1、明目标、知重点1.进一步掌握常用的函数模型，并会应用它们来解决实际问题.2.提高在面临实际问题时，通过自己建立函数模型来解决问题的能力1某商店出售A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降时的情况比较，商店盈利情况是下列中的_多赚约6元；少赚约6元；多赚约2元；盈利相同答案解析设A、B两种商品的原价为a、b，则a(120%)2b(120%)223a，b，ab466(元)2今有一组数据如下：t1.993.04.05.16.12v1.54.047.51218.01在以下四个模拟函数中
2、，最适合这组数据的函数是_vlog2t；v；v2t2.答案解析将自变量的值代入各选项，易知成立3由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为8 100元的计算机15年后的价格应降为_元答案2 400解析，所以当x15时，y8 100(1)38 1002 400(元)4已知光线每通过一块玻璃板，光线的强度要失掉10%，要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原来强度的以下，则至少需要重叠玻璃板数为_块(lg 30.477 1)答案11解析设至少需要n块玻璃板，由已知得(110%)n.即()n，所以lg()nlg ，即n(2lg 31)lg 3，0.045 8n0
3、.477 1，n10.4.5某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为yekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k_，经过5小时，1个病毒能繁殖为_个答案2ln 21 024解析当t0.5时，y2，k2ln 2，ye2tln 2，当t5时，ye10ln 22101 024.62012年我国人均国民生产总值约为a美元，若按年平均增长率8%的速度增长(1)计算2014年我国人均国民生产总值；(2)经过多少年可达到翻一番？(lg1.080.033 4，lg 20.301 0)解(1)设经过x年后，人均国民生产总值为y美元，由题意ya(10.08)x.所以，20
4、14年我国的人均国民生产总值为ya(10.08)21.166 4a(美元)(2)由题意：1.08x2x9.012.故经过10年可达到翻一番题型一二次函数模型的应用例1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？解由表中可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量为48040(x1)52040x(桶)由于
5、x0,52040x0，即0x13.y(52040x)x20040x2520x200,0x13.易知，当x6.5时，y有最大值所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润反思与感悟对于二次函数模型，根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题利用二次函数求最值时特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符跟踪训练1某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日租金增加2元，客房出租数就会减少10间若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的
6、租金总收入最高？解设客房日租金每间提高2x元，则每天客房出租数为30010x，由x0，且30010x0得：0x30，设客房租金总收入y元，则有：y(202x)(30010x) 20(x10)28 000(0x30)由二次函数性质可知当x10时，ymax8 000.所以当每间客房日租金提高到2010240元时，客房租金总收入最高，为每天8 000元题型二选择函数的拟合问题例2某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：身高/cm60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.909.9012.1515.0217.5020.9226.8631.1138.854
7、7.2555.05(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？解 (1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图(如图)根据点的分布特征，可考虑以yabx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型如果取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入yabx得：，用计算器算得a2，b1.02.这样，我们就得到一个
8、函数模型：y21.02x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系(2)将x175代入y21.02x得y21.02175, 由计算器算得y63.98.由于7863.981.221.2, 所以，这个男生偏胖反思与感悟依据问题给出的数据，建立反映数据变化规律的函数模型的探索方法：(1)首先建立直角坐标系，画出散点图；(2)根据散点图设出比较接近的可能的函数模型的解析式；(3)利用待定系数法求出各解析式；(4)对模型拟合程度进行检验，若拟合程度差，重新选择拟合函数，若拟合程度好，符合实际
9、问题，就用这个函数模型解释实际问题跟踪训练2为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示年序最大积雪深度x(cm)灌溉面积y(公顷)115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，可以灌溉土地多少公顷？解(1)利
10、用计算机几何画板软件，描点如图甲(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型yabx.取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入yabx，得用计算器可得a2.4，b1.8.这样，我们得到一个函数模型：y2.41.8x.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关系(3)由y2.41.825，求得y47.4，即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4公顷题型三对数函数模型的应用例3 1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人
11、类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前(1)世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？(2)我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：数N1.0101.0151.0171.3102.000对数lg N0.004 30.006 50.007 30.117 30.301 0数N3.0005.00012.4813.1113.78对数lg N0.477 10.699 01.096 21.117 61.139 2解(1)设每年人口平均增长率为x，n年前的人口
