1、-离散傅里叶级数-离散傅里叶变换的推导与定义-离散傅里叶变换的基本性质-频率域采样-离散傅里叶变换的应用举例 DFT的快速算法的快速算法-FFT的出的出现，现，使使DFT在数字通信、在数字通信、信号处信号处理、理、数值分析等各个领域都得到数值分析等各个领域都得到广泛应用。广泛应用。1 用用DFT计算线性卷积计算线性卷积 如果如果1122()()()()X kDFT x nXkDFT x n0kL-1则由时域循环卷积定理有：则由时域循环卷积定理有：Y(k)=DFTy(n)=X1(k)X2(k),0kL-1 由此可见，循环卷积既可在时域直接计算，也可以由此可见，循环卷积既可在时域直接计算，也可以按
2、照上图所示的计算框图在频域计算。按照上图所示的计算框图在频域计算。由于由于DFT具有快速算法（具有快速算法（FFT），当），当N很大时，在频很大时，在频域计算的速度快得多，因而常用域计算的速度快得多，因而常用DFT(FFT)计算循环卷积。计算循环卷积。用用DFT计算循环卷积计算循环卷积 y(n)在实际应用中，需要计算两个序列的线性卷积，为了在实际应用中，需要计算两个序列的线性卷积，为了提高运算速度，希望用提高运算速度，希望用DFT(FFT)计算线性卷积。计算线性卷积。而而DFT只能直接用来计算循环卷积，为此须知只能直接用来计算循环卷积，为此须知线性卷线性卷积和循环卷积之间的关系积和循环卷积之间
3、的关系以及以及循环卷积与线性卷积相等的循环卷积与线性卷积相等的条件条件。设设h(n)和和x(n)都是有限长序列，长度分别是都是有限长序列，长度分别是N和和M。它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：其中：其中：LmaxN,M1010()()()()()()()NcLmqNLqmy nh mx nmqL R nh m x nmqL R n()(),Lqx nx nqL对照式对照式(1)可以看出，可以看出，上式中上式中:yc(n)等于等于yl(n)以以L为周期的周期延为周期的周期延拓的拓的主值序列主值序列。10()()()()()()NlmclLqh m x n
4、qLMy nqLy ny nqL R n线性卷积与循环卷积线性卷积与循环卷积 yl(n)的长度为的长度为N+M-1，因此只有当循环卷积长度，因此只有当循环卷积长度L N+M-1时，时，yl(n)以以L为周期进行周期延拓时才无混叠现象。为周期进行周期延拓时才无混叠现象。此时取其主值序列显然满足此时取其主值序列显然满足yc(n)yl(n)。由此：由此：循环卷积等于线性卷积的条件是循环卷积等于线性卷积的条件是-L N+M-1用用DFT计算线性卷积框图计算线性卷积框图 补L N个零点L点DFT补L M个零点L点DFTL点IDFTy(n)h(n)x(n)如果取如果取LN+M-1，则可用，则可用DFT(F
5、FT)计算线性卷积，计算计算线性卷积，计算框图如下图。其中框图如下图。其中DFT和和IDFT通常用快速算法通常用快速算法(FFT)来实现，来实现，故常称其为故常称其为快速卷积快速卷积。实际上，如果两个序列的长度相差很大，例如实际上，如果两个序列的长度相差很大，例如MN。如选取。如选取L=M+N-1，以，以L为运算区间进行快速为运算区间进行快速卷积，则要求对短序列补充很多零点，序列必须全部卷积，则要求对短序列补充很多零点，序列必须全部输入后才能进行快速计算。因此要求存贮容量大，运输入后才能进行快速计算。因此要求存贮容量大，运算时间长，并使处理延时很大，很难实时处理。算时间长，并使处理延时很大，很
6、难实时处理。而且，在某些应用场合，序列长度不定或者认为是而且，在某些应用场合，序列长度不定或者认为是无限长（如语音信号和地震信号等），在要求实时处无限长（如语音信号和地震信号等），在要求实时处理时，不能直接套用上述方法。理时，不能直接套用上述方法。解决问题的方法：是将长序列分段计算，这种分段解决问题的方法：是将长序列分段计算，这种分段处理法有处理法有重叠相加法重叠相加法和和重叠保留法重叠保留法两种。两种。这里介绍重叠相加法。这里介绍重叠相加法。设序列设序列h(n)长度为长度为N，x(n)为无限长序列。为无限长序列。将将x(n)均均匀分段，匀分段，每段长度取每段长度取M，则：则：于是，于是，h(
