=.答案2解析在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,AO=1,AO=CO=BO=DO=1,BD=2.14.如图,在矩形ABCD中,AB=3,对角线AC,BD相交于点O,AE垂直平分OB于点E,则AD的长为.答案33解析AE垂直平分OB,AB=3,AB=AO=3,四边形ABCD是矩形,BO=AO=3,BD=2BO=6,AD=BD2-AB2=62-32=33.15.如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形,还需添加的一个条件是(写出一个即可).答案CB=BF(或BECF或EBF
10、=60或BD=BF等,答案不唯一)解析由已知得CBEF,CB=EF,四边形CBFE是平行四边形.因此可以添加CB=BF;BECF;EBF=60;BD=BF等,都能说明四边形CBFE是菱形.16.如图,正方形ABCO的顶点C,A分别在x轴,y轴上,BC是菱形BDCE的对角线,若D=60,BC=2,则点D的坐标是.答案(2+3,1)解析过点D作DFx轴,垂足为F,在正方形ABCO中,BCO=90,所以BCF=90,在菱形BDCE中,BD=DC,又因为D=60,所以BCD是等边三角形,因为BC=2,所以CD=2,又BCD=60,所以DCF=30,在RtDCF中,因为DCF=30,CD=2,所以DF=
11、12CD=1,由勾股定理得CF=3,所以OF=OC+CF=2+3,所以点D的坐标为(2+3,1).17.如图，菱形ABCD的面积为120 cm2,正方形AECF的面积为50 cm2,则菱形的边长为cm.答案13解析连接BE,EF,FD,AC,菱形、正方形为轴对称图形,对角线所在直线是其对称轴,B,E,F,D在同一条直线上,S正方形AECF=12ACEF=12AC2=50 cm2,AC=10 cm,S菱形ABCD=12ACBD=120 cm2,BD=24 cm.设AC,BD的交点为O,由菱形的性质可得ACBD,AO=5 cm,OB=12 cm,AB=OA2+OB2=52+122=13 cm.18
12、.如图,在菱形ABCD中,BAD=120,点E、F分别在边AB、BC上,BEF与GEF关于直线EF对称,点B的对称点是点G,且点G在边AD上.若EGAC,AB=62,则FG的长为.答案36解析设AC与EG相交于点O,四边形ABCD是菱形,BAD=120,EAC=DAC=60,B=60,AB=BC.ABC是等边三角形.又AB=62,ABC的面积为183.菱形ABCD的面积为363,EGAC,AOE=AOG=90.AGE=90-60=30.BEF与GEF关于直线EF对称,点B的对称点是点G,EGF=B=60,AGF=EGF+AGE=90.FGAD,FG=S菱形ABCDAD=36362=36.三、
13、解答题19.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)证明:四边形ACDE是平行四边形;(2)若AC=8,BD=6,求ADE的周长.答案(1)证明:四边形ABCD是菱形,ABCD,ACBD,AECD,AOB=90,又DEBD,即EDB=90,AOB=EDB.DEAC.四边形ACDE是平行四边形.(2)四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,AO=4,DO=3,AD=CD=AO2+DO2=5.又四边形ACDE是平行四边形,AE=CD=5,DE=AC=8.ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.20.如图,在ABC中,BAC
14、=90,AD是中线,E是AD的中点,过点A作AFBC交BE的延长线于F,连接CF.(1)求证:AD=AF;(2)如果AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.答案(1)证明:AFBC,EAF=EDB,E是AD的中点,AE=DE,在AEF和DEB中,EAF=EDB,AE=DE,AEF=DEB,AEFDEB(ASA),AF=BD,在ABC中,BAC=90,AD是中线,AD=BD=DC=12BC,AD=AF.(2)四边形ADCF是正方形.AF=BD=DC,AFBC,四边形ADCF是平行四边形,AB=AC,AD是中线,ADBC,AD=AF,四边形ADCF是正方形.21.如图,在正方形AB
15、CD中,点E、F分别在边AB、BC上,ADE=CDF.(1)求证:AE=CF;(2)连接DB交EF于点O,延长OB至点G,使OG=OD,连接EG、FG,判断四边形DEGF是否为菱形,并说明理由.答案(1)证明:在正方形ABCD中,AD=CD,A=C=90,在ADE和CDF中,ADE=CDF,AD=CD,A=C=90,ADECDF(ASA),AE=CF.(2)四边形DEGF是菱形.理由如下:在正方形ABCD中,AB=BC,AE=CF,AB-AE=BC-CF,即BE=BF,BD垂直平分EF,OE=OF,又OG=OD,四边形DEGF为平行四边形,ADECDF,DE=DF,四边形DEGF是菱形.22.
16、如图,ABCD,点E、F分别在AB、CD上,连接EF.AEF、CFE的平分线交于点G,BEF、DFE的平分线交于点H.(1)求证:四边形EGFH是矩形;(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索.过G作MNEF,分别交AB、CD于点M、N,过H作PQEF,分别交AB、CD于点P、Q,得到四边形MNQP.此时,他猜想四边形MNQP是菱形.请在下列框图中补全他的证明思路.答案(1)证明:EH平分BEF,FEH=12BEF.FH平分DFE,EFH=12DFE.ABCD,BEF+DFE=180,FEH+EFH=12(BEF+DFE)=12180=90,又FEH+EFH+EHF=180,EHF=180
17、-(FEH+EFH)=180-90=90.同理可证,EGF=90.EG平分AEF,FEG=12AEF.EH平分BEF,FEH=12BEF.点A、E、B在同一条直线上,AEB=180,即AEF+BEF=180.FEG+FEH=12(AEF+BEF)=12180=90,即GEH=90.四边形EGFH是矩形.(2)本题答案不唯一,下面答案供参考.例如,FG平分CFE;GE=FH;GME=FQH;GEF=EFH.23.已知E,F分别为正方形ABCD的边BC,CD上的点,AF,DE相交于点G,当E,F分别为边BC,CD的中点时,有:AF=DE;AFDE成立.试探究下列问题:(1)如图,若点E不是边BC的
18、中点,F不是边CD的中点,且CE=DF,上述结论,是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”,不需要证明)(2)如图,若点E,F分别在CB的延长线和DC的延长线上,且CE=DF,此时,上述结论,是否仍然成立?若成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由;(3)如图,在(2)的基础上,连接AE和EF,若点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点,请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种,并证明你的结论.答案(1)成立.(2)仍然成立.证明:四边形ABCD为正方形,AD=DC,BCD=ADC=90.在ADF和DCE中,DF=CE,ADF=DCE=90,AD=DC,ADFDCE(SAS),AF=DE,FAD=EDC,ADG+EDC=90,ADG+DAF=90,AGD=90,即AFDE.(3)四边形MNPQ是正方形.证明:如图,设MQ,DE分别交AF于点G,O,PQ交DE于点H,点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点,MQ=PN=12DE,PQ=MN=12AF,MQDE,PQAF,四边形OHQG是平行四边形,AF=DE,MQ=PQ=PN=MN,四边形MNPQ是菱形,AFDE,AOD=90,HQG=AOD=90,四边形MNPQ是正方形.13
