1、12函数模型及其应用函数模型及其应用1几种常见的函数模型几种常见的函数模型函数模型函数模型函数解析式函数解析式一次函数模型一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，为常数，a0)二次函数模型二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，为常数，a0)与指数函数相关模型与指数函数相关模型f(x)baxc(a，b，c为常数，为常数，a0且且a1，b0)与对数函数相关模型与对数函数相关模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，为常数，a0且且a1，b0)与幂函数相关模型与幂函数相关模型f(x)axnb(a，b，n为常数，为常数，a0)“对勾对勾”函数模型函数模型2.“幂、对、指幂、对、指”
2、三种函数模型的区别与联系三种函数模型的区别与联系 函数函数性质性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在在(0，)上上的单调性的单调性单调单调_函数函数单调单调_函数函数单调增函数单调增函数增长速度增长速度越来越越来越_越来越越来越_相对平稳相对平稳图象的变化图象的变化随随x的增大逐渐的增大逐渐表现为与表现为与_轴平轴平行行随随x的增大逐的增大逐渐表现为与渐表现为与_轴平轴平行行随随n值变化而值变化而各有不同各有不同联系联系存在一个存在一个x0，当，当xx0时，有时，有logaxxnax增增增增快快慢慢yx “对勾对勾”函数的性质函数的性质3解决实际应用问题的一般步骤解决实际应用问
3、题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题还原：将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下：以上过程用框图表示如下：考向考向1 一次、二次函数模型及分段函数模型的应用一次、二次函数模型及分段函数模型的应用以基本初等函数中的一次、二次函数及分段函
4、数为模型以基本初等函数中的一次、二次函数及分段函数为模型的应用题常出现在高考中，主要考查学生处理问题、建立函数的应用题常出现在高考中，主要考查学生处理问题、建立函数模型的能力在高考中常以解答题的形式出现，属于中档题模型的能力在高考中常以解答题的形式出现，属于中档题(1)写出年利润写出年利润W(万美元万美元)关于年产量关于年产量x(万只万只)的函数解析式；的函数解析式；(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润的利润最大？并求出最大利润【解析解析】(1)当当0 x40时，时，WxR(x)(16x40)6
5、x2384x40，当当x40时，时，所以所以W取最大值为取最大值为5 760.综合综合，当，当x32时，时，W取最大值为取最大值为6 104万美元万美元有关二次函数、分段函数模型求最值的注意点有关二次函数、分段函数模型求最值的注意点(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上对于分段函数模
6、型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小的最值，然后比较大小(3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值的条件，也可以利用函数单调性求解最值变式训练变式训练(2018吉林长春月考吉林长春月考，19，12分分)国庆期间，某旅行国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或人或30人以下，飞机票人以下，飞机票每张收费每张收费900元；若每团人数多于元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少人，机票每张减少10元，直到达
7、到规定人数元，直到达到规定人数75人为止每团乘人为止每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元元(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解解：(1)设旅行团人数为设旅行团人数为x人，由题得人，由题得0 x75(xN*)，飞机票，飞机票价格为价格为y元，元，(2)设旅行社获利设旅行社获利S元，元，则则S因为因为S900 x15 000在区间在区间(0，30上为单调增函数，上为单调增函数，故当故当x30时，时，S取最大值取最大值12 000元
8、，元，又又x(30，75时，时，S10(x60)221 000，此时当，此时当x60时，取得最大值时，取得最大值21 000.故每团人数为故每团人数为60时，旅行社可获得最大利润时，旅行社可获得最大利润考向考向2 指数、对数及幂函数模型的应用指数、对数及幂函数模型的应用实际问题中常遇到不同的增长情形，如人口增长、细胞实际问题中常遇到不同的增长情形，如人口增长、细胞分裂等，因此指数函数、对数函数、幂函数的应用很广泛构分裂等，因此指数函数、对数函数、幂函数的应用很广泛构建这几类函数模型解决问题是常见题型，在选择题、填空题、建这几类函数模型解决问题是常见题型，在选择题、填空题、解答题中均有呈现，属中
9、高档题解答题中均有呈现，属中高档题A1033 B1053 C1073 D1093(2)(2015四川四川，13)某食品的保鲜时间某食品的保鲜时间y(单位：小时单位：小时)与储藏温度与储藏温度x(单位：单位：)满足函数关系满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底为自然对数的底数，数，k，b为常数为常数)若该食品在若该食品在0 的保鲜时间是的保鲜时间是192小时，在小时，在22 的保鲜时间是的保鲜时间是48小时，则该食品在小时，则该食品在33 的保鲜时间是的保鲜时间是_小时小时【解析解析】(1)M3361，lg Mlg 3361361lg 3173.(2)依题意有依题意有192eb，48
10、e22kbe22keb，【答案答案】(1)D(2)24 三种函数模型的应用技巧三种函数模型的应用技巧(1)与幂函数、指数函数、对数函数三类函数模型有关的与幂函数、指数函数、对数函数三类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型中，指数函数模型(底数大于底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型(2)在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时，一在解决幂函数、指数函数、对数函数
11、模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数求解最值问题，必要时可借助导数变式训练变式训练(2017广东中山模拟广东中山模拟，18，12分分)某医药研究所开发某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量每毫升血液中的含药量y(微克微克)与时间与时间t(小时小时)之间近似满足如图之间近似满足如图所示的曲线所示的曲线(1)写出第一次服药后写出第一次服药后y与与t之间的函数关系式；之间的函数关系式；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间解解：(1)由题中图象，由题中图象，(2)由由y0.25得，得，
