1、11函数与方程函数与方程1函数零点的等价关系函数零点的等价关系2零点存在性定理零点存在性定理零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点，并不能判断零点的个数，但如果函数在区间上是零点，并不能判断零点的个数，但如果函数在区间上是单调函数，则该函数在区间上至多有一个零点单调函数，则该函数在区间上至多有一个零点3二次函数二次函数yax2bxc(a0)零点的分布零点的分布根的分布根的分布(mnp为常数为常数)图象图象满足条件满足条件x1x2mmx1x2x1mx2f(m)0mx1x2nmx1nx2p只有一根在只有一根在(m，n)之间之间在解决有关零点问题
2、时，一定要充分利用这三者的在解决有关零点问题时，一定要充分利用这三者的关系，观察、分析函数的图象，找函数的零点，判断各关系，观察、分析函数的图象，找函数的零点，判断各区间上函数值的符号，使问题得以解决区间上函数值的符号，使问题得以解决考向考向1 函数零点的判断与求解函数零点的判断与求解高考中对函数零点个数和所在区间的考查中高考中对函数零点个数和所在区间的考查中“函数函数”往往是往往是由基本初等函数由基本初等函数(幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等)或或三角函数组合而成的，题目常以选择题或填空题的形式出现，体三角函数组合而成的，题目常以选择题或填空题的形
3、式出现，体现数形结合思想的运用，难度不大现数形结合思想的运用，难度不大例例1(1)(2018河北邯郸月考河北邯郸月考，6)设设f(x)ln xx2，则函数，则函数f(x)的的零点所在的区间为零点所在的区间为 ()A(0，1)B(1，2)C(2，3)D(3，4)A没有零点没有零点 B有且仅有一个零点有且仅有一个零点C有且仅有两个零点有且仅有两个零点 D有无穷多个零点有无穷多个零点【解析解析】(1)方法一：因为方法一：因为f(1)01210，所以函数，所以函数f(x)的零点所在区间为的零点所在区间为(1，2)，故选，故选B.方法二：函数方法二：函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数的零点所在的区
4、间可转化为函数g(x)ln x，h(x)x2图象交点的横坐标所在的取值范围作图如下：图象交点的横坐标所在的取值范围作图如下：由图可知由图可知f(x)的零点所在的区间为的零点所在的区间为(1，2)【答案答案】(1)B(2)B1判断函数在某个区间上是否存在零点的方法判断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上；判断方程是否有根落在给定区间上；(2)利用零点存在性定理进行判断；利用零点存在性定理进行判断；(3)画出函数图象，通过观察图象与画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间
5、上是否轴在给定区间上是否有交点来判断有交点来判断2判断函数零点个数的方法判断函数零点个数的方法(1)直接法：解方程直接法：解方程f(x)0，方程有几个解，函数，方程有几个解，函数f(x)就有就有几个零点；几个零点；(2)图象法：画出函数图象法：画出函数f(x)的图象，函数的图象，函数f(x)的图象与的图象与x轴的轴的交点个数即为函数交点个数即为函数f(x)的零点个数；的零点个数；(3)将函数将函数f(x)拆成两个常见函数拆成两个常见函数h(x)和和g(x)的差，从而的差，从而f(x)0h(x)g(x)0h(x)g(x)，则函数，则函数f(x)的零点个数即为函的零点个数即为函数数yh(x)与函数
6、与函数yg(x)的图象的交点个数；的图象的交点个数；(4)二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式来判断来判断变式训练变式训练A(0，1)B(1，2)C(2，3)D(3，4)CA1 B2 C3 D4C考向考向2 函数零点的应用函数零点的应用已知函数零点求参数值或范围是常考内容，选择题、填已知函数零点求参数值或范围是常考内容，选择题、填空题和解答题均有可能出现，主要考查零点的应用及数形结合空题和解答题均有可能出现，主要考查零点的应用及数形结合思想与等价转化思想的应用，难度属中高档思想与等价转化思想的应用，难度属中高档【解析解析】画出画出f(x)
7、的草图如图所示，若存在实数的草图如图所示，若存在实数b，使得，使得f(x)b有有3个不同的根，个不同的根，则则4mm2m，即，即m23m0，又又m0，解得，解得m3.【答案答案】(3，)已知函数有零点已知函数有零点(方程有根方程有根)求参数值求参数值(取值范围取值范围)常用的方法常用的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解系中画出函数的图象，然后数形结合求解已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确这为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准确这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题种数形结合的方法能够帮助我们直观解题变式训练变式训练(2018山东济宁月考山东济宁月考，16)若函数若函数f(x)xln xa有两有两个零点，则实数个零点，则实数a的取值范围为的取值范围为_