12、数为y，则y(1x)n60，则当n40时，y30，即30(1x)4060，(1x)402，两边取对数，则40lg (1x)lg 2，则lg (1x)0.007 525，1x1.017，得x1.7%.故每年人口平均增长率是1.7%.(2)依题意，y12.48(11%)10，得lg ylg 12.4810lg 1.011.139 2，y13.78，故人口至多有13.78亿答每年人口平均增长率为1.7%,2008年人口至多有13.78亿反思与感悟(1)解决应用题的基础是读懂题意，理顺数量关系，关键是正确建模，充分注意数学模型中元素的实际意义(2)对数函数模型的一般表达式为：f(x)mlogaxn(m
13、，n，a为常数，a0，a1)跟踪训练3燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得05log2.解得Q10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位(2)将耗氧量Q80代入公式得：v5log25log2815 (m/s)，即当一只燕子耗氧量为80个单位时，速度为15 m/s.呈重点、现规律1函数模型的应用实例主要包括三个方面(1)利用给定的
14、函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题2函数拟合与预测的一般步骤(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.一、基
15、础过关1汽车经过启动、加速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是_答案2根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是_答案60,16解析由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为15，故组装第4件产品所需时间为30，解得c60，将c60代入15，得A16.3据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若按此规律，设2011年的湖水量为m，从2011年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为_答案解析设某淡水湖的湖水原有量为
16、b，每年减少a%，所以yb(1a%)x，由已知，x50时，y0.9b，代入解析式，得a%.又2011年湖水量为m，所以经过x年后湖水量为ym(1a%)x.4衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：Vaekt.已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为_答案75解析由已知，得aae50k，ek.设经过t1天后，一个新丸体积变为a，则aaekt1，(ek)t1，t175.5近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2010年以80万元的价格购得一套新房子，假设
17、这10年来价格年膨胀率不变，那么到2020年，这所房子的价格y(万元)与价格年膨胀率x之间的函数关系式是_答案y80(1x)10解析一年后的价格为y8080x80(1x)二年后的价格为y80(1x)80(1x)x80(1x)(1x)80(1x)2，由此可推得10年后的价格为y80(1x)10.6某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)40QQ2，则总利润L(Q)的最大值是_万元答案2 500解析L(Q)40QQ210Q2 000Q230Q2 000(Q300)22 500当Q300时，L(Q)的最大值为2 50
18、0万元7.设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m(万元)与总支出n(万元)近似地满足下列关系：mx，nx25x，当mn0时，称不亏损企业；当mn0，所以x4.故企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机(2)若企业亏损最严重，则nm取最大值因为nmx25xx(x1)29(x1)2.所以当x1时，nm取最大值，此时m.故当月总产值为万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元二、能力提升8若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是_答案解析设镭一年放射掉其质量的t%，则有95.76%1(1t%)100，t%，y(1t%
19、)x.9某地区植被破坏、土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则下列函数中与沙漠增加数y万公顷关于年数x的函数关系较为相似的是_y0.2x；y(x22x)；y；y0.2log16x.答案解析将(1,0.2)，(2,0.4)，(3,0.76)与x1,2,3时，中得到的y值做比较，y的y值比较接近，故答案为.10如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系yat，有以下几种说法：这个指数函数的底数为2；第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2；浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；浮萍每月增加的面积都相等其中正确的命
20、题序号是_答案解析由图象知，t2时，y4，a24，故a2，正确当t5时，y253230，正确，当y4时，由42t1知t12，当y12时，由122t2知t2log2122log23.t2t1log231.5，故错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，错误11.一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的，(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？解(1)设每年砍伐面积的百分比为
21、x(0x1)，则a(1x)10a，即(1x)10，解得.(2)设经过m年剩余面积为原来的，则a(1x)ma，即，解得m5，故到今年为止，已砍伐了5年(3)设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为a(1x)n.令a(1x)na，即(1x)n，解得n15.故今后最多还能砍伐15年12.根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)(tN)，销售量g(t)与时间t满足关系g(t)t(0t40，tN)求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值解据题意，商品的价格随时间t变化，且在不同的区间0t20与20t40上，价格随时间t的变化的关系式也不同，故应分类讨论设
22、日销售额为F(t)当0t20，tN时，F(t)(t11)(t)(t)2(946)，故当t10或11时，F(t)max176.当20t40，tN时，F(t)(t41)(t)(t42)2，故当t20时，F(t)max161.综合知当t10或11时，日销售额最大，最大值为176.三、探究与拓展13.据预测，我国在“十二五”期间内某产品关税与市场供应量P的关系近似地满足：P(x)2(1kt)(xb)2(其中t为关税的税率，且t，x为市场价格，b，k为正常数)，当t时的市场供应量曲线如图所示：(1)根据图象求k，b的值；(2)若市场需求量为Q，它近似满足Q(x)211x.当PQ时的市场价格称为均衡价格，为使均衡价格控制在不低于9元的范围内，求税率t的最小值解(1)由图可知t时，有解得(2)当PQ时，得2(16t)(x5)2211x，解得t.令m，x9.m，在t(17m2m2)中，对称轴为直线m，且图象开口向下m时，t取得最小值，此时，x9.
