1、习题参考答案4-1已知单位反馈系统的开环传递函数为试求：使系统增益裕度为10的K值；使系统相角裕度为的K值。解: 系统开环频率特性为(1) 求的K值：令为相角交越频率，有，由可解得K=1。(2) 求的K值：由定义求得系统幅值交越频率由注意：涉及相角的计算时，可以（1）逐个计算基本环节的相角，然后叠加起来。（2）将频率特性展开为实部和虚部，然后计算相角。计算幅值一般将各个基本环节的幅值相乘。4-2试由幅相频率计算式确定最小相位系统的传递函数。解:由相频计算式可得出传递函数的形式为由幅频计算式有求得，所求最小相位系统的传递函数为4-3已知单位反馈系统开环传递函数若希望系统闭环极点都具有小于-1的实
2、部，试用Nyquist判据确定增益K的最大值。解：令，则“平面所有极点均处于负平面”等价于“平面所有闭环极点均具有小于-1的实部”，并且可见并无右半平面的开环极点，所以的Nyquist轨线不能包围点。只要满足：轨线与负实轴的交点在-1点右侧（大于-1）即可，令的相频为，得到求得的相角交越频率 即若希望系统闭环极点都具有小于-1的实部，增益K的最大值为。注意：作变量替换时，尝试选一些点验证一下。4-4设某系统结构图如下图所示，其中K 0。（1）试求系统稳态误差；（2）若=1时,要求稳态误差幅值，试选择K值。解：(1)求系统稳态误差，系统开环传递函数为，闭环系统的误差传递函数为其幅值与相位为因输入
3、，系统的稳态误差为(2)因，令有解得 (舍去).故满足题意要求的K值范围为4-5已知系统型次（含有个积分环节），Nyquist曲线起始于实轴（），试问什么情况下起始于负实轴，什么情况下起始于正实轴。答：当开环增益时，起始点位于正实轴；当开环增益时，起始点位于负实轴。4-6 设系统的开环传递函数为 其中。（1）已知，试概略绘制该系统的Nyquist图。（2）若，请概略绘制该系统的Nyquist图。解：（1），而且对于小正数，有， 概略绘制的Nyquist图如下 （2），而且对于小正数，有，概略绘制的Nyquist图如下 注意：一般情况下Nyquist图的起点总是在正实轴。4-7 设系统的开环频率
4、特性函数的极坐标图如图所示。试用Nyquist稳定性判据判定闭环系统的稳定性。 开环系统稳定 开环系统稳定 开环系统有2个RHP极点解：（1）P=0，2，N= P+=2，闭环系统不稳定，有2个RHP极点。（2）P=0，1，故N= P+=1，闭环系统不稳定，有1个RHP极点。（3）P=2，-2，故N= P+=0，闭环系统稳定。4-8已知系统开环传递函数把虚轴上的开环极点视为不稳定的开环极点，重新确定Nyquist路径，并绘制L(s)的Nyquist图，据此判定闭环系统的稳定性。解：s平面小圆弧顺时针的路径映射为L(s)平面逆时针的大圆弧。 Nyquist路径 L(s)的Nyquist图wn =-
5、1（逆时针）， P=1，N=0，闭环系统稳定。4-9已知最小相位（单位反馈）开环系统的渐近对数幅频特性如图所示。（1）试求取系统的开环传递函数；（2）要求系统具有的稳定裕度，求开环放大倍数应改变的倍数。解: (1) 由图可得出系统开环传递函数的基本形式为 将点(0.1，40)代入上式，因低频段幅值仅由比例环节和积分环节决定，即求得 K=10，所求系统开环传递函数为(2)由相角裕度的定义导出 解出由交越频率的定义有解出K=0.335。即开环放大倍数衰减30倍。4-10 已知系统的开环传递函数为（1）用渐近线法绘制系统的开环Bode图；（2）由Bode图判断闭环系统的稳定性；（3）求出交越频率以及
6、相角裕度的近似值；（4）由MATTAB作Bode图，求出交越频率和相角裕度，并与渐近线图解比较。解：（1）首先将化为尾1标准形式=知该系统为典型型系统，各环节转折频率为0.2、0.6 、12、50rad/s，20lgK=20lg10=20，过=1，|G(i)|dB=20的点，作斜率为-40的直线，遇到转折频率0.2、0.6 、12、50时，相应地直线斜率变化，如下图所示。（2）P=0，故N= P+=0，闭环系统稳定。（3）由=1 ，解得5.56，（4）MATTAB程序校验num=400/3*25 15 9;den=conv(1 0.2 0 0,1 62 600);bode(num,den);
7、grid on Gm,Pm,Wcg,Wcp = margin(num,den)Gm =10.7036；Pm =56.7919；Wcg =23.9829；Wcp =5.0533交越频率为5.05rad/s，相角裕度为，这与近似计算值非常接近。4-11 已知各最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图所示，（1）试确定各系统的开环传递函数；（2）求相角裕度；（3）概略画出对应的相频特性曲线；（4）分析闭环系统的稳定性。解：I. 针对(a)图：(1)如图，转折频率为2、10、20。该系统为典型型系统，其开环传递函数形式为即20lgK=20，解得K=10。该系统的开环传递函数为(2)即20=20lg(2)
8、 ，解得=5，由此(3) (4)P=0，故N= P+=0，闭环系统稳定。II. 针对(b)图：(1)设未知转折频率从左至右依次为、，则其开环传递函数形式为， 解得K=10；，解得=1 =1；，解得=82.54， =0.0121，解得=46.42，=0.0215 解得=2.61 =0.383该系统的开环传递函数为(2)=100，由此(3) (4)P=0，故N= P+=2，闭环系统不稳定，有2个RHP极点。4-12针对正反馈系统，Nyquist给出=0的幅相频率特性图如下，临界点为1，重新表述Nyquist稳定性定理。正反馈系统的Nyquist图，临界点为1答：若开环传递函数的RHP极点数为P,
9、则闭环系统稳定的充分必要条件是L(s) 的Nyquist 图 L(i) ，=顺时针环绕临界点L=1的圈数为P。4-13设系统的开环传递函数为，求交越频率和相角交越频率，并用MATLAB程序进行校核，你得到什么结论。解：（1）起点：（2）终点： （3）=与实轴的交点：令虚部为即=0 解得=0.2，=0.447，此时=-9。与虚轴的交点：令实部为即=0 解得=9.57 =3.09，此时=4.43。使用理论计算值与nyquist(sys)的计算结果基本没差别，但相差较大。原因是变化范围为-+。若指定频率范围，采用命令nyquist(sys,w)，w=wmin,wmax，可使之与理论计算值吻合。num=6 -18 30;den=1 2 -3;sys=tf(num,den);w=0.1,100;nyquist(sys,w)margin(sys)18