7、n)与与x(n)的线性卷积可表示为：的线性卷积可表示为：000()()()()()()()()kkkkkkky nh nx nh nx nh nx ny n其中：其中：0()()()()()kikMx nx nx nx nRnkM该式说明，计算该式说明，计算h(n)与与x(n)的线性卷积时，的线性卷积时，可先进行分段线性可先进行分段线性卷积卷积yk(n)，然后把，然后把分段卷积结果叠加分段卷积结果叠加起来即可。起来即可。重叠相加法卷积示意图重叠相加法卷积示意图 M0NMMx1(n)x0(n)x2(n)N M 1N M 1y0(n)y1(n)N M 1y2(n)2MM3M N 10N 1y(n)
8、y0(n)y1(n)y2(n)nnnnnnh(n)每一分段卷积每一分段卷积yk(n)的长度的长度为为N+M-1，因此，因此yk(n)与与yk+1(n)有有N-1个点重叠，必须把重叠的部个点重叠，必须把重叠的部分相加，才能得到完整的卷积序分相加，才能得到完整的卷积序列列y(n)。由图可以看出，当第二个分段卷由图可以看出，当第二个分段卷积积y1(n)计算完后，叠加重叠点便计算完后，叠加重叠点便可得输出序列可得输出序列y(n)的前的前2M个值，个值，同样，分段卷积同样，分段卷积yi(n)计算完后，计算完后，就可得到就可得到y(n)第第 i 段的段的M个序列值。个序列值。用用DFT计算分段卷积计算分段
9、卷积yk(n)的方法如下：的方法如下：(1)i=0；L=NM1；计算并保存；计算并保存H(k)=DFTh(n)L;(2)读入读入xk(n)=x(n)RM(nkM)，构造变换区间，构造变换区间0，L1上的序列，实际中就是将上的序列，实际中就是将xi(n)的的M个值存放在长度为个值存放在长度为M的数组中的数组中,并计算并计算 (3)(4)，n=0,1,2,L1；()()()kkMx nx nkM Rn()DFT();iiLX kx n()()()iiY kH k X k()()()IDFT()ikLiLy ny nkM R nY k(5)计算：计算：(6)i=i1，返回，返回(2)。应当说明，一般
10、应当说明，一般x(n)是因果序列，假设初始是因果序列，假设初始条件条件y1(n)=0。1()(),02 ()()(),11 ()iiiyMny nnNy iMny nNnM 重叠区相加非重叠区不加2 用用DFT对信号进行谱分析对信号进行谱分析信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。DFT是一种时域和频域均离散化的变换，适是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，是分析离散信号和系统的有力工具。合数值运算，是分析离散信号和系统的有力工具。1.用用DFT对连续信号进行谱分析对连续信号进行谱分析v 连续信号连续信号xa(t)，其频谱函数，其频谱函数Xa(j)也
11、是连续函数。也是连续函数。v DFT对对xa(t)进行频谱分析，先对进行频谱分析，先对xa(t)进行时域采样，得到进行时域采样，得到x(n)=xa(nT)，再对再对x(n)进行进行DFT，得到，得到X(k)，这里，这里x(n)和和X(k)均为有限长序列。均为有限长序列。v 若信号持续时间有限长则其频谱无限宽；若信号的频谱有限宽则其持若信号持续时间有限长则其频谱无限宽；若信号的频谱有限宽则其持续时间无限长，所以严格地讲，持续时间有限的带限信号是不存在的。续时间无限长，所以严格地讲，持续时间有限的带限信号是不存在的。v 从工程角度看，滤除幅度很小的高频成分和截去幅度很小的部分时间从工程角度看，滤除
12、幅度很小的高频成分和截去幅度很小的部分时间信号是允许的。信号是允许的。v 因此，在下面分析中，假设因此，在下面分析中，假设 xa(t)是经过预滤波和截取处理的有限长带是经过预滤波和截取处理的有限长带限信号。限信号。用用DFT分析连续信号谱的原理示意图分析连续信号谱的原理示意图 连续信号的频谱，可以通连续信号的频谱，可以通过对连续信号采样并进行过对连续信号采样并进行DFT再乘以再乘以T近似得到近似得到 设连续信号设连续信号xa(t)持续时间为持续时间为Tp，最高频率为，最高频率为fc，xa(t)的的傅里叶变换为傅里叶变换为Xa(j)，对，对xa(t)进行时域采样得到进行时域采样得到x(n)=xa
13、(nT)，x(n)的傅里叶变换为的傅里叶变换为X(ej)。对持续时间有限的带限信号，在满足时域采样对持续时间有限的带限信号，在满足时域采样定理时，上述分析方法不丢失信息。定理时，上述分析方法不丢失信息。即可由即可由Xa(k)恢复恢复Xa(jf)或或xa(t)，但直接由分析结果，但直接由分析结果Xa(k)看不到看不到Xa(jf)的全部频谱特性，而只能看到的全部频谱特性，而只能看到N个离散采样点的谱特性，这就是所谓的个离散采样点的谱特性，这就是所谓的栅栏效应栅栏效应。如果如果xa(t)持续时间无限长，上述分析中要进行截断持续时间无限长，上述分析中要进行截断处理，所以会产生频率混叠和泄漏现象，从而使
14、谱处理，所以会产生频率混叠和泄漏现象，从而使谱分析产生误差，即分析产生误差，即截断效应截断效应。由假设条件可知由假设条件可知:x(n)的长度的长度ppsTNT FTN11spFNTTF对模拟信号频谱对模拟信号频谱的采样间隔的倒的采样间隔的倒数，称之为频率数，称之为频率分辨率，也叫谱分辨率，也叫谱分辨率分辨率 在已知信号的最高频率在已知信号的最高频率fc(即即谱分析范围谱分析范围)时，为了避免在时，为了避免在DFT运算中发生频率混叠现象，要求采样速率运算中发生频率混叠现象，要求采样速率fs满足：满足：fs2fc 而而谱分辨率谱分辨率：F=fs/N 如果保持采样点数如果保持采样点数N不变，要提高谱
15、的分辨率不变，要提高谱的分辨率(F减小减小)，必须，必须降低采样速率，采样速率的降低会引起谱分析范围减少。降低采样速率，采样速率的降低会引起谱分析范围减少。如维持如维持fs不变，为提高分辨率可以增加采样点数不变，为提高分辨率可以增加采样点数N，因为，因为NT=Tp，T=fs-1，只有增加对信号的观察时间只有增加对信号的观察时间Tp，才能增加，才能增加N。Tp和和N可以按照下式进行选择可以按照下式进行选择:21cpfNFTF 例例 对实信号进行谱分析，要求谱分辨率对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F10 Hz，信号最，信号最高频率高频率fc=2.5kHz，试确定最小记录时间，试确定最小记录时间TP
16、min，最大的采样间，最大的采样间隔隔Tmax，最少的采样点数，最少的采样点数Nmin。如果。如果fc不变，不变，要求谱分辨率要求谱分辨率提高一倍，最少的采样点数和最小的记录时间是多少提高一倍，最少的采样点数和最小的记录时间是多少?解：解：DFT对连续信号分析时的参数选择原则对连续信号分析时的参数选择原则fc-信号最高截止频率信号最高截止频率 F-频频(谱谱)率分辨率（频域采样时的最小频率间隔）率分辨率（频域采样时的最小频率间隔）Fs-采样频率采样频率 Tp-信号记录时间信号记录时间T-采样间隔采样间隔N-采样点数采样点数11spFFNNTTminpTFcfT21maxminscFf minm
17、inminmax/()sCpCCFfNorFFTfFTfF 用用DFT进行谱分析的误差问题进行谱分析的误差问题 (1)混叠现象混叠现象 (2)栅栏效应栅栏效应 (3)截断效应截断效应(1).频谱混叠频谱混叠 对连续信号进行分析时，需要首先进行时域离散，对连续信号进行分析时，需要首先进行时域离散，如果采如果采样频率样频率Fs不能够满足采样定理，则将会在不能够满足采样定理，则将会在Fs/2附近发生频率混叠附近发生频率混叠现象，此时用现象，此时用DFT进行分析结果必然在进行分析结果必然在Fs/2附近产生较大误差。附近产生较大误差。一般取一般取Fs(35)fc。在。在Fs确定时，一般在采样前进行预滤确
18、定时，一般在采样前进行预滤波，以滤除高于折叠频率的频率成分。波，以滤除高于折叠频率的频率成分。解决办法解决办法:预滤波预滤波 增大采样频率增大采样频率(2).栅栏效应栅栏效应1.通过通过DFT来分析连续时间信号的频谱特性，而来分析连续时间信号的频谱特性，而DFT是对是对DTFT在一个周期内的在一个周期内的N点等间隔采样点等间隔采样2.所以所以DFT的结果只能表示信号的频谱特性在一的结果只能表示信号的频谱特性在一些频域采样点上的值。仿佛是隔着栅栏看风景些频域采样点上的值。仿佛是隔着栅栏看风景减轻栅栏效应（减小栅栏宽度）：减轻栅栏效应（减小栅栏宽度）：在在 所所 取取 数数 据据 的的 末末 端端
19、 加加 一一 些些 零零 值值 点，点，使使 一一 个个 周周 期期 内内 点点 数数 增增 加加,但但 是是 不不 改改 变变 原原 有有 的的 记记 录录 数数 据。据。(3)截断效应截断效应 实际中遇到的序列实际中遇到的序列x(n)可能是无限长的，用可能是无限长的，用DFT对其进行谱分析时，必须将其截短，形成有限对其进行谱分析时，必须将其截短，形成有限长序列长序列y(n)=x(n)w(n)，w(n)称为窗函数，长度为称为窗函数，长度为N。w(n)=RN(n),称为矩形窗函数。称为矩形窗函数。根据傅里叶变换的频域卷积定理，有根据傅里叶变换的频域卷积定理，有:)(jjjjjd)e()e(21
20、)e()e(21)(FT)e(WXWXnyY其中其中对矩形窗数对矩形窗数w(n)=RN(n)，有，有jj(e)FT(),(e)FT()Xx nWw n1jjj()2gsin(/2)(e)FT()e()esin(/2)NwNWw nW 例如，例如，x(n)=cos(0n)，0=/4,其频谱为其频谱为lllX2424)e(jY(ej)与与X(ej)相比有两方面相比有两方面的差别：的差别：（1）存在泄漏（谱的展宽）存在泄漏（谱的展宽）（2）谱间干扰（旁瓣引起）谱间干扰（旁瓣引起）比较截断前、后的幅度谱的差别：比较截断前、后的幅度谱的差别：谱线加宽，频谱泄露定义：定义：原来的离散谱线向两边展宽，这种将
21、谱线展宽的现象称为频谱泄漏。约束因素：约束因素：矩形窗的长度越长，展宽的宽度就越窄。影响：影响：泄漏会使频谱模糊，谱的分辨率降低。谱间干扰出现原因：出现原因：频谱卷积以后存在着的旁瓣影响：影响：降低谱分辨率 泄漏和谱间干扰统称为信号的截断效应。减轻截断效应的方法-（1）适当加大窗口宽度；（2）采用适当形状的窗函数截断 思考：减轻了栅栏效应，是不是就提高了频率分辨率？思考：减轻了栅栏效应，是不是就提高了频率分辨率？例例 利用利用FFT对连续时间信号进行谱分析仅是一个近似的估计，现有一对连续时间信号进行谱分析仅是一个近似的估计，现有一个个FFT处理器，用来估算实数信号的频谱，要求指标：处理器，用来
22、估算实数信号的频谱，要求指标：频率分辨率为频率分辨率为F 5Hz；信号的最高频率信号的最高频率fc 1.25kHz；FFT的点数的点数N必须是必须是2的整数的整数次幂。试确定：次幂。试确定：(1)信号记录长度信号记录长度TP；(2)采样点间的时间间隔采样点间的时间间隔TS；(3)一个一个记录过程的点数记录过程的点数N。例例 设模拟信号设模拟信号xa(t)cos(2 1000t+)，现在以时间间隔，现在以时间间隔Ts=0.25ms进行均匀采样，假定从进行均匀采样，假定从t0开始采样，共采开始采样，共采N点。点。(1)写出采样后序列写出采样后序列x(n)的表达式和对应的数字频率。的表达式和对应的数
23、字频率。(2)若希望若希望DFT的分辨率达到的分辨率达到l Hz，应该采集多长时间的数据。，应该采集多长时间的数据。3随机信号功率谱估计随机信号功率谱估计 对于确定性信号，傅里叶变换是进行频率分析研究的对于确定性信号，傅里叶变换是进行频率分析研究的理论基础，但对于随机信号，其傅里叶变换不存在，因此理论基础，但对于随机信号，其傅里叶变换不存在，因此研究它的功率谱。研究它的功率谱。在实际应用中，通常只能采集或观测到平稳随机过程在实际应用中，通常只能采集或观测到平稳随机过程的一个抽样序列的一段的一个抽样序列的一段(有限个有限个)数据，如果根据这有限个已数据，如果根据这有限个已知数据来估计随机过程的功
24、率谱的问题，简称谱估计知数据来估计随机过程的功率谱的问题，简称谱估计(谱分谱分析析)问题。问题。谱估计方法经典谱估计，也称为线性谱估计现代谱估计，也称为非线性谱估计经典谱估计BT法：1958年，R.Blackmant和J.Tukey提出，先估计自相关函数，再计算功率谱。周期图法：1898年，Schuster利用傅里叶级数去拟合待分析的信号，提出周期图的术语，但直到FFT出现，周期图法才受到人们的重视。这种方法直接对观测数据进行FFT，取模平方，除以N得到功率谱。经典谱估计致命的缺点是频率分辨率低，原因是傅里叶变换域是无限大，而观测数据是有限长，观测不到的数据被认为是0。这相当于将信号在时域加了矩形窗，在频域使真正的功率谱卷积一个sinc函数。现代谱估计如果由观测数据能够估计出信号模型的参数，信号的功率谱可以计算出来。谱估计问题变成了由观测数据估计信号模型参数的问题。模型种类很多，如AR模型、MA模型等。合适地选择模型，功率谱估计质量比经典谱估计的估计质量有很大提高。参数模型法以信号模型为基础。参数模型法：AR、MA、ARMA模型非参数模型法：Pisarenko、MUSIC、ESPRIT法
